2022届高考物理一轮复习经典题汇编21图像及复合场重力电场力含解析

图像及复合场〔重力+电场力〕一．选择题〔共5小题〕1．一正电荷仅在电场力的作用下，其速率﹣时间图象如下图，其中ta和tb是电荷在电场中a、b两点运动的时刻，那么以下说法正确的选项是〔〕A．a、b两点电场强度关系为Ea=EbB．a、b两点电场强度关系为Ea＞EbC．带电粒子从a点运动到b点时，电场力做正功、电势能减少D．a、b两点电势关系为φa＜φb2．半径为R，均匀带正电荷的绝缘体在空间产生对称的电场，电场强度大小沿半径分布如下图，图中E0。过球心同一直线上A、B两点，离球心的距离分别为2R、3R．以下说法中正确的选项是〔〕A．A、B点的电场强度大小之比为3：2B．把一正检验电荷从A点移到B点电势能增加C．从球面到A点的电势差小于A、B两点间的电势差D．从圆心到球面电势升高3．真空中有一半径为r0的带电金属球，通过其球心的一直线上各点的电势φ分布如下图。图中x1、x2、x3分别表示该直线上A、B、C三点到球心的距离。根据φ﹣x图象，以下说法正确的选项是〔〕A．该金属球可能带负电B．B点的电场强度大于C点的电场强度C．A点的电场强度方向由A指向BD．电荷量为q的正电荷从B移到C的过程中，电场力做功W=q〔φ3﹣φ2〕4．如下图，质量为m、带电荷量为q的粒子，以初速度v0从A点竖直向上射入真空中的沿水平方向的匀强电场中，粒子通过电场中B点时，速率vB=v0，方向与电场的方向一致，那么A、B两点的电势差为〔〕A． B． C． D．5．如图，竖直光滑的圆轨道上放一个质量为m的小球，带电量为+q〔可看作质点〕，圆的半径为R．周围空间充满着水平方向的匀强电场，电场强度E=．现在在最低点给小球一个初动能，为了小球能作一个完整的圆周运动，那么在圆轨道最低点给小球的初动能〔〕A．Ek大于mgR B．Ek等于mgRC．Ek小于mgR D．Ek的大小不能确定二．多项选择题〔共7小题〕6．如下图，以等量同种点电荷的连线中点为原点，两点电荷连线的中垂线为x轴，E表示电场强度，φ表示电势，根据你已经学过的知识判断，在以下E﹣x图象和φ﹣x图象中，可能正确的选项是〔〕A． B． C． D．7．静电场在x轴上的场强E随x的变化关系如下图，x轴正向为场强正方向，带正电的点电荷沿x轴运动，那么点电荷〔〕A．在x2和x4处电势能相等B．由x1运动到x3的过程中电势能增大C．由x1运动到x4的过程中电场力先增大后减小D．由x1运动到x4的过程中电场力先减小后增大8．空间有一沿x轴对称分布的电场，其电场强度E随x变化的图象如下图，x轴正方向为场强的正方向．以下说法中正确的选项是〔〕A．该电场可能是由一对分别位于x2和﹣x2两点的等量异种电荷形成的电场B．x2和﹣x2两点的电势相等C．正电荷从x1运动到x3的过程中电势能先增大后减小D．原点O与x2两点之间的电势差大于﹣x2与x1两点之间的电势差9．两个点电荷Q1、Q2固定于x轴上，Q2位于坐标原点O，将一带正点的试探电荷从足够远处沿x轴负方向移近Q2，在移动过程中，试探电荷的电势能随位置的变化关系如下图，曲线与x轴的交点为M，曲线的最低点为N，那么以下判断正确的选项是〔〕A．M点场强为零，N点电势最低B．M点电势为零，N点场强为零C．Q1带负电，Q2带正电，且Q2电荷量较小D．Q1带正电，Q2带负电，且Q2电荷量较大10．如下图，长为L、倾角为θ的光滑绝缘斜面处于电场中，一带电量为+q、质量为m的小球以初速度v0从斜面底端A点开始沿斜面上滑，当到达斜面顶端B点时，速度仍为v0，正确的选项是〔〕A．小球在A点的电势能一定大于在B点的电势能B．A、B两点间的电势差一定等于C．假设电场是匀强电场，那么该电场的电场强度最大值一定为D．假设该电场是由放置在C点的点电荷Q产生，那么θ为45°11．如下图，半径为R的环形塑料管竖直放置，管的内壁光滑，AB为该环的水平直径，且管的内径远小于环的半径，环的AB及其以下局部处于水平向左的匀强电场中．