2023-2024学年浙江省宁波市江北区九年级(上)期末数学试卷(解析版)

2023-2024学年浙江省宁波市江北区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目

要求）

1.若引芸，则毕的值为（）

b3b

A.—B.—C.-D.4

344

2.下列成语表示随机事务的是（）

A.水中捞月B.水滴石穿C.瓮中捉鳖D.守株待兔

3.下图是由3个相同的小正方体组成的几何体，则右边4个平面图形中是其左视图的

是（）

"0

4.已知在RtZ\ABC中，4c=90°,AB=5,BC=4,则sinB的值是()

5.如图，在aABC中，点D、E分另U在AB、AC上，DE〃BC,若AD=2,DB=1,AADE,

S,

的面积分别为％、则甘的值为（）

△ABCS2,

DiE

RL--------------------

9I4

A.•B.-C.-D.2

329

6.二次函数y=-(x-1)2+3图象的对称轴是()

A..直线x=1B.直线x=-1C.直线x=3D.直线x=-3

7.圆锥的底面半径为10cm,母线长为15cm,则这个圆锥的侧面积是()

A.lOOncm2B.150ncm2C.200ncm2D.250ncm2

8.如图，BC为半圆。的直径，A、D为半圆上的两点，若A为半圆弧氤的中点，则/

ADC=()

2

9.已知(-1,yx),(-2,y2),(-4,y3)是抛物线y=-2x-8x+m上的点，则()

A.yi<y2<y3B.y3<y2<yiC.y3<yi<y2D.y2<y3<yi

10.已知NADB,作图.

步骤1：以点D为圆心，适当长为半径画弧，分别交DA、DB于点M、N；再分别以点

M、N为圆心，大于^MN长为半径画弧交于点E,画射线DE.

步骤2：在DB上任取一点。，以点。为圆心，0D长为半径画半圆，分别交DA、DB、

DE于点P、Q、C；

步骤3：连结PQ、0C.

则下列推断：①同=&;②OC〃DA；③DP=PQ；④0C垂直平分PQ,其中正确的结论有

()

\E

c

A.①③④B.①②④C.②③④D.①②③④

11.已知：如图，点D是等腰直角AABC的重心，其中NACB=90。，将线段CD绕点C

逆时针旋转90。得到线段CE,连结DE,若4ABC的周长为6,则4DCE的周长为（）

A.272B.273C.4D.3g

12.已知二次函数y=x2-x+a（a>0）,当自变量x取m时，其相应的函数值小于0,则

下列结论正确的是（）

A.x取m-1时的函数值小于0

B.x取m-1时的函数值大于0

C.x取m-1时的函数值等于0

D.x取m-1时函数值与0的大小关系不确定

二、填空题（每小题4分，共24分）

13.二次函数y=x（x-6）的图象与x轴交点的横坐标是.

14.已知。。的半径为r,点0到直线I的距离为d,且|d-3|+（6-2r）2=0,则直线|

与。。的位置关系是.（填"相切、相交、相离"中的一种）

15.在2X2的正方形网格中，每个小正方形的边长为1.以点。为圆心，2为半径画弧,

交图中网格线于点A,B,则扇形AOB的面积是.

16.如图，6个形态、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形

的一个角（如NO）为60。，A,B,C,D都在格点上，且线段AB、CD相交于点P,

则tanNAPC的值是.

17.将抛物线y=ax2+bx+c向左平移2个单位，再向下平移5个单位，得到抛物线y=x2+4x

-1,则a+b+c=.

18.如图，ZAOB=45°,点M,N在边OA上，OM=x,0N=x+4,点P是边OB上的点，

若使点P,M,N构成等腰三角形的点P恰好有两个，则x的值是.

三、解答题（共8小题，满分78分）

19.（6分）计算：3tan30°+（-1）2023-（n-3）0

20.（8分）如图，广场上空有一个气球A,地面上点B、C在一条直线上，BC=22m.在

点B、C分别测得气球A的仰角为30。、63°,求气球A离地面的高度.（精确到个位）

（参考值：sin63°^0.9,cos63°^0.5,tan63°心2.0）

21.（8分）在一个不透亮的袋子里有1个红球，1个黄球和n个白球，它们除颜色外其

余都相同.

（1）从这个袋子里摸出一个球，记录其颜色，然后放回，摇匀称后，重复该试验，经

过大量试验后，发觉摸到白球的频率稳定于0.5左右，求n的值；

（2）在（1）的条件下，先从这个袋中摸出一个球，记录其颜色，放回，摇匀称后，再

从袋中摸出一个球，记录其颜色.请用画树状图或者列表的方法，求出先后两次摸出

不同颜色的两个球的概率.

22.（10分）如图，AB为。。直径，C、D为。。上不同于A、B的两点，OC平分NACD,

过点C作CE_LDB,垂足为E,直线AB与直线CE相交于F点.

（1）求证：CF为。。的切线；

23.（10分）依据对宁波市相关的市场物价调研，某批发市场内甲种水果的销售利润yi

（千元）与进货量x（吨）近似满意函数关系yi=0.25x,乙种水果的销售利润丫2（千

元）与进货量x（吨）之间的函数y2=ax2+bx+c的图象如图所示.

（1）求出丫2与x之间的函数关系式；

（2）假如该市场打算进甲、乙两种水果共8吨，设乙水果的进货量为t吨，写出这两

种水果所获得的销售利润之和W（千元）与t（吨）之间的函数关系式，并求出这两

种水果各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？

24.（10分）如图是一个3X8的网格图，每个小正方形的边长均为1,三个顶点都在小

正方形的顶点上的三角形叫做格点三角形，图中格点aABC的三边长分别为叮，2、

国,请在网格图中画出三个与aABC相像但不全等的格点三角形，并求与aABC相

像的格点三角形的最大面

积.

25.(12分)如图,矩形ABCD中，AB=3,AD=9,设AE=x.将4ABE沿BE翻折得到^

ABE,点A落在矩形ABCD的内部，且NAA，G=90。，若以点A、G、C为顶点的三角形

是直角三角形，求x的值.

备用图①备用图②

26.(14分)【给出定义】

若四边形的一条对角线能将四边形分割成两个相像的直角三角形，那么我们将这种四边

形叫做“跳动四边形"，这条对角线叫做“跳动线〃.

【理解概念】

(1)命题"凡是矩形都是跳动四边形"是命题(填"真"或"假").

(2)四边形ABCD为"跳动四边形”，且对角线AC为"跳动线",其中AC_LCB,NB=30。,

AB=4«,求四边形ABCD的周长.

【实际应用】已知抛物线y=ax2+m(aWO)与x轴交于B(-2,0),C两点，与直线y=2x+b

交于A,B两点.

（3）干脆写出C点坐标，并求出抛物线的解析式.

（4）在线段AB上有一个点P,在射线BC上有一个点Q,P,Q两点分别以逐个单位/

秒，5个单位/秒的速度同时从B动身，沿BA,BC方向运动，设运动时间为t,当其

中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动.在第一象限的抛物线上是否存在点

M,使得四边形BQMP是以PQ为“跳动线"的"跳动四边形”，若存在，请干脆写出t

2023-2024学年浙江省宁波市江北区九年级（上）期末数学试

卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目

要求）

1.若告芸，则平的值为（）

b3b

d13

A.4B.4C.—D.4

344

【分析】干脆利用比例的性质得出a,b的关系，进而代入化简即可.

【解答】解：•••告4,

b3

/.b=3a,

.a+b_4a_4

一工工行

故选:A.

【点评】此题主要考查了比例的性质，正确得出a,b的关系是解题关键.

2.下列成语表示随机事务的是（）

A.水中捞月B.水滴石穿C.瓮中捉鳖D.守株待兔

【分析】依据必定事务、不行能事务、随机事务的概念进行解答即可.

【解答】解：水中捞月是不行能事务，故选项A不符合题意；

B、水滴石穿是必定事务，故选项B不符合题意；

C、瓮中捉鳖是必定事务，故选项C不符合题意；

D、守株待兔是随机事务，故选项D符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查了随机事务，解决本题须要正确理解必定事务、不行能事务、随机事

务的概念.用到的学问点为：确定事务包括必定事务和不行能事务.必定事务指在肯

定条件下肯定发生的事务不行能事务是指在肯定条件下，肯定不发生的事务.不确定

事务即随机事务是指在肯定条件下，可能发生也可能不发生的事务.

3.下图是由3个相同的小正方体组成的几何体，则右边4个平面图形中是其左视图的

是（)

【分析】找到从左面看所得到的图形即可.

【解答】解：从左面看，可看到上下两个正方形，故选A.

【点评】本题考查了三视图的学问，左视图是从物体的左面看得到的视图.

4.已知在RtaABC中，ZC=90°,AB=5,BC=4,则sinB的值是（）

【分析】依据勾股定理求出AC,依据正弦的定义计算即可.

【解答】解：•••NC=90。,AB=5,BC=4,

.,.AC=7AB2-BC3=3»

..._AC_3

••sinBD——~f

AB5

故选：A.

【点评】本题考查的是勾股定理、锐角三角函数的定义，假如直角三角形的两条直角边

长分别是a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.

5.如图，在AABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE〃BC,若AD=2,DB=1,AADE.

S,

△ABC的面积分别为Si、S2,则廿的值为（）

b2

DiE

RL------------------

914

A.,B.—C.-D.2

329

【分析】依据相像三角形的判定定理得到△ADES^ABC,依据相像三角形的性质计算

即可.

【解答】I?：VDE^BC,

/.△ADE^AABC,

S

.l_zAD.2_4

S2AB9

故选：C.

【点评】本题考查的是相像三角形的判定和性质，驾驭相像三角形的面积比等于相像比

的平方是解题的关键.

6.二次函数y=-(x-1)2+3图象的对称轴是()

A..直线x=lB.直线x=-lC.直线x=3D.直线x=-3

【分析】干脆依据二次函数的顶点式进行解答即可.

【解答】解：二次函数y=-(x-1)2+3图象的对称轴是直线x=l,

故选：A.

【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键.

7.圆锥的底面半径为10cm,母线长为15cm,则这个圆锥的侧面积是()

A.lOORcm2B.150Rcm2C.200ncm2D.250ncm2

【分析】先求得圆锥的底面周长，然后利用扇形的面积公式即可求解.

【解答】解：圆锥的底面周长是：2X10R=20n,

贝哈X20nX15=150n.

故选：B.

【点评】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面绽开图与原来的扇形之间的关系

是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧

长.

8.如图，BC为半圆。的直径，A、D为半圆上的两点，若A为半圆弧布的中点，则N

ADC=()

A.105°B.120°C.135°D.150°

【分析】连接AC,依据圆周角定理，由BC为半圆的直径，可证NBAC=90。，又A为半

圆弧的中点，可证AB=AC,即可得NB=NACB=45。，依据圆内接四边形的对角互补得

ZADC=180°-45°=135°.

【解答】解：连接AC,

;BC为半圆的直径，

/.ZBAC=90°,

又A为半圆弧贰的中点，

，AB=AC,

/.ZB=ZACB=45°,

■:A、B、C、D四点共圆，

，ZADC+ZB=180°,

:.ZADC=180°-45°=135°.

故选：C.

【点评】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质和圆心角、弧的关系，利用直径

所对的圆周角是直角，是在圆中构造直角三角形常用的方法.

2

9.已知(-1,yi),(-2,y2),(-4,y3)是抛物线y=-2x-8x+m上的点，则()

A.yi<y2<y3B.y3<y2<yiC.y3<yi<y2D.y2<y3<yi

【分析】求出抛物线的对称轴，结合开口方向画出草图，依据对称性解答问题.

【解答】解：抛物线y=-2x2-8x+m的对称轴为x=-2,且开口向下，x=-2时取得最

大值.

-4V-1,且-4到-2的距离大于-1至-2的距离，依据二次函数的对称性，y3V

yi-

•*.y3<yi<y2.

故选c.

【点评】此题考查了二次函数的性质，通常依据开口方向、对称轴，结合草图即可推断

函数值的大小.

10.已知NADB,作图.

步骤1：以点D为圆心，适当长为半径画弧，分别交DA、DB于点M、N；再分别以点

M、N为圆心，大于皆MN长为半径画弧交于点E,画射线DE.

步骤2：在DB上任取一点0,以点。为圆心，OD长为半径画半圆，分别交DA、DB、

DE于点P、Q、C；

步骤3：连结PQ、OC.

则下列推断：①同=&;②OC〃DA；③DP=PQ；④OC垂直平分PQ,其中正确的结论有

B.①②④C.②③④D.①②③④

【分析】由DQ为直径可得出DALPQ,结合OC_LPQ可得出DA〃OC,结论②正确；由

作图可知NCDQ=NPDC,进而可得出荏=&,OC平分NAOB,结论①④正确；由/AOB

的度数未知，不能得出DP=PQ,即结论③错误.综上即可得出结论.

【解答】解：•••DQ为直径,

.•.NDPQ=90。，DA1PQ.

VOC1PQ,

.•.DA〃OC,结论②正确；

由作图可知：NCDQ=NPDC,

PC=CQf0c平分NAOB,结论①④正确；

ONADB的度数未知,NPDQ和NPQD互余,

ZPDQ不肯定等于NPQD,

•••DP不肯定等于PQ,结论③错误.

综上所述：正确的结论有①②④.

故选：B.

【点评】本题考查了作图中的困难作图、角平分线的定义、圆周角定理以及平行线的判

定及性质，依据作图的过程逐一分析四条结论的正误是解题的关键.

11.已知：如图，点D是等腰直角AABC的重心，其中NACB=90。，将线段CD绕点C

逆时针旋转90。得到线段CE,连结DE,若AABC的周长为6,则4DCE的周长为（）

A.272B.273C.4D.3g

【分析】延长CD交AB于F.如图，利用等腰直角三角形的性质和重心的性质得到CF

平分AB,CD=2DF,则CF=1AB=*CA,所以CD=^CA,再利用旋转的性质可推断△

CDE为等腰直角三角形，于是可判定△CDEsaCAB,然后依据相像三角形的性质计

算4CDE的周长.

【解答】解：延长CD交AB于F.如图，

•点D是等腰直角4ABC的重心，

，CF平分AB,CD=2DF,

CF=-AB=-^/2CA=^CA,

222

/.CD=-CF=^CA,

33

•.♦线段CD绕点C逆时针旋转90。得到线段CE,

，CD=CE,ZDCE=90°,

•••△CDE为等腰直角三角形，

.,.△CDEs/xCAB,

.'.△CDE的周长：Z\CAB的周长=CD：CA=返,

3

/.△CDE的周长=^X6=2后.

3

【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点.重心到顶

点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.也考查了等腰直角三角形的性质和

旋转的性质.

12.已知二次函数y=x2-x+a(a>0),当自变量x取m时，其相应的函数值小于0,则

下列结论正确的是()

A.x取m-1时的函数值小于0

B.x取m-1时的函数值大于0

C.x取m-1时的函数值等于0

D.x取m-1时函数值与。的大小关系不确定

【分析】画出函数图象，利用图象法解决问题即可；

【解答】解：由题意，函数的图象为：

•••x取m时，其相应的函数值小于0,

...视察图象可知，x=m-l在点A的左侧，x=m-l时，y>0,

故选:B.

【点评】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是学会利用函数图象解

决问题，体现了数形结合的思想.

二、填空题(每小题4分，共24分)

13.二次函数y=x(x-6)的图象与x轴交点的横坐标是。或6.

【分析】代入y=o求出x值，此题得解.

【解答】解：当y=o时，有x(x-6)=0,

解得：Xi=0,X2=6,

...二次函数y=x(x-6)的图象与x轴交点的横坐标是0或6.

故答案为：。或6.

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，代入y=0求出x的值是解题的关键.

14.已知。。的半径为r,点0到直线I的距离为d,且|d-3|+(6-2r)2=0,则直线I

与。。的位置关系是相切.(填"相切、相交、相离"中的一种)

【分析】利用非负数的性质求出d和r,即可推断；

【解答】解：V|d-3|+(6-2r)2=0,

又Y|d-3|20,(6-2r)2^0,

d=3,r=3,

••d—r,

...直线I是。。的切线，

故答案为：相切.

【点评】本题考查直线与圆的位置关系、非负数的性质等学问，解题的关键是娴熟驾驭

基本学问，属于中考常考题型.

15.在2X2的正方形网格中，每个小正方形的边长为1.以点。为圆心，2为半径画弧,

TT

交图中网格线于点A,B,则扇形AOB的面积是」.

0

【分析】如图，连接OA,0B,则OC=/OB,求得NOBC=30。，依据平行线的性质得到/

BOE=30°,同理NDOA=30。，依据扇形的面积公式计算即可；

【解答】解：如图，

OE

VOC=-OB,ZOCB=90°,

2

/.ZOBC=30°,

VBC//OE,

AZBOE=30°,

同理NDOA=30°,

ZAOB=90°-30°-30°=30°,

-e_30-K-22_K

..S厨形。AB———丁，

故答案为噂.

【点评】本题考查了扇形的面积公式、正方形的性质、解直角三角形等学问，解题的关

键是正确找寻直角三角形解决问题，属于中考常考题型.

16.如图，6个形态、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形

的一个角（如/0）为60。，A,B,C,D都在格点上，且线段AB、CD相交于点P,

则tanZAPC的值是'乌.

【分析】如图取格点E,连接EC、DE.设小菱形的边长为1.首先证明NAPC=NECD,

再证明NCDE=90。，依据tanNAPC=tan/ECD,即可解决问题；

【解答】解：如图取格点E,连接EC、DE.设小菱形的边长为1.

由题意:EC〃AB,

，ZAPC=ZECD,

VZCDO=60°,ZEDB=30°,

/.ZCDE=90o,

VCD=2,DE=V3>

tanZAPC=tan/ECD%=恒

CD2

故答案为

【点评】本题考查菱形的性质、等边三角形的性质、解直角三角形等学问，解题的关键

是学会添加常用协助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型.

17.将抛物线y=ax2+bx+c向左平移2个单位，再向下平移5个单位，得到抛物线y=x2+4x

-1,贝Ia+b+c=1.

【分析】抛物线平移.不变更二次项系数，平移后抛物线的顶点坐标为（-2,-5）,

依据平移规律可推出原抛物线顶点坐标为（0,0）,依据顶点式可求抛物线解析式.

【解答】解：平移后的抛物线y=x2+4x-1=（x+2）2-5,顶点为（-2,-5）,

依据平移规律，得原抛物线顶点坐标为（0,0）,

又平移不变更二次项系数，

，原抛物线解析式为y=x2,

••a=1,b—C—0»

/.a+b+c=l,

故答案为1.

【点评】本题主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求娴

熟驾驭平移的规律：左加右减，上加下减.并用规律求函数解析式.

18.如图，ZAOB=45°,点M,N在边0A上，OM=x,0N=x+4,点P是边OB上的点，

若使点P,M,N构成等腰三角形的点P恰好有两个，则x的值是4亚-4<x44或

x=4后或x=2M-2

【分析】考虑四种特别位置，求出x的值即可解决问题；

【解答】解：如图1中，当aPzIVIN是等边三角形时满意条件，作P2HJ_OA于H.

。P1

图1

在RtAP2HN中，P2H=«NH=2b，

,.•ZO=ZHP2O=45°,

.,.OH=HP2=2«,

/.x=OM=OH-MH=2V3-2.

如图2中，当（DM与0B相切于Pi，MPi=MN=4时，x=0M=4«,此时满意条件;

图2

如图3中，如图当（DM经过点。时，x=0M=4，此时满意条件的点P有3个.

图4

视察图3和图4可知：当4&-4<x<4时，满意条件，

综上所述，满意条件的x的值为：或x=4&或x=2a-2,

故答案为4&-4<x<4或x=4&或X=2，R-2.

【点评】本题考查等腰三角形的判定、直线与圆的位置关系等学问，解题的关键是学会

找寻特别位置解决问题，三条中考填空题中的压轴题.

三、解答题（共8小题，满分78分）

19.（6分）计算：3tan30°+（-1）2023-（n-3）0

【分析】干脆利用特别角的三角函数值以及零指数幕的性质分别化简得出答案.

【解答】解：原式=3X号+1-1

='/3.

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.

20.（8分）如图，广场上空有一个气球A,地面上点B、C在一条直线上，BC=22m.在

点B、C分别测得气球A的仰角为30。、63°,求气球A离地面的高度.（精确到个位）

（参考值：sin63°打0.9,cos63fo.5,tan63°=2.0）

【分析】作ADL,设AD=x,R3ABD中求得BD=逅黑再由tan630=成殛=2

求出x即可得.

【解答】解：如图，过点A作ADL,

设AD=x,

贝BD=t揖然。=V5=«x,

3

/.tan63°=-7=~~不『2，

V3x-22

，AD=x=8«+4,

气球A离地面的高度约为18m.

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，驾驭仰角是向上看的视线

与水平线的夹角、俯角是向下看的视线与水平线的夹角、熟记锐角三角函数的定义是

解题的关键.

21.（8分）在一个不透亮的袋子里有1个红球，1个黄球和n个白球，它们除颜色外其

余都相同.

