2024-2025学年北京十三中分校八年级（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年北京十三中分校八年级（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1．（2分）2024年巴黎奥运会和残奥会体育图标一共70个．与近年来各大体育类赛事图标都注重运动员运动状态刻画不同，巴黎奥运会则是注重项目本身的展现．此次巴黎奥运会项目图标在视觉设计上主要融入三个方面的元素——对称轴设计、项目场地的抽象表达以及项目的代表性元素．如图，下列哪个图标属于轴对称图形（忽略图标上的文字标注）（）A．射箭项目图标 B．跳水项目图标 C．铁人三项图标 D．赛跑项目图标2．（2分）课堂上，老师组织大家用小棒摆三角形．已知三条线段的长分别是4，5，m，若它们能构成三角形（）A．10 B．8 C．7 D．43．（2分）下列计算中，正确的是（）A．a3+a3＝a6 B．a2•a5＝a7 C．（2a）3＝2a3 D．3a8÷a2＝3a44．（2分）如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后（）A．CB＝CD B．∠BAC＝∠DAC C．∠B＝∠D＝90° D．∠BCA＝∠DCA5．（2分）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．3x+3y﹣5＝3（x+y）﹣5 B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 C．x2+2x+1＝（x+1）2 D．6．（2分）数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC和△DEF，尺寸如图，小颖画的三角形面积记作q，那么你认为（）A．p＞q B．p＜q C．p＝q D．不能确定7．（2分）如图，△ABC中，AB＜AC＜BC，使PA+PB＝BC，那么符合要求的作图痕迹是（）A． B． C． D．8．（2分）在学完《三角形》一章后，某班组织了一次数学活动课，老师让同学们自己谈谈对三角形相关知识的理解．小峰说：“存在这样的三角形，它的三条高的比为1：2：3．”小慧说：“存在这样的三角形，其一边上的中线不小于其它两边和的一半．”下面对于小峰和小慧的说法，判断正确的是（）A．小峰和小慧均正确 B．小峰和小慧均错误 C．小峰正确，小慧错误 D．小峰错误，小慧正确二、填空题（本大题共8小题，每题2分，共16分）9．（2分）计算：（π﹣1）0＝．10．（2分）如图，要测量池塘两岸相对的两点A、B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，再作出BF的垂线DE，使A、C、E三点在一条直线上的长就等于AB的长．判定△ABC和△EDC是全等三角形的依据是．11．（2分）学校附近的胡同里，增设了几处有立体效果的图标，起到减速带的作用．该图形是由一个等腰三角形和两个全等的平行四边形构成的五边形．12．（2分）小明在做作业时，不慎把墨水滴在纸上，将一个三项式前后两项污染得看不清楚了，请帮他把前后两项补充完整，使它成为完全平方式（写出一种即可））2．13．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，BD＝6cmcm．14．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），B（4，2），且以O，A，P为顶点的三角形与△OAB全等．15．（2分）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个锐角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P．16．（2分）如图，平面直角坐标系中，点B、点C分别为x轴正半轴、y轴正半轴上的动点，使得△ABC为等腰直角三角形，∠CAB＝90°，若C（0，c），B（b，0）（其中，c＞b），则A点坐标为（，）（用含b，c的代数式表示）．三、解答题：（本大题共10小题，共68分．其中17、19、21题，每题8分，18、20、22-24每小题8分，25、26每小题8分）17．（8分）计算：（1）（x﹣1）（x+3）﹣2x2；（2）（x﹣2）2+x（x﹣3）．18．（6分）先化简，再求值：（4x+1）（4x﹣1）﹣（2x）2+6x3÷3x2，其中x＝﹣1．19．