2023年北京重点大学附中中考数学零模试卷及参考答案

2023年北京重点大学附中中考数学零模试卷

一、选择题

1.（3分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

B.

2.（3分）北京冬奥村是2022年北京冬季奥运会、冬残奥会最大的非竞赛类场馆之一，总

建筑面积约38.66万平方米.其中38.66万用科学记数法可表示为（）

A.0.3866X106B.3.9X105C.3.866X105D.38.66X104

3.（3分）如图是一个由5个小正方体和1个圆锥组成的立体图形，这个立体图形的主视图

是（）

正面

△

4.（3分）如图，在。。中，AO是直径，/ABC=35°,则/。。等于（）

A.75°B.65°C.55°D.45°

5.（3分）学校组织春游，安排给九年级三辆车，小明和小慧都可以从这三辆车中任选辆乘

坐，小明和小慧乘坐同一辆车的概率是（）

1

A.AB.AC.2D.A

2399

6.（3分）如果a=«-l，那么代数式（1+1、a•的值为（）

2

a-1-a-i

A.3B.V3C.近D.V3-2

3

7.（3分）如图是30名学生A,8两门课程成绩的统计图，若记这30名学生A课程成绩的

方差为s；，3课程成绩的方差为sg,则s；,sg的大小关系为（）

代课程成绩/分

100-

90

80

70

60

50-

।।।।।।।।।।।»

5060708090100A课程成绩/分

B.S22

S1s2

C-s2>s2D.不确定

8.（3分）如图①，底面积为30°"2的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几

何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度（cm）与注水时间

t（5）之间的关系如图②，若“几何体”的下方圆柱的底面积为15c机2,求“几何体”上

方圆柱体的底面积为（）c/n2.

图①

A.24D.21

二、填空题

9.（3分）若代数式工有意义,则实数x的取值范围是

x+1

2

10.（3分）分解因式：4a2-2Sah=.

11.（3分）写出一个函数，满足当x>0时，y随x的增大而减小且图象过（1,3）,则这个

函数的表达式为.

12.（3分）有一圆柱形木材，埋在墙壁中，其横截面如图所示，测得木材的半径为15cm,

露在墙体外侧的弦长48=18刖，其中半径OC垂直平分4B,则埋在墙体内的弓形高CD

13.（3分）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十文钱，甜果

苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：九百九

十文钱共买一千个苦果和甜果，其中四文钱可买苦果七个，十一文钱可买甜果九个.问

苦、甜果各几个？设苦果x个，甜果y个，则可列方程为.

14.（3分）如图，在△ABC中，A8=AC,NA=40。，以点C为圆心，C4长为半径作弧,

交直线BC于点P,连结AP,则ZBAP的度数是.

15.（3分）如图，在△ABC中，NC=90°,AC=6,8c=8,点E,F分别是边AC和A8

上的点，点A关于E尸的对称点。恰好落在BC边上，当△8C尸是直角三角形时，的

长是_______________________

16.（3分）如图，在Rt^AOB中，0A=08=2、历，。0的半径为1,点P是4B边上的动

3

点，过点P作。。的一条切线PQ(Q点为切点)，则切线长PQ的最小值

为_________________.

17.(1)|1-V3I-(4-TT)°+2sin60°+(-1)'；

4

(2)解不等式组：［3X-2<2X

,2(l-2x)<4x+10

18.己知/+2x-l=0,求代数式(x+1)2+x(x+4)+(x-3)(x+3)的值.

19.关于x的一元二次方程7-(m+3)x+m+2=0.

(1)求证：方程总有两个实数根；

(2)若方程的两个实数根都是正整数，求用的最小值.

20.先阅读下列材料，再解答问题.

尺规作图

已知：△ABC,。是边AB上一点，如图1,

求作：四边形。BCF,使得四边形。8CF是平行四边形.

小明的做法如下：

(1)设计方案

先画一个符合题意的草图，如图2,再分析实现目标的具体方法，

依据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

(2)设计作图步骤，完成作图

作法：如图3,

①延长BC至点E；

②分别作ZADQ=ZABE；

③。Q与CP交于点F.