现将一直径略小于塑料管内径，质量为m，带电量为+q的小球从管中A点由静止释放，qE=mg，以下说法正确的选项是〔〕A．小球释放后，到达B点时速度为零，并在BDA间往复运动B．小球释放后，第一次到达B点时对管壁的压力为4mgC．小球释放后，第一次经过最低点D和最高点C时对管壁的压力之比为5：1D．小球释放后，前后两次经过最高点C时对管壁的压力之差为4mg12．在如下图的竖直向下的匀强电场中，用绝缘的细线拴住的带电小球在竖直平面内绕悬点O做圆周运动，以下说法正确的选项是〔〕A．带电小球有可能做匀速率圆周运动B．带电小球有可能做变速率圆周运动C．带电小球通过最高点时，细线拉力一定最小D．带电小球通过最低点时，细线拉力有可能最小三．计算题〔共4小题〕13．如下图，在竖直向下的匀强电场中有一带电量为q=﹣2×10﹣5C的小球，自倾角为θ=37°的绝缘斜面顶端A点由静止开始滑下，接着通过半径为R=2m的绝缘半圆轨道最高点C〔C点的切线水平〕，小球质量为m=0.5kg，匀强电场的场强E=2×105N/C，小球运动过程中摩擦阻力及空气阻力不计〔g=10m/s2、sinθ=0.6、cosθ=0.8〕，求：〔1〕小球沿斜面向下运动过程中加速度大小〔2〕H至少应为多少？〔提示小球在最高点C时速度不能为零．c点速度最小时H最小〕〔3〕通过调整释放高度使小球到达C点的速度为4m/s，那么小球落回到斜面时的动能是多少？14．如图，两水平面〔虚线〕之间的距离为H，其间的区域存在方向水平向右的匀强电场。自该区域上方的A点将质量为m、电荷量分别为q和﹣q〔q＞0〕的带电小球M、N先后以相同的初速度沿平行于电场的方向射出。小球在重力作用下进入电场区域，并从该区域的下边界离开。N离开电场时的速度方向竖直向下；M在电场中做直线运动，刚离开电场时的动能为N刚离开电场时的动能的1.5倍。不计空气阻力，重力加速度大小为g。求〔1〕M与N在电场中沿水平方向的位移之比；〔2〕A点距电场上边界的高度；〔3〕该电场的电场强度大小。15．真空中存在电场强度大小为E1的匀强电场，一带电油滴在该电场中竖直向上做匀速直线运动，速度大小为v0，在油滴处于位置A时，将电场强度的大小突然增大到某值，但保持其方向不变。持续一段时间t1后，又突然将电场反向，但保持其大小不变；再持续同样一段时间后，油滴运动到B点。重力加速度大小为g。〔1〕油滴运动到B点时的速度；〔2〕求增大后的电场强度的大小；为保证后来的电场强度比原来的大，试给出相应的t1和v0应满足的条件。不存在电场时，油滴以初速度v0做竖直上抛运动的最大高度恰好等于B、A两点间距离的两倍。16．从地面斜向上抛出一个质量为m的小球，当小球到达最高点时，小球具有的动能与势能之比是9：16，选地面为重力势能参考面，不计空气阻力，现在此空间加上一个平行于小球运动平面的水平电场，以相同的初速度抛出带上正电荷量为q的原小球，小球到达最高点时的动能与抛出时动能相等．重力加速度大小为g．试求：〔1〕无电场时，小球升到最高点的时间；〔2〕后来所加电场的场强大小．四．解答题〔共7小题〕17．如下图，方向为水平向右的匀强电场中，有一质量为m=0.1kg的带电小球，所带的电荷量是q=0.01C，现用长为L=0.25m的细线悬于O点，当小球平衡时，细线和竖直方向的夹角为θ=60°，求〔1〕电场强度E是多少？〔2〕现给小球一个初速度，速度方向和细线垂直，使小球恰能在竖直平面内做逆时针方向的圆周运动，那么圆周运动过程中速度的最小值为多少？〔3〕在〔2〕问条件下，假设当小球运动到最高点时，细线突然断了，小球将做类似斜上抛的运动，那么小球以后运动过程中的最小速度是多少？〔提示：用等效复合场〕18．如下图，在竖直边界线O1O2左侧空间存在一竖直向下的匀强电场．电场强度E=100N/C，电场区域内有一固定的粗糙绝缘斜面AB，其倾角为30°，A点距水平地面的高度为h=4m．BC段为一粗糙绝缘平面，其长度为L=m．斜面AB与水平面BC由一段极端的光滑小圆弧连接〔图中未标出〕，竖直边界线O1O2右侧区域固定一半径为R=0.5m的半圆形光滑绝缘轨道，CD为半圆形光滑绝缘轨道的直径，C、D两点紧贴竖直边界线O1O2，位于电场区域的外部〔忽略电场对O1O2右侧空间的影响〕．现将一个质量为m=1kg，带电荷量为q=0.1C的带正电的小球〔可视为质点〕在A点由静止释放，且该小球与斜面AB和水平BC间的动摩擦因数均为μ=〔g取10m/s2〕．求：〔1〕小球到达C点时的速度大小；〔2〕小球到达D点时所受轨道的压力大小；〔3〕小球落地点距离C点的水平距离．19．半径为R=0.8m的光滑绝缘导轨固定于竖直平面内，加上某一方向的匀强电场时，带电小球沿轨道内侧做完整的圆周运动．小球运动到A处时动能最大，A点与圆心O的连线与竖直向下方向夹一锐角，如下图．小球运动到A处时对轨道的压力FN=120N，且小球运动过程中最大动能比最小动能多32J．不计空气阻力．试求：〔1〕小球最小动能多大？〔2〕假设小球在动能最小位置时突然撤去轨道，并保持其它物理量都不变，那么小球经0.04s后，其动能与原来小球运动到A处时动能相同，那么小球的质量多大？20．如图，O、A、B为同一竖直平面内的三个点，OB沿竖直方向，∠BOA=60°，OB=OA，将一质量为m的小球以一定的初动能自O点水平向右抛出，小球在运动过程中恰好通过A点，使此小球带电，电荷量为q〔q＞0〕，同时加一匀强电场，场强方向与△OAB所在平面平行．现从O点以同样的初动能沿某一方向抛出此带电小球，该小球通过了A点，到达A点时的动能是初动能的3倍，假设该小球从O点以同样的初动能沿另一方向抛出，恰好通过B点，且到达B点时的动能为初动能的6倍，重力加速度大小为g，求：〔1〕无电场时，小球到达A点时的动能与初动能的比值；〔2〕电场强度的大小和方向．21．如下图，板长为L的平行板电容器倾斜固定放置，极板与水平线夹角θ=30°，某时刻一质量为m，带电量为q的小球由正中央A点静止释放，小球离开电场时速度是水平的，〔提示：离开的位置不一定是极板边缘〕落到距离A点高度为h的水平面处的B点，B点放置一绝缘弹性平板M，当平板与水平夹角a=45°时，小球恰好沿原路返回A点．求：〔1〕电容器极板间的电场强度E；〔2〕平行板电容器的板长L；〔3〕小球在AB间运动的周期T．22．如下图，一半径为R的竖直光滑圆轨道与水平轨道平滑连接，水平轨道上有一轻质弹簧，其左端固定在墙壁上，右端与质量为m、电荷量为+q的小物块〔视为质点〕接触但不相连，水平轨道AB段光滑，BC段粗糙且其长度L=3R，倾斜轨道CD段粗糙且与BC段平滑连接，倾斜轨道所在区域有水平向右的匀强电场，场强大小E=等手今向左推小物块压缩弹簧至某一位置后静止释放小物块，小物块由AB段进入圆轨道，通过圆轨道后在BC段和CD段上滑动，假设小物块与BC段和CD段的动摩擦因数相同，倾斜轨道与水平面间的夹角θ=37°．重力加速度为g，取SIN37°=0.6，COS37°=0.8〔1〕假设小物块恰能通过圆轨道的最高点，求弹簧的弹性势能Ep；〔2〕假设小物块将弹簧压缩到弹性势能E=mgR，释放后小物块在倾斜轨道能到达的最高点为P，在此过程中，小物块的电势能减少了△Ep=mgR，求小物块在BC段克服摩擦力所做的功W．23．如下图，在两条平行的虚线内存在着宽度为L、场强为E的匀强电场，在与右侧虚线相距也为L处有一与电场平行的屏．现有一电荷量为+q、质量为m的带电粒子〔重力不计〕，以垂直于电场线方向的初速度v0射入电场中，v0方向的延长线与屏的交点为O．试求：〔1〕粒子从射入到打到屏上所用的时间；〔2〕粒子刚射出电场时的速度方向与初速度方向间夹角的正切值；〔3〕粒子打到屏上的点P到O点的距离．图像及复合场〔重力+电场力〕参考答案与试题解析一．选择题〔共5小题〕1．一正电荷仅在电场力的作用下，其速率﹣时间图象如下图，其中ta和tb是电荷在电场中a、b两点运动的时刻，那么以下说法正确的选项是〔〕A．a、b两点电场强度关系为Ea=EbB．a、b两点电场强度关系为Ea＞EbC．带电粒子从a点运动到b点时，电场力做正功、电势能减少D．a、b两点电势关系为φa＜φb【解答】解：AB、v﹣t图象的斜率等于加速度，由v﹣t图象看出，点电荷做加速度增大的加速运动，而点电荷在电场中仅受电场力作用，那么知电场力增大，说明电场强度增大，即有Ea＜Eb．故A、B错误。C、点电荷的动能增大，由能量守恒定律得知，其电势能一定减小，电场力做正功，故C正确。D、由于点电荷带正电，从a点运动到b点时，电势能减少，所以由Ep=qφ知，φa＞φb．故D错误。应选：C。2．半径为R，均匀带正电荷的绝缘体在空间产生对称的电场，电场强度大小沿半径分布如下图，图中E0。过球心同一直线上A、B两点，离球心的距离分别为2R、3R．以下说法中正确的选项是〔〕A．A、B点的电场强度大小之比为3：2B．把一正检验电荷从A点移到B点电势能增加C．从球面到A点的电势差小于A、B两点间的电势差D．从圆心到球面电势升高【解答】解：A、球外某点的场强与该点到球心的距离平方成反比，那么知A、B点的电场强度大小之比为9：4，故A错误。B、正检验电荷受到排斥力，当正检验电荷从A点移到B点时，电场力做正功，电势能减小，故B错误。C、E﹣r曲线以下图线的面积表示电势差，所以从球面到A点的电势差大于AB两点间的电势差，故C错误。D、从圆心到球面电势升高，为U=E0R，故D正确。应选：D。3．真空中有一半径为r0的带电金属球，通过其球心的一直线上各点的电势φ分布如下图。图中x1、x2、x3分别表示该直线上A、B、C三点到球心的距离。根据φ﹣x图象，以下说法正确的选项是〔〕A．该金属球可能带负电B．B点的电场强度大于C点的电场强度C．A点的电场强度方向由A指向BD．电荷量为q的正电荷从B移到C的过程中，电场力做功W=q〔φ3﹣φ2〕【解答】解：A、由图可知0到r0电势不变，之后电势变小，带电金属球为一等势体，再依据沿着电场线方向，电势降低，那么金属球带正电，故A错误；B、图象的斜率表示电场强度的大小，那么可知B点的电场强度大于C点的电场强度，故B正确；C、由图可知，A点处的电势图象的斜率为零，故说明A点处的场强为零，故C错误；D、正电荷沿直线从A移到B的过程中，电场力做功W=qUAB=q〔φ2﹣φ3〕，故D错误。应选：B。4．如下图，质量为m、带电荷量为q的粒子，以初速度v0从A点竖直向上射入真空中的沿水平方向的匀强电场中，粒子通过电场中B点时，速率vB=v0，方向与电场的方向一致，那么A、B两点的电势差为〔〕A． B． C． D．【解答】解：粒子在竖直方向做匀减速直线运动，那么有：2gh=。电场力做正功，重力做负功，根据动能定理，有：qU﹣mgh=联立解得：U=．故D正确，A、B、C错误。应选：D。5．如图，竖直光滑的圆轨道上放一个质量为m的小球，带电量为+q〔可看作质点〕，圆的半径为R．周围空间充满着水平方向的匀强电场，电场强度E=．现在在最低点给小球一个初动能，为了小球能作一个完整的圆周运动，那么在圆轨道最低点给小球的初动能〔〕A．Ek大于mgR B．Ek等于mgRC．Ek小于mgR D．Ek的大小不能确定【解答】解：根据几何关系知，等效最高点在A点，A与圆心的连线与水平方向成45°，在A点，根据得，A点的最小速度，根据动能定理得，﹣Ek，解得＞，故A正确，B、C、D错误。应选：A。二．多项选择题〔共7小题〕6．如下图，以等量同种点电荷的连线中点为原点，两点电荷连线的中垂线为x轴，E表示电场强度，φ表示电势，根据你已经学过的知识判断，在以下E﹣x图象和φ﹣x图象中，可能正确的选项是〔〕A． B． C． D．【解答】解：AB、在两电荷连线的中点，由于两个电荷在此处产生的场强大小相等、方向相反，所以该处场强为零。在无穷远处场强也为零，所以两点电荷连线的中点到无穷远场强是先增大后减小，且场强关于电荷连线对称，故A正确，B错误。CD、两点电荷连线的中垂线上场强方向从中点指向无穷远，且电势逐渐降低。因为O处的场强为零，那么O处φ﹣x的斜率为0，故C错误，D正确。应选：AD。7．静电场在x轴上的场强E随x的变化关系如下图，x轴正向为场强正方向，带正电的点电荷沿x轴运动，那么点电荷〔〕A．