（8分）分解因式：（1）3a2﹣6ab+3b2；（2）x2（m﹣2）+y2（2﹣m）．20．（6分）如图，点A，B，C，D在一条直线上，若∠1＝∠2，EC＝FB．求证：∠E＝∠F．21．（8分）将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，如利用配方法求最小值，求a2﹣4a+3的最小值．解：a2﹣4a+3＝a2﹣4a+22﹣22+3＝（a﹣2）2﹣1；∵不论a取何值，（a﹣2）2总是非负数，即（a﹣2）2≥0∴（a﹣2）2﹣1≥﹣1；即当a＝2时，a2﹣4a+3有最小值﹣1根据上述材料，解答下列问题：（1）求a2﹣4a﹣6的最小值；（2）若M＝2a2+3a，N＝3a2+5，比较M、N的大小（写出比较过程）；（3）若三角形中某两边a、b满足a2+b2﹣6a﹣14b+58＝0，求a+b．22．（6分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是AC边上一点，连接BD，且AE＝BD，AE与BC交于点F．（1）求证：CE＝AD；（2）当∠CFE＝∠ADB时，求证：BD平分∠ABC．23．（6分）当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，例如：由图可得等式：（a+2b）（a+b）2+3ab+2b2．（1）已知等式：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，请仿照图构造相应的图形（画在答题纸指定位置）；（2）利用（1）中等式，解决下面的问题：①已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；②已知（b﹣c）2＝4（a﹣b）（c﹣a），用等式表示a、b、c之间的关系，并证明．24．（6分）如图，△ABC和△ADE中，AB＝AC，∠BAC+∠EAD＝180°，连接BE、CD，连接AF．求证：CD＝2AF．25．（7分）定义：如图1，A，B为直线l同侧的两点，过点A作直线l的对称点A′，连接AP，则称点P为点A如图2，在△ABC、△ADE中，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE，连接CE、BD．（1）猜想BD与CE的数量关系是；并证明你的结论．（2）延长CE交BA的延长线于点N，延长BD至点M，使DM＝EN①先补全图形．②求证：点A为点C，M关于直线BN的“等角点”．26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：x＝m表示经过点（m，0），且平行于y轴的直线．给出如下定义：将点P关于x轴的对称点P1，称为点P的一次反射点；将点P1关于直线l的对称点P2，称为点P关于直线l的二次反射点．例如，如图，点M（3，2）1（3，﹣2），点M关于直线l：x＝1的二次反射点为M2（﹣1，﹣2）．已知点A（﹣1，﹣1），B（﹣3，1），C（3，3），D（1，﹣1）．（1）点A的一次反射点为，点A关于直线l1：x＝2的二次反射点为；（2）点B是点A关于直线l2：x＝a的二次反射点，则a的值为；（3）设点A，B，C关于直线l3：x＝t的二次反射点分别为A2，B2，C2，若△A2B2C2与△BCD无公共点，求t的取值范围．

2024-2025学年北京十三中分校八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1．（2分）2024年巴黎奥运会和残奥会体育图标一共70个．与近年来各大体育类赛事图标都注重运动员运动状态刻画不同，巴黎奥运会则是注重项目本身的展现．此次巴黎奥运会项目图标在视觉设计上主要融入三个方面的元素——对称轴设计、项目场地的抽象表达以及项目的代表性元素．如图，下列哪个图标属于轴对称图形（忽略图标上的文字标注）（）A．射箭项目图标 B．跳水项目图标 C．铁人三项图标 D．赛跑项目图标【解答】解：B，C，D选项中的图标都不能找到一条直线，直线两旁的部分能够互相重合；A选项中的图标能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形．故选：A．2．（2分）课堂上，老师组织大家用小棒摆三角形．已知三条线段的长分别是4，5，m，若它们能构成三角形（）A．10 B．8 C．7 D．4【解答】解：由三角形的三边关系可知：5﹣4＜m＜2+4，即1＜m＜2，则整数m不可能是10，故选：A．3．（2分）下列计算中，正确的是（）A．a3+a3＝a6 B．