，四边形。8C尸即为所求.

(3)推理论证

4

证明：'：ZECP=ZEBA,

:.CP〃BA.

同理，DQ//BE.

，四边形DBCF是平行四边形.

请你参考小明的做法，再设计一种尺规作图的方法(与小明的方法不同)，使得画出的四

边形。8c尸是平行四边形，并证明.

21.在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=-x+6经过点(0,2).

(1)求这个一次函数的解析式；

(2)当x<4时，对于x的每一个值，函数y=-x+6的值与函数尸"7的值之和都大

于0,直接写出么的取值范围.

22.如图，在菱形ABCO中，对角线AC,8。交于点。，过点4作AE_L8C于点E,延长

BC到点F,使CF=BE,连接。F.

(1)求证：四边形AEFD是矩形；

(2)连接。E,若A£>=10,EC=4,求OE的长度.

23.为进一步增强中小学生“知危险会避险”的意识，某校初三年级开展了系列交通安全知

识竞赛，从中随机抽取30名学生两次知识竞赛的成绩(百分制)，并对数据(成绩)进

行收集、整理、描述和分析.下面给出了部分信息.

这30名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分情况统计图：

5

第二次成绩/分

100

95

90

85

80

80859095100第一次成绩/分

b.下表是这30名学生两次知识竞赛的获奖情况相关统计:

参与奖优秀奖卓越奖

第一次竞赛人数101010

平均分828795

第二次竞赛人数21216

平均分848793

（规定：分数290,获卓越奖；85W分数＜90,获优秀奖；分数＜85,获参与奖）

c.第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下：

90909191919192939394949495959698

".两次竞赛成绩样本数据的平均数、中位数、众数如表：

平均数中位数众数

第一次竞赛m87.588

第二次竞赛90n91

根据以上信息，回答下列问题:

（1）小松同学第一次竞赛成绩是89分，第二次竞赛成绩是91分，在图中用“O”圈出

代表小松同学的点；

（2）直接写出根，〃的值；

（3）可以推断出第次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高，理由

是.

24.某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷

水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分，若记水柱

6

上某一位置与水管的水平距离为4米，与湖面的垂直高度为h米，下面的表中记录了d

与h的五组数据：

根据上述信息，解决以下问题:

(1)在如下网格中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示/I与d函

数关系的图象；

(2)若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则m=；

(3)现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得

游船能从水柱下方通过，如图所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间

通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米.己知游船顶棚宽度为3米,

顶棚到湖面的高度为1.5米，那么公园应将水管露出湖面的高度(喷水头忽略不计)至少

调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由(结果保留一位小数).

25.如图，在RtaABC中，NBAC=90°,点。为BC边的中点，以为直径作。O,分

别与AB,AC交于点E,F,过点£作EGLBC于G.

(1)求证：EG是。0的切线；

(2)若AF=6,。。的半径为5,求8E的长.

26.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=/-2ax-3.

(1)求该抛物线的对称轴(用含〃的式子表示)；

7

(2)A(xi，yi),B(X2,y2)为该抛物线上的两点，若xi=l-2"，xi=a+\,且yi>”,

求”的取值范围.

27.已知正方形ABCD,将边AB绕点A顺时针旋转a至线段AE,ZDAE的角平分线所在

直线与直线BE相交于点£过点C作直线8E的垂线CH,垂足为点

(1)当a为锐角时，依题意补全图形，并直接写出NOEB的度数；

(2)在(1)的条件下，写出线段BE和F”之间的数量关系，并证明；

(3)设直线CH与直线相交于点P,若AB=2,直接写出线段AP长的最大值和最

28.对于平面内的点〃和点N,给出如下定义：点尸为平面内的一点，若点P使得

是以为顶角且小于90°的等腰三角形，则称点尸是点M关于点N的锐角等腰

点.如图，点尸是点M关于点N的锐角等腰点.例在平面直角坐标系xQv中，点。是

坐标原点.

(1)已知点4(2,0),在点P\(0,2),Pi(1,我)，P3(-1>弧),P4(&,-

V2)中，是点。关于点A的锐角等腰点的是.

(2)已知点8(3,0),点C在直线y=2x+h上，若点C是点O关于点8的锐角等腰点，

求实数b的取值范围.

(3)点。是x轴上的动点，D(r,0),£(/-2,0),点F(〃?，〃)是以。为圆心，2

8

为半径的圆上一个动点，且满足〃20.直线y=-2r+4与X轴和y轴分别交于点从K,

若线段HK上存在点E关于点F的锐角等腰点，请直接写出t的取值范围.

9

参考答案

一、选择题

1.（3分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意;

3、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；

C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；

。、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

故选：C.

2.（3分）北京冬奥村是2022年北京冬季奥运会、冬残奥会最大的非竞赛类场馆之一，总

建筑面积约38.66万平方米.其中38.66万用科学记数法可表示为（）

A.0.3866X106B.3.9X105C.3.866X105D.38.66X104

【解答】解：38.66万=386600=3.866X1（）5

故选：C.

3.（3分）如图是一个由5个小正方体和1个圆锥组成的立体图形，这个立体图形的主视图

是（）

【解答】解：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层最左边有一个正方形，右边是

一个三角形.

故选：C.

4.（3分）如图，在。。中，AO是直径，NA8C=35°,则NC4C等于（）

10

A.75°B.65°C.55°D.45°

【解答】解：；NABC=35°,

：.ZADC=ZABC=35a,

"：AD是。O的直径，

AZACD=90°,

/.ZCAD=90°-ZADC=55°.

故选：C.

5.（3分）学校组织春游，安排给九年级三辆车，小明和小慧都可以从这三辆车中任选辆乘

坐，小明和小慧乘坐同一辆车的概率是（）

A.AB.Ac.2D.A

2399

【解答】解：列表如下（三辆车分别用1,2,3表示）：

123

1(1,1)(2,1)(3,1)

2(1,2)(2,2)(3,2)

3(1,3)(2,3)(3,3)

所有等可能的情况有9种，其中小明和小慧同车的情况有3种,

小明和小慧乘坐同一辆车的概率是3=工,

93

故选：B.

6.（3分）如果aS-1，那么代数式的值为（）

2

a-1a-i

A.3B.V3C.近D.弧-2

3

11

【解答】解：原式=（三工+」_•(a+1)(a-1)

a-1a-l

a.(a+1)(aT)

当。=%-1时，原式=遥-1+1=y.

故选：B.

7.（3分）如图是30名学生A,8两门课程成绩的统计图，若记这30名学生A课程成绩的

方差为3课程成绩的方差为屋，则小，sg的大小关系为（）

S1s2S1s2

AB课程成绩/分

।।।।।।।।।।।»

506070809010()A课程成绩/分

C.sf>S2D.不确定

【解答】解：方差体现了某组数据的波动情况，波动越大，方差越大，

由图可知，B课程成绩的波动大，A课程成绩的波动小，

2<2.

S1s21

故选：A.

8.（3分）如图①，底面积为30a"2的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几

何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度力（cm）与注水时间

t（5）之间的关系如图②，若“几何体”的下方圆柱的底面积为15cm2,求“几何体”上

方圆柱体的底面积为（）cm2.

12

h/cm

图①图②

A.24B.12C.18D.21

【解答】解：根据函数图象得到圆柱形容器的高为14cm,两个实心圆柱组成的“几何体”

的高度为1lew,

水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了：42s-24s=18(s),

这段高度为：14-11=3(cm),

设匀速注水的水流速度为xenP/s,则18・x=30X3,

解得x=5,

即匀速注水的水流速度为5c田/s；

“几何体”下方圆柱的高为。，则a・(30-15)=18X5,

解得4=6,

所以"几何体”上方圆柱的高为11-6=5(cm),

设“几何体”上方圆柱的底面积为Sew?,根据题意得5Y30-S)=5X(24-18),

解得5=24,

即“几何体”上方圆柱的底面积为24c/.

故选：A.

二、填空题

9.(3分)若代数式旦有意义，则实数x的取值范围是e-1.

x+1

【解答】解：由题意得，x+l#O,

解得x#-1.

故答案是：xW-1.

10.(3分)分解因式：4/-28分=4“(“-7b).

【解答】解：原式=4”(a-7b).

故答案为：4a(a-7b).

11.(3分)写出一个函数，满足当x>0时，)，随x的增大而减小且图象过(1,3),则这个

13

函数的表达式为如丫坦，答案不唯一.

X

【解答】解：符合题意的函数解析式可以是丫=旦，y=-x+4,y=-7+4等，（本题答案

X

不唯一）

故答案为：如y白，答案不唯一；

X

12.（3分）有一圆柱形木材，埋在墙壁中，其横截面如图所示，测得木材的半径为15a”，

露在墙体外侧的弦长AB=18cm,其中半径0C垂直平分AB,则埋在墙体内的弓形高CO

【解答】解：在RtaAOO中，=12(cm),

^=^AQ2+AD2=^152-92

则CO=C。-00=15-12=3(cm),

故答案为：3.

13.（3分）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十文钱，甜果

苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：九百九

十文钱共买一千个苦果和甜果，其中四文钱可买苦果七个，十一文钱可买甜果九个.问

x+y=1000

苦、甜果各几个？设苦果x个，甜果y个，则可列方程为A11

yx-t^-x=999

【解答】解：•.•共买了一千个苦果和甜果，

；.x+y=1000；

；共花费九百九十九文钱，且四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，

.•.£+lly=999.

79-

\4y=1000

二可列方程组为1411

■yx十甲y二999

x+y=1000

故答案为：,411•

yx-t-g-x=999

14.（3分）如图，在aABC中，AB=AC,ZA=40°,以点C为圆心，C4长为半径作弧,

14

交直线8c于点P,连结AP,则NEAP的度数是15°或75°

当点。在点8的左侧时，

9：AB=AC,ZA=40°,

/.ZACB=ZABC=70°,

VCA=CPi,

0

180°-/ACP[ion.7°。

JZCAP]=ZCP\A=---------------------L二弹--------巴_cc。

22=2

AZBAP\=ZCAPi-ZCAB=55°-40°=15°；

当点尸在点。的右侧时，

*：AB=AC,ZA=40°,

AZACB=ZABC=10°,

・・・N8AC=1800-NAC8-NABC=180°-70°-70°=40°,

•・・CA=C尸2，

・・・NG4P2=NCP2A=NACB=J00_=35。,

22a

AZBAP2=ZCAP2+ZCAB=350+40°=75°,

15

由上可得，NB4P的度数是15°或75°,

故答案为15°或75°.

15.（3分）如图，在△ABC中，/C=90°,AC=6,BC=8,点E,F分别是边AC和A8

上的点，点4关于E尸的对称点。恰好落在BC边上，当△B。尸是直角三角形时，CO的

长是3或旦.

7~

【解答】解：当NBOF=90°B寸，

:点A关于EF的对称点D恰好落在BC边上,

：.AE=DE,AF=DF,NAEF=NDEF,

：/C=90°=NFDB,

：.AC//DF,

：.NAEF=ADFE,

：./DEF=ZDFE,

：.DE=DF,

：.AE=DE=DF=AF,

VZC=90°,AC=6,BC=8,

：.AB=10,

设AE=DE=DF=AF=x,

"."AC//DF,

:.丛BDFs丛BCA,

-DF_BFnnX_10-x

ACAB610

解得x=生，

4

：.AE=DE^^-,

4

；.CE=AC-AE=a,

4

在RtZ\OCE中,

16

号)

CD=^DE2_CE2=^^)2_2=3；

当NBFD=90°时，连接4D,如图：

:点A关于EF的对称点D恰好落在BC边上,

：.AF=DF,

•；NDFB=NC=90°,NB=NB,

:.XBDFsXBAC,

：.AC：BC：AB=6：8：10=3：4：5=DF：BF：BD,

设。F=3〃?，贝I]2F=4W,BD=5m,

.•.AF=10-4〃?，

：.3m=10-4m,

解得=

7

.•.BZ）=改，

7

：.CD=BC-8。=8-强=包

77

故答案为：3或2.

7

16.（3分）如图，在RlZ\AOB中，OA=OB=2近,。0的半径为1,点P是AB边上的动

点，过点尸作。。的一条切线PQ（Q点为切点），则切线长PQ的最小值为_遍_.

【解答】解：连接OP、OQ,如图所示,

17

,：PQ是(DO的切线,

：.OQ±PQ,

根据勾股定理知：PQ2=o产-。标，

.•.当POL48时，线段尸。最短，

•.•在中，OA=OB=2如,

：.AB=yf2OA=4,

•••SA4OB=2OA,O8=LWOP,即OP=空空=2,

22AB

‘p2=VoP2-OQ2=V22-l2=V3.

故答案为：Vs

三、解答题

17.(1)|1-V3I-(4-ir)°+2sin600+(A)'；

4

(2)解不等式组：[3X-2<2X

l2(l-2x)<4x+10

【解答】解：(1)|1-遥|-(4-it)°+2sin60°+(A)

4

=V3-1-1+2义也+4

2

=yj~3-1-l+V^+4

=2^3+2；

⑵[3x-2<2x

l2(l-2x)<4x+10，

解第一个不等式得xV2,

解第二个不等式得1.

故不等式组的解集为-lWx<2.

18.已知/+2x-l=0,求代数式(x+1)2+x(x+4)+(x-3)(x+3)的值.

【解答】解：(x+1)2+x(x+4)+(x-3)(x+3)

18

=/+2x+l+/+4x+/-9

=3X2+6X-8,

V7+2x-1=0,

，/+2%=b

，原式=3（7+2%）-8

=3X1-8

=3-8

=-5.

19.关于x的一元二次方程x2-（加+3）x+m+2=0.

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程的两个实数根都是正整数，求"的最小值.

【解答】（1）证明：依题意，得△=[-（团+3）]2-4（/zz+2）

=川+6〃?+9-4/7?-8

=（机+1）2.

,/（W+1）220,

...方程总有两个实数根.

（2）解：解方程，得xi=l,xi—m+2,

•••方程的两个实数根都是正整数，

；.，"+221.

.♦.根》-1.

：.m的最小值为-1.

20.先阅读下列材料，再解答问题.

尺规作图

已知：△A8C,。是边A8上一点，如图1,

求作：四边形QBCF,使得四边形QBCF是平行四边形.

小明的做法如下：

（1）设计方案

先画一个符合题意的草图，如图2,再分析实现目标的具体方法,

19

依据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

（2）设计作图步骤，完成作图

作法：如图3,

①延长BC至点E；

②分另IJ作NECP=NEBA,ZADQ=ZABE；

③QQ与CP交于点F.

.•.四边形。即为所求.

（3）推理论证

证明：'：ZECP=ZEBA,

：.CP//BA.

同理，DQ//BE.

二四边形DBCF是平行四边形.

请你参考小明的做法，再设计一种尺规作图的方法（与小明的方法不同），使得画出的四

边形。8CF是平行四边形，并证明.

【解答】解：（1）设计方案

先画一个符合题意的草图，如图2,再分析实现目标的具体方法,

依据：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

（2）设计作图步骤，完成作图

作法：如图，

①以点C为圆心，BQ长为半径画弧；

②以点。为圆心，长为半径画弧,;

20

③两弧交于点尸.

...四边形。BCF即为所求.

(3)推理论证

证明：•:CF=BD,DF=BC.

，四边形08c尸是平行四边形.

21.在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=经过点(0,2).

(1)求这个一次函数的解析式；

(2)当x<4时，对于x的每一个值，函数y=-x+方的值与函数y=依-无的值之和都大

于0,直接写出上的取值范围.

