复变函数论论文

论文目录摘要……………1关键词…………1引言……………1理论……………1参考文献………………………68．英文摘要………………………6全文共15页2,148字复变函数论〔学号：20231101926刘艳玲〕〔物理与电子信息学院物理学专业2023级，内蒙古呼和浩特010022〕指导老师：孙永平摘要：了解利用柯西定理来对复变函数的定分积和不定积分的分类。运用留数定理来求解实变函数的积分。利用达朗贝尔，泰勒，解析延拓和洛朗法对级数进行展开，在运用傅里叶变换来对特殊级数进行计算。关键字：复数；复变函数；积分；级数；留数；傅里叶变换；1引言了解利用柯西定理来对复变函数的定分积和不定积分的分类。运用留数定理来求解实变函数的积分。利用达朗贝尔，泰勒，解析延拓和洛朗法对级数进行展开，在运用傅里叶变换来对特殊级数进行计算。2复变函数2.1.1复数与复数运算2.1.1.1复数的根本概念Z=x+iy(1.1.1)这叫作复数的代数式，x和y那么分别叫作该复数的实部和虚部，并分别记作Res和Imz。复数z可表示为三角式和指数式，即叫作该复数的模,叫作该复数的幅角。2.1.2复数的运算复数由此明显可见加法的结合律和交换律成立。商的定义n次幂应用n次根号的应用2.1.2复变函数复变函数定义一般地，当z=x+iy在复平面上变化时，如果对于z的每一个值，都有一个或几个复数值ω相对应，那么称ω为z的复变函数。写作：ω=f〔z〕=u〔x，y〕+iv〔x，y〕为了更好的理解这个定义，我们需要了解以下概念：区域、邻域、内点、外点、境界线、闭区域、开区域等。2.1.2.2区域的定义区域：〔1〕点集中的每个点都是内点〔2〕点集是连通的，即点集中的任何两点都可以用一条曲线连接起来且线上的点全属于该点集。闭区域：包括境界线的区域叫闭区域。开区域：不包括境界线的区域叫闭区域。邻域：以Zo为圆心，以任意小正数ε为半径作一圆，那么圆内所有点的集合称为Zo的邻域。内点：Zo及其邻域均属于点集E，那么该点叫作E的内点。外点：Zo及其邻域均不属于点集E，那么该点叫作E的外点。境界线：假设Zo及其邻域内既有属于E的点，也有不属于E的点，那么该点为境界点，境界点的全体称为境界线。2.1.2.3复变函数例2.1.3导数设是在z点及其邻域定义的单值函数.假设在z点存在，并且与的方式无关那么称在z点可导.可导的充要条件：u(x,y)和v(x,y)的偏导数存在、连续，且满足C-R条件。〔点解析一定可导，可导不一定解析；区域等同〕3复变函数的积分3.1.1复变函数的积分f(z)都用实部和虚部表出，所以复变函数的路积分有如下性质:1.常数因子可以移到积分号之外.2.函数的和的积分等于各个函数的积分的和.3.反转积分路径,积分变号.4.全路径上的积分等于各段上积分之和.5.积分路径不仅依赖于起点和终点还与积分路径有关.3.2.1柯西定理单通区域柯西定理〔无孔无洞〕复通区域柯西定理总结起来，柯西定理说的是闭单通区域上的解析函数沿境界线积分为零，闭复通区域上的解析函数沿着所有外境界线正方向积分为零，闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时针方向积分等于沿所有内境界线逆时针方向积分之和。3.3.1不定积分假设函数F(z)在单通区域B上解析，那么沿B上任意一路L的积分的值只跟起点和终点有关而与路径无关。记作3.4.1柯西公式例一、计算积分I,其中C为不经过点0和1的正向曲线。 解：(1)如果0和1都不在C中，那么被积函数解析，因此,由Cauchy定理得I=0; (2)假设仅0在C内,函数在C上及C包围的区域解析，由Cauchy积分公式，得到〔3〕假设仅1在C内,函数在C上及C包围的区域解析，由Cauchy积分公式，得到 (4)假设0和1都在C内，由Cauchy定理而在上及包围的圆内解析，同样，在上及包围的圆内解析，故利用Cauchy积分公式，有上面的结果得 最后，我们有：其中D为曲线C包围的区域。