a2•a5＝a7 C．（2a）3＝2a3 D．3a8÷a2＝3a4【解答】解：∵a3+a3＝7a3，故选项A错误，∵a2•a3＝a7，故选项B正确，∵（2a）8＝8a3，故选项C错误，∵7a8÷a2＝7a6，故选项D错误，故选：B．4．（2分）如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后（）A．CB＝CD B．∠BAC＝∠DAC C．∠B＝∠D＝90° D．∠BCA＝∠DCA【解答】解：A、添加CB＝CD，能判定△ABC≌△ADC；B、添加∠BAC＝∠DAC，能判定△ABC≌△ADC；C、添加∠B＝∠D＝90°，能判定△ABC≌△ADC；D、添加∠BCA＝∠DCA时，故D选项符合题意；故选：D．5．（2分）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．3x+3y﹣5＝3（x+y）﹣5 B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 C．x2+2x+1＝（x+1）2 D．【解答】解：3x+3y﹣6＝3（x+y）﹣5中等号右边不是积的形式，则A不符合题意；（x+6）（x﹣1）＝x2﹣7是乘法运算，则B不符合题意；x2+2x+8＝（x+1）2符合因式分解的定义，则C符合题意；x4+x＝x2（x+）中，则D不符合题意；故选：C．6．（2分）数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC和△DEF，尺寸如图，小颖画的三角形面积记作q，那么你认为（）A．p＞q B．p＜q C．p＝q D．不能确定【解答】解：作AM⊥BC于点M，作DN⊥FE，∵∠DEF＝130°，∴∠DEN＝50°，∵BC＝4，AB＝5，∴p＝，∵EF＝4，DE＝5，∴q＝，∴p＝q，故选：C．7．（2分）如图，△ABC中，AB＜AC＜BC，使PA+PB＝BC，那么符合要求的作图痕迹是（）A． B． C． D．【解答】解：∵PA+PB＝BC，而PC+PB＝BC，∴PA＝PC，∴点P在AC的垂直平分线上，即点P为AC的垂直平分线与BC的交点．故选：D．8．（2分）在学完《三角形》一章后，某班组织了一次数学活动课，老师让同学们自己谈谈对三角形相关知识的理解．小峰说：“存在这样的三角形，它的三条高的比为1：2：3．”小慧说：“存在这样的三角形，其一边上的中线不小于其它两边和的一半．”下面对于小峰和小慧的说法，判断正确的是（）A．小峰和小慧均正确 B．小峰和小慧均错误 C．小峰正确，小慧错误 D．小峰错误，小慧正确【解答】解：假设存在这样的三角形，它的三条高的比是1：2：2，得到此三角形三边比为6：3：7，故假设错误；假设存在这样的三角形，其一边上的中线不小于其他两边和的一半，利用三角形全等，这与三角形三边关系矛盾，所以这样的三角形不存在．故两人都不正确．故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每题2分，共16分）9．（2分）计算：（π﹣1）0＝1．【解答】解：原式＝1，故答案为：110．（2分）如图，要测量池塘两岸相对的两点A、B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，再作出BF的垂线DE，使A、C、E三点在一条直线上DE的长就等于AB的长．判定△ABC和△EDC是全等三角形的依据是ASA．【解答】解：根据题意可知：∠B＝∠CDE＝90°，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（ASA），∴AB＝DE．故答案为：DE，ASA．11．（2分）学校附近的胡同里，增设了几处有立体效果的图标，起到减速带的作用．该图形是由一个等腰三角形和两个全等的平行四边形构成的五边形540°．【解答】解：五边形ABCDE的内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，故答案为：540°．12．（2分）小明在做作业时，不慎把墨水滴在纸上，将一个三项式前后两项污染得看不清楚了，请帮他把前后两项补充完整，使它成为完全平方式（写出一种即可）3x+2y（答案不唯一））2．【解答】解：9x2+12xy+4y2＝（3x+7y）2，故答案为：3x+4y（答案不唯一）．13．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，BD＝6cm3cm．【解答】解：如图，作DE垂直于AB于点E．