风险与收益理论知识

风险与收益理论§1.风险与收益一、收益率〔一〕持有期收益率股票的持有期收益率〔holding-periodreturn，HPR〕取决于投资期内股票价格上涨的程度，以及这个股票所能提供的其他一些形式的收益。收益率被定义为1美元的投资在投资期内的收益〔价格上涨与股利〕。〔二〕多时期投资收益率的衡量2.算术平均法算术平均收益率〔arithmeticaveragerateofreturn〕是对各期内的收益率运用算术平均法而求得的收益率。其中，是算术平均收益率，N为业绩评价内包含的期数，为第i期〔i=1,…,N〕的收益率。算术平均法的优势：预测。算术平均法的缺陷：无视了收益的复利性〔即再投资〕。3.几何平均法〔geometricaverage〕时间加权收益率〔time-weightedrateofreturn〕是在考虑投资收益再投资的条件下，计算证券组合价值从期初到期末的平均增长率，又称为“几何收益率〞。计算公式如下：

其中，是时间加权收益率。4.资金加权收益率资金加权收益率〔dollar-weightedrateofreturn〕是计算一个利率，使各期现金流量的现值与期末证券组合价值的现值之和等于期初的资产价值。资金加权收益率的计算公式为：其中，表示资金加权收益率，表示第i期的现金流[现金流等于现金流入减现金流出。]〔假设在期末发生〕，，表示期初价值，表示期末价值。5.收益率的习惯表示法月度支付的抵押类产品与半年支付一次的债券都属于有固定现金流量的资产，很多时候需要求出一个年度收益率，这类资产的收益率一般是用年百分比利率〔annualpercentagerates，APR〕来表示的。计算公式如下：其中，r表示每期的利率，n表示一年所含的期数。年百分比利率还可以转化为有效年利率〔effectiveannualrate，EAR〕，计算公式如下：〔三〕通货膨胀率与实际收益率1.实际利率的粗略计算公式R表示名义利率，r表示实际利率，π表示通货膨胀率2.实际利率的精确计算公式二、风险〔一〕场景与概率分布1.收益取决于场景。重要假设：未来的每种场景下收益是确定的。2.场景的概率分布。在这里假设，每种场景在未来以一定的概率出现，且所有投资者对场景的概率赋值都一致。3.收益的期望与方差设想一个股票投资组合作为例子例：股票市场上持有期收益率〔HPR〕的概率分布概念测试在这三种情况下，对A公司股票进行一年期投资的持有期收益率分别是多少？计算预期持有期收益率与持有期收益率的标准差。〔二〕风险溢价1.含义。风险溢价是预期持有期收益率与无风险利率〔risk-freerate〕的差额，这里的无风险利率是指投资于国库券、银行存款或货币市场基金等投资工具所获取的收益率。2.影响因素。〔1〕方差〔2〕风险厌恶程度三、资产分配：无风险资产与风险资产〔一〕资产组合投资过程中最根本的决策是对资产的分配：应当持有多少现金，多少债券，多少股票，……？这个决策就是资产分配〔assetallocation〕，它是在广泛的投资类别和工具中进行选择以构建投资组合〔资产组合〕。在资产分配中，涉及两个问题：①投资者如何决定风险资产和无风险资产之间的比例；②投资者如何决定风险资产内部各种风险资产之间的比例。我们先研究第一种问题，即风险资产和无风险资产之间的分配。根本假定与案例设计在进行第一个问题，假设风险资产组合内部的分配比例是既定不变的而且是最优的。在资产分配的调整时，调整的实际上是风险资产和无风险资产之间的比例，风险资产组合内部的配置比例始终不变。在这个意义上，可以将风险资产组合视为一种单一的资产，可以称为“一捆特定证券〞。风险资产组合在整个资产组合〔completeportfolio〕中的份额记为y，易知，无风险资产所占份额为1-y，这样，投资者在风险资产和无风险资产之间进行资产分配的问题即是决定y的问题。某投资者的投资组合〔二〕资产组合的预期收益与风险1.问题——风险资产组合〔P〕的实际收益率——无风险资产〔F〕的收益率；——〔整个〕资产组合〔C〕的实际收益率；——风险资产组合〔P〕的预期收益率；——〔整个〕资产组合〔C〕的预期收益率——风险资产组合〔P〕的收益率的标准差；——〔整个〕资产组合〔C〕的收益率的标准差2.预期收益。3.风险〔三〕资本分配线〔CAL〕当把风险资产〔P〕的预期收益和风险视为既定，即点给定时，连接F、P和C三点的直线称为资本分配线〔capitalallocationline，CAL〕。CAL表示，随着资产组合〔C〕发生变化，其风险和预期收益呈现不同的组合，且与风险资产〔P〕的风险和预期收益成比例。资本分配线展示的是，在风险资产组合〔P〕的内部构成、预期收益和风险既定的条件下，各种资产组合〔C〕的收益和风险组合。斜率S被称为方差报酬率，或者夏普比率，它表示每增加单位风险〔标准差〕投资者所要求的预期收益率的增量。资本分配线上处处的方差报酬率都是相等的。测试某投资者有资金100万美元欲进行投资，可选资产有无风险资产和所谓的“一捆特定证券〞〔风险资产〕，风险资产内部配置比例既定。相关数据见下表，求不同资产组合的预期收益率和标准差。解：〔1〕y=0时，E(rC)=rf，，E(rC)=4，所以，rf=4；〔2〕y=1时，E(rC)=E(rP)，，E(rC)=10，所以，E(rP)=10；又y=1时有σC=σP，而σC=20，所以σP=20由rf=4，E(rP)=10，σP=20可知：当y=0.6时，E(rC)=0.6×10+0.4×4=7.6〔%〕，σC=0.6×20=12〔%〕测试假定某个投资者的投资预算是30万美元，这个投资者又借入12万美元，将全部42万美元全部都投资于风险资产〔P〕，请问资产组合〔C〕的预期收益率、风险〔标准差〕和方差报酬率分别为多少？〔四〕杠杆化投资组合测试：某投资者自有资金100万美元，另加借入资金25万美元(利率为无风险收益率)，一共投资125万美元，其他条件同上例。相关数据见下表，求不同资产组合的预期收益率和标准差。测试某投资者自有资金100万美元，其中80万元用于证券投资，其他条件同上例。相关数据见下表，求不同资产组合的预期收益率和标准差。杠杆化投资的资本分配线杠杆化投资计算公式〔1〕I=100时，〔2〕I≠100时，高借款本钱〔rB〕的杠杆化投资组合假设借款本钱：当I>100时，有：进一步，假设y=1，那么有：。四、风险资产组合〔P〕的收益与风险〔一〕多样化与组合风险影响资产收益率的因素可以分为两大类：一类是来自该项资产的特定因素，诸如企业经营状况、市场对该企业产品的供求状况等等。称为非系统风险、公司特定风险、特有风险或可分散风险另一类是宏观经济状况，包括商业周期、通货膨胀率和汇率等。称为系统风险、市场风险或不可分散的风险，保险法那么对于该类风险无法起作用。〔二〕包含两种风险资产的风险资产组合1.组合规那么假设风险资产内部只有一只股票和一只债券，分别用S和B表示，wS、wB分别表示风险资产中股票〔S〕和债券〔B〕所占比例，易知，wS+wB=1。规那么1：组合〔P〕的收益率是构成组合的两种资产收益率的加权平均值，权数是各项资产的投资份额，即规那么2：组合〔P〕的预期收益率是构成组合的两种资产预期收益率的加权平均值，权数是各项资产的投资份额规那么3：组合〔P〕的方差取决于构成组合的两种资产的方差、投资份额以及两种资产的相关系数2.