【解答】解：(1)•••一次函数y=-x+6经过点(0,2),

将点(0,2)代入y=-x+b,

得b=2,

，一次函数的解析式为：y=-x+2.

(2)令yi=-x+2,yi—kx-k,

.♦.yi+)2=-x+2+kx-k—(^-1)x+2-k,

•.,当x<4时，(fc-1)x+2-k>0,

：.k-l<0,解得及<1,

解(k-1)x+2-k>0,得土2,

k-l

k-l

解得

3

当左=1时,

y\+y2=-x+2+x-l=2>0,满足题意

综上，k的取值范围是Zwzwi.

3

22.如图，在菱形A8CD中，对角线AC,8。交于点0,过点A作AEJ_8c于点E,延长

BC到点凡使CF=8E,连接。F.

(1)求证：四边形AEFZ)是矩形；

(2)连接QE,若AO=10,EC=4,求0£的长度.

21

A

D

【解答】（1）证明：・・•四边形ABC。是菱形，

・・・AZ）〃3c且A£>=3C,

•：BE=CF,

:.BC=EF,

:・AD=EF,

u

：AD//EFf

，四边形AEFD是平行四边形，

VAE1BC,

AZAEF=90°,

・・・四边形AEFO是矩形；

（2）解：•・•四边形48co是菱形，40=10,

：.AD=AB=BC=W,

V£C=4,

ABE=10-4=6,

在RtAABE中，^£=<\/AB2-BE2=7102-62=8,

在RtAAEC中，AC=^/AE2+EC2=VS2+42=4遥，

•..四边形A8CZ）是菱形，

；.OA=OC,

.-.OE=1AC=2A/5.

2

23.为进一步增强中小学生“知危险会避险”的意识，某校初三年级开展了系列交通安全知

识竞赛，从中随机抽取30名学生两次知识竞赛的成绩（百分制），并对数据（成绩）进

行收集、整理、描述和分析.下面给出了部分信息.

公这30名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分情况统计图：

22

第二次成绩/分

100

95

90

85

80

80859095100第一次成绩/分

b.下表是这30名学生两次知识竞赛的获奖情况相关统计:

参与奖优秀奖卓越奖

第一次竞赛人数101010

平均分828795

第二次竞赛人数21216

平均分848793

（规定：分数290,获卓越奖；85W分数＜90,获优秀奖；分数＜85,获参与奖）

c.第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下：

90909191919192939394949495959698

".两次竞赛成绩样本数据的平均数、中位数、众数如表：

平均数中位数众数

第一次竞赛m87.588

第二次竞赛90n91

根据以上信息，回答下列问题：

（1）小松同学第一次竞赛成绩是89分，第二次竞赛成绩是91分，在图中用“O”圈出

代表小松同学的点；

（2）直接写出根，〃的值；

（3）可以推断出第二次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高,理由是第二

次竞赛学生成绩的平均数、中位数、众数都高于第一次竞赛.

【解答】解：（1）如图所示.

23

举第二次成绩/分

100

*

*

95•・••

••

90••••

••♦

••

•••

85■••••

80■

80859095100第一次成绩/分

(2)「82X10+87X10+95X10=32

30-

；第二次竞赛获卓越奖的学生有16人，成绩从小到大排列为：909091919191

92939394949495959698,

...第一和第二个数是30名学生成绩中第15和第16个数，

.•.〃=」(90+90)=90,

2

•\"?=88,/2—90；

(3)可以推断出第二次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高，理由是：第二次竞赛

学生成绩的平均数、中位数、众数都高于第一次竞赛.

故答案为：二，第二次竞赛学生成绩的平均数、中位数、众数都高于第一次竞赛.

24.某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷

水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分，若记水柱

上某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为〃米，下面的表中记录了d

与h的五组数据：

d(米)01234

h(米)0.51.251.51.250.5

根据上述信息，解决以下问题:

(1)在如下网格中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示〃与d函

数关系的图象；

(2)若水柱最高点距离湖面的高度为米，则，尸1.5；

(3)现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得

游船能从水柱下方通过，如图所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间

24

通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米.己知游船顶棚宽度为3米,

顶棚到湖面的高度为1.5米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少

调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）.