∵BC＝9cm，BD＝6cm，∴CD＝4cm，∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，∴DE＝CD＝3cm，故答案为：3．14．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），B（4，2），且以O，A，P为顶点的三角形与△OAB全等（4，﹣2）或（﹣2，﹣2）或（﹣2，2）．【解答】解：如图，①作B关于x的对称的点P1，连接OP1，AP8，∴OB＝OP1，AB＝AP1，∵OA＝OA，∴△OAP5≌△OAB（SSS），∵B（4，2），∴P3（4，﹣2），②作P5关于直线x＝1对称的点P2，连接OP5，AP2，则AP1＝OP5，OP1＝AP2，又∵OA＝OA，∴△OAP2≌△AOP2（SSS），∴△OAP2≌△AOB，则点P6（﹣2，﹣2），③作P8关于x轴的对称的点P3，连接OP3，AP2，则AP3＝AP2，OP2＝OP2，又∵OA＝OA，∴△AOP3≌△AOP8（SSS），∴△AOP3≌△OAB，则点P3（﹣8，2），故答案为：（4，﹣8）或（﹣2，2）．15．（2分）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个锐角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上．【解答】解：如图，过点P作PD⊥OB于点D，∵是两把完全相同的长方形直尺，∴PC＝PD，∴∠AOP＝∠BOP，即射线OP就是∠BOA的角平分线（在角的内部．故答案为：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上．16．（2分）如图，平面直角坐标系中，点B、点C分别为x轴正半轴、y轴正半轴上的动点，使得△ABC为等腰直角三角形，∠CAB＝90°，若C（0，c），B（b，0）（其中，c＞b），则A点坐标为（，）（用含b，c的代数式表示）．【解答】解：如图所示，过点A作AE⊥x轴于点E，∵∠CAB＝90°，∴∠DAC+∠BAE＝90°，又∵∠DAC+∠DCA＝90°，∴∠BAE＝∠DCA在△DCA和△EAB中，，∴△DCA≌△EAB（AAS）∴CD＝AE，AD＝BE．设CD＝AE＝x＝EO，AD＝BE＝y．∴AD+AE＝OC＝c，EB﹣OE＝OB＝b，即，解得：，又点A在第二象限，故点A的坐标为：（，）．故答案为：，．三、解答题：（本大题共10小题，共68分．其中17、19、21题，每题8分，18、20、22-24每小题8分，25、26每小题8分）17．（8分）计算：（1）（x﹣1）（x+3）﹣2x2；（2）（x﹣2）2+x（x﹣3）．【解答】解：（1）（x﹣1）（x+3）﹣4x2＝x2+8x﹣3﹣2x4＝﹣x2+2x﹣4；（2）（x﹣2）2+x（x﹣8）＝x2﹣4x+2+x2﹣3x＝2x2﹣7x+2．18．（6分）先化简，再求值：（4x+1）（4x﹣1）﹣（2x）2+6x3÷3x2，其中x＝﹣1．【解答】解：（4x+1）（6x﹣1）﹣（2x）2+6x3÷7x2＝16x2﹣6﹣4x2+2x＝12x2+2x﹣5，当x＝﹣1时，原式＝12×（﹣1）3+2×（﹣1）﹣3＝12×1﹣2﹣7＝12﹣2﹣1＝7．19．（8分）分解因式：（1）3a2﹣6ab+3b2；（2）x2（m﹣2）+y2（2﹣m）．【解答】解：（1）3a2﹣3ab+3b2＝2（a2﹣2ab+b4）＝3（a﹣b）2；（2）x2（m﹣2）+y2（3﹣m）＝（m﹣2）（x2﹣y4）＝（m﹣2）（x+y）（x﹣y）．20．（6分）如图，点A，B，C，D在一条直线上，若∠1＝∠2，EC＝FB．求证：∠E＝∠F．【解答】证明：∵∠1+∠DBF＝180°，∠2+∠ACE＝180°．又∵∠8＝∠2，∴∠DBF＝∠ACE，∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝DB，在△ACE 和△DBF中，∴△ACE≌△DBF（SAS），∴∠E＝∠F．21．（8分）将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，如利用配方法求最小值，求a2﹣4a+3的最小值．解：a2﹣4a+3＝a2﹣4a+22﹣22+3＝（a﹣2）2﹣1；∵不论a取何值，（a﹣2）2总是非负数，即（a﹣2）2≥0∴（a﹣2）2﹣1≥﹣1；即当a＝2时，a2﹣4a+3有最小值﹣1根据上述材料，解答下列问题：（1）求a2﹣4a﹣6的最小值；（2）若M＝2a2+3a，N＝3a2+5，比较M、N的大小（写出比较过程）；（3）若三角形中某两边a、b满足a2+b2﹣6a﹣14b+58＝0，求a+b．