组合的风险-收益E(rB)、E(rS)、σB、σs、ρBS是给定的。当(wS,wB)给定时，E(rP)和σP随之确定。这样，一个投资份额组合(wS,wB)，对应着一个风险资产组合〔P〕以及其预期收益率E(rP)和风险σP。这样，给出所有可能的投资份额组合(wS,wB)，有一系列风险资产组合〔P〕以及其预期收益率E(rP)和风险σP，把这些风险组合〔P〕的预期收益率E(rP)和风险σP表示在一个坐标系中，得到一条曲线，这条曲线就是风险组合〔P〕的风险和收益组合，该曲线上每一点表示一个投资份额组合(wS,wB)、对应的风险资产组合〔P〕、风险资产组合〔P〕的预期收益率E(rP)和风险σP。ρ取不同值时的风险与收益组合〔1〕当ρ=1时〔2〕当ρ=-1时3.包含无风险资产的最优风险组合〔1〕均值-方差标准均值-方差标准是指当两个资产组合的方差相同时，投资者更愿意选择收益率较高的组合，当两个资产组合的收益率相同时，投资者更愿意选择方差较小的组合。依此标准，图中，最小方差组合以下的点所代表的投资组合都被投资者摒弃。〔2〕最大化方差报酬率作业2假设经济有3种不同的场景，即衰退、正常和繁荣，现有股票基金和债券基金两种资产，它们在各场景下的收益率以及各场景的概率如下表。问题：〔1〕求股票与债券的预期收益率、方差〔2〕假设投资者用在股票和债券上的投资份额分别为60%与40%，求投资组合的预期收益率、方差、标准差、协方差以及股票和债券收益率之间的相关系数。〔三〕包含多种风险资产的风险资产组合〔P〕1.马科维茨有效边界主宰法那么〔dominancerules〕选择投资组合，即在具有相同预期收益率的证券组合中，选择风险最小的证券组合，在具有相同风险水平的投资组合中，选择预期收益率最大的投资组合。按主宰法那么确定投资组合称为有效率的组合，所有有效率的组合形成的集合称为有效边界〔efficientfrontier〕。2.马科维茨有效边界的求法极小化微分法求解效率边界：假设有n种原始风险资产〔按主宰法那么进行初步剔除后的〕，对于所有可能的风险资产组合〔P〕，按主宰法那么，在给定的预期收益率水平下，投资者要选择风险最小的投资组合，即解如下规划：所得结果是一系列收益率相等〔等于rp〕的投资组合中，方差最小的一个投资投资组合，称为最小方差组合。假设列出所有可能收益率下的最小方差组合，将其连接成一条曲线，就是马科维茨有效边界。3.最正确风险资产组合〔P〕确实定最正确风险资产组合确实定：1.最大化方差报酬率2.效用最大化无差异曲线的特征：①等效用与位置；②凸性当无差异曲线和有效边界相切时，切点就是最正确的风险资产组合〔P*〕。有了无差异曲线后，还可以在最正确风险资产组合既定时，找出无风险资产和风险资产之间的最正确组合〔C*〕。§2.资本资产定价模型一、CAPM的根本理论〔二〕根本假设1.完全竞争。2.持有期一致。3.交易开放、自由。4.零交易本钱。5.最小方差原那么。6.同质预期。〔三〕根本结论1.所有投资者都持有市场组合〔Marketportfolio，M〕。市场组合包含了所有证券，每种资产所占比重等于其市值〔每股的价格与市场上流通的股份数的乘积〕在总市值中所占的比例。2.市场组合〔M〕即是最优风险组合〔P*〕3.市场组合〔M〕的风险溢价与市场组合的方差、投资者的风险厌恶程度成正比，即：4.单个证券的风险溢价与市场组合〔M〕的风险溢价及证券的β系数成正比。〔四〕一致行为与资本市场线无风险资产〔F〕和市场组合〔M〕的连线称为资本市场线〔CML〕。〔五〕消极性投资策略的有效性——共同基金定理将资本市场线作为最优资本分配线的策略，也即是以市场组合〔M〕作为风险组合〔C〕的策略称为消极型投资策略，理论上可证明：消极型投资策略比积极型投资策略更有效，这个结论称为共同基金定理〔mutualfundtheorem〕。如果所有投资者都选择投资于市场指数共同基金，那么投资决策实际上就可以分为两局部：〔1〕技术层面分析，由专业的技术管理人员推导出有效共同基金；〔2〕个人层面分析，投资者的风险厌恶程度决定了他在共同基金和无风险资产上的比例。〔六〕市场组合的风险溢价资本资产定价模型是建立在以下观点的根底上：一项资产的风险溢价取决于它对投资者整个投资组合的风险的奉献。单项证券对风险组合风险的奉献用该项证券的β值来衡量，证券的风险溢价与其β值成比例：〔七〕单个证券的预期收益率与证券市场线预期收益率-β值关系式将β值视为风险，E(r)为收益率，可以将预期收益率-β值关系式视为收益-风险等式，其几何表示称为证券市场线〔securitymarketline，SML〕，SML斜率为市场组合的风险溢价。二、CAPM原理〔一〕偏好投资者的目标是最大化其投资产生的期望幸福感。E(U)=(X1,X2,…,XM,π1,π2,…,πM)效用的状态依附性：〔二〕状态偿付证券赌马局发行三种股票〔A,B,C〕，其支付结构如下表，有3匹马〔甲、乙、丙〕参赛，从平均意义上来说，群众对三匹马的实力评价是一致的，即三匹马胜出的概率相等，赌局也持这种评价，但这并不阻碍每个赌徒认为三匹马实力有差异。假设A、B、C三种证券每股售价都是5元，某次赌马共售出了N股，请分析赌徒决策依据和证券及各方的盈亏条件。引例1.状态偿付证券状态偿付证券也称为状态证券、原子证券、Arrow—Debreu证券、纯证券，它的定义是只在某个特定状态下支付为1个单位，其它状态下的支付为零。因此，假设未来有M种状态，那么对应有M种状态证券，这M种状态证券构成Arrow-Debreu证券市场，Arrow-Debreu证券市场可以表示为一个单位矩阵。 1 2 … Ｍ1 １ ０ ０ ０2 ０ １ ０ ０… ０ ０ １ ０M ０ ０ ０ １一切证券都可以表示为假设干状态证券的组合，假设证券i在状态j下的支付为Xij，那么持有证券i等价于分别持有Xi1,Xi2,…,XiM,单位的状态证券，其中，Xij指持有j状态A-D证券的数量，j=1,…,M。概念练习假设证券市场上有两个交易证券-股票G和股票H，未来只有两种可能的状态，其状态支付为： 萧条(D) 繁荣(B)股票G 10$ 20$股票H 30$ 10$股票G、H的价格分别为8$/股，9$/股。那么有几种状态证券，状态证券的价格分别为多少？2.状态保存价格当给定期望效用水平E(U)时，可得：X2对X1的MRS=-dX1/dX2=π2d2m(X2)/π1d1m(X1)令状态1为现在，状态1发生的概率π1是1，贴现因子d1也等于1，令rj=Xj对X1的MRS，那么有：rj可视为状态j下A-D证券的保存价格假设证券i在未来状态j下提供Xij单位的消费，那么证券i的保存价格Ri为：

〔三〕资产定价：一价定律与根底定价方程1.一价定律Pi假设以表示第ｉ种证券的价格，Xis表示１单位i证券在状态ｓ下的支付，ps表示状态s下原子证券的价格，那么有一价定律〔LOP〕：一价定律的实质就是证券保存价格的计算公式，每一项求和因子psXis实际上就是每种状态下支付的现时价值〔以支付来衡量〕，证券价格其实就是未来收益的现时本钱，psXis就是每种状态下收益的本钱。2.根底定价方程一价定律可以变形为：定义ms=ps/πs为状态s的时机价格，ms实质上也是一个边际替代率的概念，即贴现率的概念，因此，同时也被定义为随机贴现因子，表示状态s在未来出