幂级数展开4.1.1复数项幂级数设有复数项的无穷级数柯西收敛判据成立，这就是说，复数项级数收敛的充分必要条件是，对于任一给定的小正数，必有N存在，使得n>N时，P为任意正整数。4.2.1幂级数其都是复习常数，这样的级数叫作以为中心的幂级数。应用正项级数的比值判别法〔达朗贝尔判别法〕可知绝对收敛，引入记号R4.3.1泰勒级数展开定理设f(z)在以为圆心的圆解析，那么对圆内任意z点，f(z)可展开为幂级数,为圆内包含且与同心的圆。4.4.1洛朗级数展开定理设f(z)在环形区域解析，那么对圆环内任意z点，f(z)可展开为幂级数.其中，积分路径为位于环内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线。例1、求和在z=0邻域的Taylor展开。故收敛半径类似收敛半径例2、在的邻域将展开。解：其中于是例3、在的邻域将展开解：5留数定理设函数在回路所围区域B上除有限个孤立奇点外解析，在闭区域上除外连续，那么5.1.1留数定理将洛朗级数逐项积分右边各项除去的一项全是零，而的一项里的积分等于，于是而洛朗级数的项的系数，叫作函数在点的留数。通常记作，这样，留数定理设函数f(z)在回路l所围区域B上除有限个孤立奇点设函数在回路所围区域B上除有限个孤立奇点外解析，在闭区域上除外连续，那么留数定理将回路积分归结为被积分函数在的回路所围区域上个孤立奇点留数之和。一阶：M阶：例1：求在其奇点的残数。解：单极点2i,三阶极点0z=2iz=0*例2或例3考一类。例2：解：例3：解：单极点，5.2.1应用留数定理计算实变函数定积分类型一被积函数是三角函数的有理式，积分区间是。作自变数代换那么类型二，积分区间是，复变函数在实轴上没有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的，当z在上平面时，。那么类型三积分区间是，偶函数F(x),奇函数G〔x〕在实轴上没有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的。当z在上平面时，。同理6傅里叶变换6.1.1傅里叶级数6.1.1.1周期函数的傅里叶展开假设函数以为周期，即=那么可取三角函数族作为根本函数族，将展开为级数=+〔2〕三角函数族正交，其中任意两个函数的乘积在一个周期上的积分等于零，可以求得〔2〕中的展开系数为其中〔3〕狄里希利定理：假设函数满足条件：〔1〕处处连续或在每个周期中只有有限个第一类间断点；〔2〕在每个周期中只有有限个极值点那么级数〔2〕收敛，且级数和=〔4〕6.1.2.1奇函数及偶涵数的傅里叶展开1.假设周期函数是奇函数，那么由傅里叶的计算公式〔3〕可见及均等于零，展开〔2〕为=这叫做傅里叶正弦级数。由于对称性，其展开系数为2.假设周期函数为偶函数那么展开式为=+这叫做傅里叶余弦级数。由于对称性，其展开系数为=6.2.1傅里叶积分与傅里叶变换6.2.1.1实数形式的傅里叶变换设为定义在区间上的函数，一般来说，它是非周期的，不能展为傅里叶级数。所以我们将非周期函数看作是某个周期函数于周期时的极限情形.这样，的傅里叶级数展开式=+〔5〕引入不连续参量=〔=0,1,2，〕，=-=这样〔5〕式称为=+〔6〕傅里叶系数为对与系数，假设有限，那么=当时〔5〕的余弦局部为正弦局部为于是〔5〕式的形式为=上式称为傅里叶积分。其中此式称为的福利叶变换式。6.2.1.2奇函数的傅里叶积分是傅里叶正弦积分=是的傅里叶正弦变换满足条件偶函数的傅里叶积分是傅里叶余弦积分=是