【解答】解：（1）a2﹣4a﹣7＝a2﹣4a+52﹣26﹣6＝（a﹣2）5﹣10；∵不论a取何值，（a﹣2）2总是非负数，即（a﹣6）2≥0，∴（a﹣6）2﹣10≥﹣10；∴当a＝2时，a8﹣4a﹣6的最小值﹣10，答：a6﹣4a﹣6的最小值﹣10；（2）∵M＝2a2+3a，N＝5a2+5，∴N﹣M＝（6a2+5）﹣（4a2+3a）＝6a2+5﹣2a2﹣3a＝a4﹣3a+5＝a4﹣3a++5＝（a﹣）2+，∵（a﹣）8≥0，∴（a﹣）2+＞8，∴N﹣M＞0，∴N＞M；（3）∵a2+b2﹣6a﹣14b+58＝0，∴a4﹣6a+9+b7﹣14b+49＝0，∴（a﹣3）6+（b﹣7）2＝8，∵（a﹣3）2≥6，（b﹣7）2≥3，∴（a﹣3）2＝3，（b﹣7）2＝2，∴a＝3，b＝7，∴a+b＝5+7＝10，答：a+b的值为10．22．（6分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是AC边上一点，连接BD，且AE＝BD，AE与BC交于点F．（1）求证：CE＝AD；（2）当∠CFE＝∠ADB时，求证：BD平分∠ABC．【解答】证明：（1）∵EC⊥AC，∴∠ACE＝90°＝∠BAD，在Rt△ACE与Rt△BAD中，，∴Rt△ACE≌Rt△BAD（HL），∴CE＝AD；（2）∵Rt△ACE≌Rt△BAD，∴∠BDA＝∠AEC，∵∠CFE＝∠ADB，∴∠CFE＝∠AEC，∵∠BAC＝∠ACE＝90°，∴AB∥CE，∴∠AEC＝∠BAE，∵∠CAE+∠AEC＝90°，∴∠CAE+∠BDA＝90°，∴BD⊥AE，∴∠ABD＝∠CBD，∴BD平分∠ABC．23．（6分）当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，例如：由图可得等式：（a+2b）（a+b）2+3ab+2b2．（1）已知等式：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，请仿照图构造相应的图形（画在答题纸指定位置）；（2）利用（1）中等式，解决下面的问题：①已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；②已知（b﹣c）2＝4（a﹣b）（c﹣a），用等式表示a、b、c之间的关系，并证明．【解答】解：（1）以a+b+c为边，构造一个正方形，（2）①由（1）可得，（a+b+c）2＝a2+b3+c2+2ab+6ac+2bc＝a2+b8+c2+2（ab+ac+bc），当a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38时，116＝a2+b2+c6+2×38，即a2+b8+c2+76＝121，∴a2+b3+c2＝45；②由（b﹣c）2＝3（a﹣b）（c﹣a），可得（c﹣b）2＝4（a﹣b）（c﹣a），令a﹣b＝m，c﹣a＝n，∴（m+n）5＝4mn，即（m﹣n）2＝8，∴m＝n，即a﹣b＝c﹣a，∴2a＝b+c．24．（6分）如图，△ABC和△ADE中，AB＝AC，∠BAC+∠EAD＝180°，连接BE、CD，连接AF．求证：CD＝2AF．【解答】证明：延长AF至G，使得FG＝AF，如图所示：∵F为BE的中点，∴EF＝BF，在△AFE和△GFB中，，∴△AFE≌△GFB（SAS），∴∠EAF＝∠G，AE＝BG，∴AE∥BG，∴∠GBA+∠BAE＝180°，∵∠BAC+∠EAD＝180°，∴∠DAC+∠BAE＝180°，∴∠GBA＝∠DAC，∵AD＝AE，∴BG＝AD，在△GBA和△DAC中，，∴△GBA≌△DAC（SAS），∴AG＝CD，∵AG＝2AF，∴CD＝2AF．25．（7分）定义：如图1，A，B为直线l同侧的两点，过点A作直线l的对称点A′，连接AP，则称点P为点A如图2，在△ABC、△ADE中，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE，连接CE、BD．（1）猜想BD与CE的数量关系是BD＝CE；并证明你的结论．（2）延长CE交BA的延长线于点N，延长BD至点M，使DM＝EN①先补全图形．②求证：点A为点C，M关于直线BN的“等角点”．【解答】（1）证明：在△ABC、△ADE中，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE