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文档简介

第四章函数的连续性§1

连续性概念

教学内容：1.连续性概念的引入2.连续的几个等价定义3.间断点的定义以及分类教学重点：函数在一点连续的概念

教学难点：间断点的分类

问题的提出：（1）自然界中有许多现象,如气温的变化，河水的流动，植物的生长等等，都是连续地变化着的.这种现象在函数关系上的反应,就是函数的连续性.（2）直观上来说，连续函数的图象是一条连绵不断的曲线。（如图1）

Oxy图1函数在一点的连续性1．定义的引入

先回顾一下函数在

点的极限

定义中要求在的某个空心邻域内有定义，即

在有没有定义、定义为多少

均与极限有没有、极限为多少无关。这里

可以有三种情况：A无定义，比如上章讲过的特殊极限

（图2）比如（图3）(图1）xOy图2xOy图3A第3种情况与前两种情况不同，要求

在有定义且极限等于

我们称这种情况为

在处连续。

2.在处连续的定义

定义1：

设函数

在的某邻域

内有定义，若

（1）则称函数

在点连续。

3．等价定义先引入增量的定义：记

自变量

的增量

或改变量；

称为函数

的增量或改变量。要说明的是增量

可以是正的，也可以是负的或0。它们关系的几何意义如图4所示xOy图4利用增量定义得

等价定义1：设函数

函数

在点连续。

等价定义2：设函数

函数

在点连续。

注意问题：例1：

4．左、右连续的定义当遇到分段函数的分段点或区间的端点时，依定义1不能讨论

的连续性，为此我们在定义1的基础上，由

在左、右极限的定义得定义2：设

则称函数

在点右连续（或左连续）。

根据左、右极限与极限的关系我们容易得左、右连续和连续的关系

定理4．1：

在点连续的充要条件为：

在点既右连续又左连续。

由定理我们知道，要判别分段函数在分段点的连续性可通过左、右连续来讨论。

例2：

2－2xyOx+2x-2图5二.间断点及其分类

1．间断点的定义

定义3：

间断点或不连续点。从定义我们可以得到，

根据这几种情形，联系左、右极限，我们对函数的间断点进行分类2．间断点的分类

1）可去间断点：

可去间断点。

例3：

例4：

说明:

2）跳跃间断点：

跳跃间断点。

例5：例6：。。。。。。xyO1234-1-2123-1-2图6。。.xyO1-1图7f(x)=sgnxf(x)=[x]我们把可去间断点和跳跃间断点通称为第一类间断点。注意：第一类间断点的特点是函数在该点的左、右极限均存在。3）第二类间断点：函数至少有一侧极限不存在的那些点成为第二类间断点。

三.区间上的连续函数

1．区间上的连续函数

若函数f(x)在区间（a,b)上的每一点都连续，则称f(x)为（a,b)上的连续函数（或称f(x)在（a,b)上连续）；若函数f(x)在区间（a,b)上连续，且在x=a右连续，在x=b左连续，则称f(x)为[a,b]上的连续函数（或称f(x)在[a,b]上连续）。2．分段连续函数

若函数f(x)

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