（1）从这个袋子里摸出一个球，记录其颜色，然后放回，摇匀称后，重复该试验，经

过大量试验后，发觉摸到白球的频率稳定于0.5左右，求n的值；

（2）在（1）的条件下，先从这个袋中摸出一个球，记录其颜色，放回，摇匀称后，再

从袋中摸出一个球，记录其颜色.请用画树状图或者列表的方法，求出先后两次摸出

不同颜色的两个球的概率.

【分析】（1）由"摸到白球的频率稳定于0.5左右"利用概率公式列方程计算可得；

（2）画树状图展示全部可能的结果数，找出两次摸出的球颜色不同的结果数，然后依

据概率公式求解.

【解答】解：（1）依据题意，得：言』

Z+nZ

解得n=2；

（2）画树状图如下：

由树状图知，共有16种等可能结果，其中先后两次摸出不同颜色的两个球的结果数为

10,

...先后两次摸出不同颜色的两个球的概率为整=3.

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【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出全

部可能的结果，适合于两步完成的事务；树状图法适合两步或两步以上完成的事务;

解题时要留意此题是放回试验还是不放回试验.用到的学问点为：概率=所求状况数

与总状况数之比.

22.（10分）如图，AB为。。直径，C、D为。。上不同于A、B的两点，OC平分NACD,

过点C作CE_LDB,垂足为E,直线AB与直线CE相交于F点.

（1）求证：CF为。0的切线；

【分析】（1）依据角平分线的定义和依据切线的判定即可证明CF为。。的切线;

（2）连结AD.依据相像三角形的判定和性质解答即可.

【解答】证明：（1）••PC平分NACD,

/.ZACO=ZOCD,

,/ZA=ZD=ZACO,

/.ZD=ZOCD,

.•.OC〃DE,

VDE1CF,

—CF,

.•.CF为。0的切线；

•.•BE〃OC,

/.△FEB^AFCO,

.12

二亏

解得：r=2,

，AB=4,

ZABD=60°,

，BD=2.

【点评】本题考查了切线的判定，相像三角形的判定与性质等学问点.要证某线是圆的

切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可.

23.（10分）依据对宁波市相关的市场物价调研，某批发市场内甲种水果的销售利润yi

（千元）与进货量x（吨）近似满意函数关系yi=0.25x,乙种水果的销售利润丫2（千

元）与进货量x（吨）之间的函数y2=ax?+bx+c的图象如图所示.

（1）求出丫2与x之间的函数关系式；

（2）假如该市场打算进甲、乙两种水果共8吨，设乙水果的进货量为t吨，写出这两

种水果所获得的销售利润之和W（千元）与t（吨）之间的函数关系式，并求出这两

种水果各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？

【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题;

（2）销售利润之和亚=甲种水果的利润+乙种水果的利润，利用配方法求得二次函数的

最值即可.

【解答】解:（1）•.•函数y2=ax2+bx+c的图象经过（0,0）,（1,2）,（4,5）,

'c=0

-Ia+b+c=2，

16a+4b+c=5

'一1

a-瓦

解得，b=9.，

c=0

•*.y2=--yX2+-yX.

44

(2)w=—(8-t)--t2+—1=-—(t-4)2+6,

4444

.•.t=4时，w的值最大，最大值为6,

•••两种水果各进4吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是6千元.

【点评】考查二次函数的应用；得到甲乙两种商品的利润是解决本题的突破点；得到总

利润的关系式是解决本题的关键.

24.（10分）如图是一个3X8的网格图，每个小正方形的边长均为1,三个顶点都在小

正方形的顶点上的三角形叫做格点三角形，图中格点^ABC的三边长分别为0，2、

国,请在网格图中画出三个与AABC相像但不全等的格点三角形，并求与AABC相

备用图③

【分析】依据格点4ABC的三边长分别为血，2、后，将该三角形的各边扩大肯定倍

数，即可画出与AABC相像但不全等的格点三角形，进而得出与aABC相像的格点三

角形的最大面积.

如图所示，格点三角形的面积最大，S=2X8--^-X2X3-yXlX5-^-X1X8=6.5

【点评】本题主要考查了相像三角形的性质，利用相像三角形的判定方法得出是解题关

键.把原三角形的三边对应的缩小或放大肯定的比例即可得到对应的相像图形.