【解答】解：（1）以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐

标系，如图1所示:

（2）根据题意可知，该抛物线的对称轴为x=2,此时最高，

即，〃=1.5,

故答案为：1.5；

（3）根据图象可设二次函数的解析式为：h=a（d-2）2+1.5,

将（0,0.5）代入〃=〃（d-2）2+1.5,得”=-工，

4

二抛物线的解析式为：人=

4

设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：入=-0+4+05+〃，

4

由题意可知，当横坐标为2+3=工时，纵坐标的值大于1.5+0.5=2,

22

A-Ax（工）2+工+0.5+心2,

422

解得”21.1,

25

...水管高度至少向上调节1.1米，

/.0.5+1.1=1.6(米)，

...公园应将水管露出湖面的高度(喷水头忽略不计)至少调节到1.6米才能符合要求.

25.如图，在RtZ^ABC中，/BAC=90°,点。为BC边的中点，以为直径作。0,分

别与AB,AC交于点E,F,过点E作EGLBC于G.

(1)求证：EG是。。的切线；

(2)若AF=6,。。的半径为5,求BE的长.

【解答】(1)证明：如图，连接EF,

VZBAC=90°,

/是。。的直径，

：.OA=OE,

：.NBAD=NAEO,

；点D是RtA/lBC的斜边BC的中点,

：.AD=BD,

：.ZB=ZBAD,

：.OE//BC,

,:EGIBC,

：.OE±EG,

•.•点E在。O上，

；.EG是G)O的切线；

(2)；O。的半径为5,

：.EF=2OE=l0,

在RtZ\AEF中，A尸=6,

26

根据勾股定理得，A£=7EF^AP=8-

由（1）OE//BC,

"：OA=OD,

：.BE=AE=S.

26.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=/-2ar-3.

(1)求该抛物线的对称轴(用含。的式子表示)；

(2)A(xi，yi),B(X2>>2)为该抛物线上的两点，若xi=l-2a,x2—a+\,且yi>”,

求。的取值范围.

【解答】解：(1):•抛物线y=7-2ax-3,

...该抛物线的对称轴为直线》=-3-=a；

2X1

(2)①当2Vxi时.，yi>”，

则〃+1VI-2a,即aVO；

②当xi-a>a-刈时，yi>”，

贝(J1-2a-a>a-(〃+l),即tz<—；

3

③当xi-a<a-X2时，y\>”，

贝！JI-2a-a<a-(〃+l),即a>—,

3

综上，a<0或a>2.

3

27.己知正方形ABCD,将边AB绕点4顺时针旋转a至线段AE,ZDAE的角平分线所在

直线与直线BE相交于点F.过点C作直线BE的垂线CH,垂足为点H.

(1)当a为锐角时，依题意补全图形，并直接写出NQEB的度数；

(2)在(1)的条件下，写出线段BE和尸，之间的数量关系，并证明；

(3)设直线CH与直线OE相交于点P,若48=2,直接写出线段A尸长的最大值和最

小值.

27

连接OE,以AE为半径A为圆心作。A,如图所示,

；./BAD=90°,

VBD=BD.

•'-ZDEB=yZBAD=45°；

(2)BE=2FH,

理由：如图所示，过点4作尸于点连接AC,FC,DF,设E£>,4/交于点G,

28

：.EM=MB,/1=N2,

'：CH±BH,：.ZH=ZAMB=90°,

"：ZABC=90°,

NCBH=90°-NA8M=Z1,

在△AM8,△BHC中，

'NH=NAMB

•Z2=ZCBH-

AB=BC

:.丛AMBm丛BHC(A4S),

：.BM=CH,

尸平分NEA。，又AE=A。，

：.AFLED,

又(1)可得N£>EF=45°,

AZAFE=45°,

：.ZAFM=45°,又A例J_E尸，则例尸