新高考数学一轮复习知识点总结与题型精练专题21 空间向量与立体几何（含解析）

专题21空间向量与立体几何【考纲要求】1、理解空间向量的概念、运算、基本定理，理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；2、会用待定系数法求平面的法向量，能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系；3、体会向量方法在研究几何问题中的作用，掌握利用向量法法求空间角的方法。一、空间向量及其运算【思维导图】1、空间向量的有关概念空间向量：空间中，既有大小又有方向的量；空间向量的表示：一种是用有向线段表示，SKIPIF1<0叫作起点，SKIPIF1<0叫作终点；一种是用小写字母SKIPIF1<0（印刷体）表示，也可以用（而手写体）表示．向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作或．向量的夹角：过空间任意一点SKIPIF1<0作向量SKIPIF1<0的相等向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0叫作向量SKIPIF1<0的夹角，记作SKIPIF1<0，规定SKIPIF1<0．如图：零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为0．规定：0与任意向量平行．单位向量：长度为1的空间向量，即．相等向量：方向相同且模相等的向量．相反向量：方向相反但模相等的向量．共线向量（平行向量）：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合．平行于记作，此时．SKIPIF1<0=0或SKIPIF1<0=．共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．要点诠释：（1）数学中讨论的向量是自由向量，即与向量的起点无关，只与大小和方向有关．只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移；（2）当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．（3）对于任意一个非零向量，我们把SKIPIF1<0叫作向量的单位向量，记作SKIPIF1<0．SKIPIF1<0与同向．（4）当SKIPIF1<0=0或时，向量平行于，记作；当SKIPIF1<0=SKIPIF1<0时，向量SKIPIF1<0垂直，记作SKIPIF1<0．2、空间向量的基本运算空间向量的基本运算：运算类型几何方法运算性质向量的加法1平行四边形法则：SKIPIF1<0加法交换率：SKIPIF1<0加法结合率：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<02三角形法则：SKIPIF1<0向量的减法三角形法则：SKIPIF1<0SKIPIF1<0向量的乘法SKIPIF1<0是一个向量，满足：SKIPIF1<0>0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0同向；SKIPIF1<0<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0异向；SKIPIF1<0=0时，SKIPIF1<0=0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0向量的数量积1．SKIPIF1<0是一个数：SKIPIF1<0；2．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0=0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0二、空间向量基本定理【思维导图】共线定理：两个空间向量、（≠），//的充要条件是存在唯一的实数，使．共面向量定理：如果两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的一对实数SKIPIF1<0，使．要点诠释：（1）可以用共线定理来判定两条直线平行（进而证线面平行）或证明三点共线．（2）可以用共面向量定理证明线面平行（进而证面面平行）或证明四点共面．空间向量分解定理：如果三个向量SKIPIF1<0不共面，那么对空间任一向量SKIPIF1<0，存在一个唯一的有序实数组SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0.要点诠释：（1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；（2）由于零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是零向量0．（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．三、空间向量的直角坐标运算【思维导图】空间向量的直角坐标运算空间两点的距离公式若，，则①；②；③SKIPIF1<0的中点坐标为SKIPIF1<0．空间向量运算的的坐标运算设，，则①；②；③；④；⑤SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；⑥SKIPIF1<0．空间向量平行和垂直的条件若，，则①，，；②．要点诠释：（1）空间任一点SKIPIF1<0的坐标的确定：过SKIPIF1<0作面SKIPIF1<0的垂线，垂足为SKIPIF1<0，在面SKIPIF1<0中，过SKIPIF1<0分别作SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴的垂线，垂足分别为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．如图：（２）夹角公式可以根据数量积的定义推出：，其中θ的范围是．（３）与任意空间向量平行或垂直．四、空间向量的应用【思维导图】用向量方法讨论垂直与平行图示向量证明方法线线平行（SKIPIF1<0//SKIPIF1<0）SKIPIF1<0//SKIPIF1<0（SKIPIF1<0分别为直线SKIPIF1<0的方向向量）线线垂直（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0（SKIPIF1<0分别为直线SKIPIF1<0的方向向量）线面平行（SKIPIF1<0//SKIPIF1<0）SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是直线的方向向量，SKIPIF1<0是平面的法向量）．线面垂直（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0//SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是直线的方向向量，SKIPIF1<0是平面的法向量）面面平行（SKIPIF1<0//SKIPIF1<0）（SKIPIF1<0分别是平面，的法向量）面面垂直（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是平面，的法向量）用向量方法求角图示向量证明方法异面直线所成的角（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0上不同的两点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0上不同的两点）直线和平面的夹角（其中直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为）二面角SKIPIF1<0（平面SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的法向量分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0）用向量方法求距离 图示向量证明方法点到平面的距离SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0的法向量）与平面平行的直线到平面的距离SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0的公共法向量）两平行平面间的距离SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的一个公共法向量）【题型汇编】题型一：空间向量及其运算题型二：空间向量的应用【题型讲解】题型一：空间向量及其运算一、单选题1．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学一模（理））如图，在三棱锥S—ABC中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G在棱EF上，且满足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】利用空间向量的加、减运算即可求解.【详解】由题意可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：D2．（2022·北京昌平·二模）如图，在正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是底面SKIPIF1<0的中心，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的中点，则下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0//SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0//平面SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明，逐项分析、判断作答.【详解】在正四棱柱SKIPIF1<0中，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是底面SKIPIF1<0的中心，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，对于A，显然SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不共线，即SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不平行，A不正确；对于B，因SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，B正确；对于C，设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不垂直，即SKIPIF1<0不平行于平面SKIPIF1<0，C不正确；对于D，由选项C知，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不共线，即SKIPIF1<0不垂直于平面SKIPIF1<0，D不正确.故选：B3．（2022·新疆乌鲁木齐·二模（理））在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】根据已知条件，由SKIPIF1<0，利用向量数量积的定义及运算律即可求解.【详解】解：因为三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：A.4．（2022·天津三中三模）在棱长为SKIPIF1<0的正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】如图，建立空间直角坐标系，设SKIPIF1<0，然后根据SKIPIF1<0，列方程求出SKIPIF1<0的值，从而可确定出点SKIPIF1<0的位置，进而可求出三棱锥SKIPIF1<0的体积【详解】如图，以SKIPIF1<0为原点，分别以SKIPIF1<0所在的直线为SKIPIF1<0轴建立空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故选：C5．（2022·江西新余·二模（文））已知长方体SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M是SKIPIF1<0的中点，点P满足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】A【解析】【分析】先构造和平面SKIPIF1<0平行的截面SKIPIF1<0，再根据空间向量共面确定点SKIPIF1<0的轨迹形状，再求其长度.【详解】如图所示，E，F，G，H，N分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，DA，AB的中点，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以动点P的轨迹是六边形MEFGHN及其内部.又因为SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0在侧面SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0的轨迹为线段SKIPIF1<0，因为AB=AD=2，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A.二、多选题1．（2022·山东枣庄·一模）如图，平行六面体SKIPIF1<0中，以顶点SKIPIF1<0为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．四边形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0D．平行六面体SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0【答案】ABD【解析】【分析】A、B选项通过空间向量的模长及数量积进行判断即可；C选项通过空间向量求出SKIPIF1<0，进而求出面积即可；D选项作出平行六面体的高，求出相关边长，即可求出体积.【详解】SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，A正确；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，B正确；连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，故四边形SKIPIF1<0为矩形，面积为SKIPIF1<0，C错误；过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故平行六面体SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，D正确.故选：ABD.题型二：空间向量的应用一、单选题1．（2022·广西南宁·一模（理））在正方体SKIPIF1<0中O为面SKIPIF1<0的中心，SKIPIF1<0为面SKIPIF1<0的中心.若E为SKIPIF1<0中点，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值.【详解】设正方体的边长为SKIPIF1<0，建立如图所示空间直角坐标系，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：B2．（2022·贵州毕节·三模（理））在正四棱锥SKIPIF1<0中，底面边长为SKIPIF1<0，侧棱长为SKIPIF1<0，点P是底面ABCD内一动点，且SKIPIF1<0，则当A，P两点间距离最小时，直线BP与直线SC所成角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】如图所示，连接SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0两点间距离最小为SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴和SKIPIF1<0轴，建立空间直角坐标系，求得SKIPIF1<0，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】如图所示，连接SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，因为四棱锥SKIPIF1<0为正四棱锥，可得SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，由底面边长为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在直角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，在直角SKIPIF1<0中，可得SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为圆心，以SKIPIF1<0为半径的圆上，所以当圆与SKIPIF1<0的交点时，此时SKIPIF1<0两点间距离最小，最小值为SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴和SKIPIF1<0轴，建立空间直角坐标系，如图所示，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<0.故选：A.3．（2022·北京·二模）如图，已知正方体SKIPIF1<0的棱长为1，则线段SKIPIF1<0上的动点P到直线SKIPIF1<0的距离的最小值为（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】利用坐标法，设SKIPIF1<0，可得动点P到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，然后利用二次函数的性质即得.【详解】如图建立空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴动点P到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时取等号，即线段SKIPIF1<0上的动点P到直线SKIPIF1<0的距离的最小值为SKIPIF1<0.故选：D.4．（2022·江西上饶·二模（理））如图，在长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上靠近SKIPIF1<0的三等分点，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是底面SKIPIF1<0内一动点，若直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0垂直，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】以SKIPIF1<0为坐标原点建立空间直角坐标系，设SKIPIF1<0，利用线面垂直的向量证明方法可构造方程组求得SKIPIF1<0点与SKIPIF1<0重合，可知所求外接球即为长方体的外接球，可知外接球半径为长方体体对角线长的一半，由球的表面积公式可得结果.【详解】以SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0的正方向为SKIPIF1<0轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合，SKIPIF1<0三棱锥SKIPIF1<0的外接球即为长方体SKIPIF1<0的外接球，SKIPIF1<0外接球SKIPIF1<0，SKIPIF1<0外接球表面积SKIPIF1<0.故选：B.5．（2022·山西临汾·二模（文））如图，在圆锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点C在圆O上，当直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角为60°时，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角为（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【解析】【分析】以点O为坐标原点建立空间直角坐标系如下图所示，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据空间向量的数量积运算求得点C的坐标，再由异面直线的空间向量求解方法可求得答案．【详解】解：以点O为坐标原点建立空间直角坐标系如下图所示，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角为60°，所以SKIPIF1<0，又因为点C在圆O上，所以SKIPIF1<0，所以解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的范围为SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角60°，故选：C．

6．（2022·四川雅安·二模）如图，长方体SKIPIF1<0中，点E，F分别是棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的动点（异于所在棱的端点）.给出以下结论：①在F运动的过程中，直线SKIPIF1<0能与AE平行；②直线SKIPIF1<0与EF必然异面；③设直线AE，AF分别与平面SKIPIF1<0相交于点P，Q，则点SKIPIF1<0可能在直线PQ上.其中所有正确结论的序号是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】B【解析】【分析】当点E，F分别是棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中点时，可证明四边形SKIPIF1<0是平行四边形，故可判断①②；建立空间直角坐标系，当点E，F分别是棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中点，且长方体为正方体时，利用空间向量证明三点共线【详解】长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当点E，F分别是棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中点时，由勾股定理得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，同理可得：SKIPIF1<0，故四边形SKIPIF1<0是平行四边形，所以在F运动的过程中，直线SKIPIF1<0能与AE平行，SKIPIF1<0与EF相交，①正确，②错误；以SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则当点E，F分别是棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中点且长方体为正方体时，设棱长为2，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又两向量有公共点，所以SKIPIF1<0三点共线，故则点SKIPIF1<0可能在直线PQ上，③正确.故选：B二、多选题1．（2022·广东汕头·二模）如图，在正方体SKIPIF1<0中，点P在线段SKIPIF1<0上运动，则（

）A．直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0B．三棱锥SKIPIF1<0的体积为定值C．异面直线AP与SKIPIF1<0所成角的取值范围是SKIPIF1<0D．直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值的最大值为SKIPIF1<0【答案】AB【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量垂直的坐标表示公式、空间向量夹角公式、三棱锥的体积性质逐一判断即可.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.A：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此本选项结论正确；B：侧面SKIPIF1<0的对角线交点为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为定值，因此本选项结论正确；C：SKIPIF1<0，设异面直线AP与SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，综上所述：SKIPIF1<0，所以本选项结论不正确；D：设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为：SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最小值，最小值为SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值的最大值为SKIPIF1<0，因此本选项结论不正确，故选：AB【点睛】关键点睛：利用空间向量夹角公式是解题的关键.2．（2022·广东梅州·二模）在长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0在体对角线SKIPIF1<0上（含端点），则下列结论正确的有（

）A．当SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点时，SKIPIF1<0为锐角B．存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最小值SKIPIF1<0D．顶点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的最大距离为SKIPIF1<0【答案】ABD【解析】【分析】如图，以点SKIPIF1<0为原点建立空间直角坐标系，设SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点时，根据SKIPIF1<0判断SKIPIF1<0得符号即可判断A；当SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，即可判断B；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值，结合B即可判断C；利用向量法求出点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离，分析即可判断D.【详解】解：如图，以点SKIPIF1<0为原点建立空间直角坐标系，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，对于A，当SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点时，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为锐角，故A正确；当SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故B正确；对于C，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值，由B得，此时SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，故C错误；对于D，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，可取SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，取等号，所以点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的最大距离为SKIPIF1<0，故D正确.故选：ABD.三、解答题1．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）已知底面ABCD为菱形的直四棱柱，被平面AEFG所截几何体如图所示.(1)若SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，三棱锥GACD的体积为SKIPIF1<0，直线AF与底面ABCD所成角的正切值为SKIPIF1<0，求锐二面角SKIPIF1<0的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）根据题意可证SKIPIF1<0平面BDG，可得SKIPIF1<0，得证SKIPIF1<0平面ACE，得SKIPIF1<0，再根据面面平行的性质可证SKIPIF1<0；（2）根据题意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用空间向量求二面角．(1)连接BD，交AC于点O，底面ABCD为菱形，∴SKIPIF1<0，由直四棱柱得SKIPIF1<0底面ABCD，又SKIPIF1<0平面ABCD，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，BD，SKIPIF1<0平面BDG，∴SKIPIF1<0平面BDG，因为SKIPIF1<0平面BDG，∴SKIPIF1<0已知SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，AC，SKIPIF1<0平面ACE，∴SKIPIF1<0平面ACE，因为SKIPIF1<0平面BDG，∴∵平面SKIPIF1<0平面CFGD平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0