25.（12分）如图，矩形ABCD中，AB=3,AD=9,设AE=x.将4ABE沿BE翻折得到4

ABE,点A落在矩形ABCD的内部，且NAA，G=90。，若以点A：G、C为顶点的三角形

是直角三角形，求x的值.

备用图①备用图②

【分析】分两种状况，依据相像三角形的判定和性质以及翻折的性质解答即可.

【解答】解：①如图①,ZGA'C=90°,

VZAA'G=90°,

.•.点A、A\C在同始终线上，

ZBAE=ZADC=90°,ZABE=ZDAC,

/.△ABE^AADC,

.ABAD

，，V^CD，

即3二

x3

解得：x=l；

②如图②，ZA'GC=90°,

Z.ZDGC=ZGAA'=ZABE,

/.△ABE^ADGC,

VAE=EA'=EG=x,

.x_3

•亍9-2x，

解得：X2=3（舍去）,

综上所述，x=l或1.5.

备用图①

【点评】此题考查了翻折问题，关键是依据翻折不变性解答.

26.(14分)【给出定义】

若四边形的一条对角线能将四边形分割成两个相像的直角三角形，那么我们将这种四边

形叫做“跳动四边形"，这条对角线叫做“跳动线〃.

【理解概念】

(1)命题"凡是矩形都是跳动四边形"是命题(填"真"或"假").

(2)四边形ABCD为"跳动四边形”，且对角线AC为"跳动线",其中AC_LCB,NB=30。,

AB=4«,求四边形ABCD的周长.

【实际应用】已知抛物线y=ax2+m(aWO)与x轴交于B(-2,0),C两点，与直线y=2x+b

交于A,B两点.

（3）干脆写出C点坐标，并求出抛物线的解析式.

（4）在线段AB上有一个点P,在射线BC上有一个点Q,P,Q两点分别以逐个单位/

秒，5个单位/秒的速度同时从B动身，沿BA,BC方向运动，设运动时间为t,当其

中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动.在第一象限的抛物线上是否存在点

M,使得四边形BQMP是以PQ为“跳动线"的"跳动四边形”，若存在，请干脆写出t

（2）分状况NDAC=90。和NADC=90。两种状况探讨，可求四边形ABCD的周长；

【实际应用】（3）依据点B,点C关于对称轴对称，可求点C坐标，用待定系数法可求

抛物线解析式；

（4）由题意可证△ABOs/^BPQ,可证PQ±AB,四边形BQMP是以PQ为"跳动线"的"跳

动四边形”，可得△BPQS/XPQM,分NPQM=90。或NPMQ=90。两种状况探讨，可求t

的值.

【解答】解：【理解概念】：（1）矩形的对角线所分的两个三角形全等

凡是矩形都是跳动四边形是真命题

故答案为真

（2）VAC1BC,ZB=3O°,AB=4«

.•.AC=2«,BC=6

当NCAD=9O。时，

如图1：

图1

•••四边形ABCD为"跳动四边形”

.,.△ABC^ACAD

.AC_AD=CD或AD_AC_CD

•*BC^AC-ABBC=AC=AB

，AD=2,CD=4或AD=6,CD=4«

/.四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=2+4+4F+6=12+4«

或四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=6+4«+6+4存12+8«

若NADC=90°

如图2：

•••四边形ABCD为"跳动四边形”

.'.△ABC^ACAD

.ABACBC-ABACBC

••而二AD=CD或而=CD二AD

；.AD=加，CD=3或AD=3，CD=«

四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=6+4F+3+y=9+5«

或四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=6+4«+3+«=9+5F

综上所述：四边形ABCD的周长为12+4«或12+8«或9+5«

【实际应用】(3)•.•抛物线y=ax2+m(aWO)与x轴交于B(-2,0),C两点

，顶点坐标为(0,m),对称轴为y轴，点B,点C关于对称轴对称

.•.点C(2,0)

,抛物线y=ax2+m与直线y=2x+b交于点A,点B

’0=4a+m

••,0=-4+b

in=b

・・rn=b=4,a=-1

，抛物线解析式y=-x2+4

VP,Q两点分别以找个单位/秒，5个单位/秒的速度

...设运动时间为t

BQ=5t

;点A(0,4),点B(-2,0)

/.OA=4,OB=2

.•.AB=2A/5

...里=BP巡且NAB