在x2和x4处电势能相等B．由x1运动到x3的过程中电势能增大C．由x1运动到x4的过程中电场力先增大后减小D．由x1运动到x4的过程中电场力先减小后增大【解答】解：A、x2﹣x4处场强为x轴负方向，那么从x2到x4处逆着电场线方向移动，电势升高，正电荷在x4处电势能较大，故A错误；B、x1﹣x3处场强为x轴负方向，那么从x1到x3处逆着电场线方向移动，电势升高，正电荷在x3处电势能较大，B正确；C、由x1运动到x4的过程中，由图可以看出电场强度的绝对值先增大后减小，故电场力先增大后减小，故C正确，D错误；应选：BC。8．空间有一沿x轴对称分布的电场，其电场强度E随x变化的图象如下图，x轴正方向为场强的正方向．以下说法中正确的选项是〔〕A．该电场可能是由一对分别位于x2和﹣x2两点的等量异种电荷形成的电场B．x2和﹣x2两点的电势相等C．正电荷从x1运动到x3的过程中电势能先增大后减小D．原点O与x2两点之间的电势差大于﹣x2与x1两点之间的电势差【解答】解：A、根据等量异种电荷形成的电场的特点可知，在等量异种电荷的连线上，各点的电场强度的方向是相同的，而该图中电场强度的大小和方向都沿x轴对称分布，所以该电场一定不是由一对分别位于x2和﹣x2两点的等量异种电荷形成的电场。故A错误；B、由于x2和﹣x2两点关于y轴对称，且电场强度的大小也相等，故从O点到x2和从O点到﹣x2电势降落相等，故x2和﹣x2两点的电势相等，故B正确；C、由图可知，从x1到x3电场强度始终为正，那么正电荷运动的方向始终与电场的方向相同，所以电场力做正功，电势能逐渐减小，故C错误；D、x2和﹣x2两点的电势相等，原点O与x2两点之间的电势差等于原点O与﹣x2两点之间的电势差，﹣x2与x1两点之间的电势差等于x2与x1两点之间的电势差，所以原点O与x2两点之间的电势差大于﹣x2与x1两点之间的电势差。故D正确；应选：BD。9．两个点电荷Q1、Q2固定于x轴上，Q2位于坐标原点O，将一带正点的试探电荷从足够远处沿x轴负方向移近Q2，在移动过程中，试探电荷的电势能随位置的变化关系如下图，曲线与x轴的交点为M，曲线的最低点为N，那么以下判断正确的选项是〔〕A．M点场强为零，N点电势最低B．M点电势为零，N点场强为零C．Q1带负电，Q2带正电，且Q2电荷量较小D．Q1带正电，Q2带负电，且Q2电荷量较大【解答】解：A、B由图知，M点电势能EP=0，由φ=分析得知，M点电势φ=0．EP﹣x图象的斜率=F=qE，那么知N点场强为零。故A错误，B正确。CD、根据正电荷在电势高处电势能大，可知，带正电的试探电荷从远处移近Q2的过程中，电势能先减小后增大，电势先降低后升高，说明Q1带负电，Q2带正电，N点场强为零，由E=k知，Q2电荷量较小。故C正确，D错误。应选：BC。10．如下图，长为L、倾角为θ的光滑绝缘斜面处于电场中，一带电量为+q、质量为m的小球以初速度v0从斜面底端A点开始沿斜面上滑，当到达斜面顶端B点时，速度仍为v0，正确的选项是〔〕A．小球在A点的电势能一定大于在B点的电势能B．A、B两点间的电势差一定等于C．假设电场是匀强电场，那么该电场的电场强度最大值一定为D．假设该电场是由放置在C点的点电荷Q产生，那么θ为45°【解答】解：A、小球从A运动到B的过程中，重力势能增加，电势能减小，那么小球在A点的电势能一定大于小球在B点的电势能。故A正确；B、根据动能定理得：﹣mgLsinθ+qUAB=m﹣m=0，得到：UAB=，故B正确；C、假设电场是匀强电场，电场力恒定，到达B点时小球速度仍为v0，故小球做匀速直线运动，电场力与重力、支持力的合力为零。小球的重力沿斜面向下的分力为mgsinθ一定，那么当电场力沿斜面向上，大小为F=mgsinθ时，电场力最小，场强最小，又电场力F=Eq，那么该电场的场强的最小值一定是．故C错误；D、假设该电场是由放置在C点的点电荷Q产生，A、B两点的电势相等，小球从A运动到B电势能不变，与上分析矛盾，故D错误；应选：AB。11．如下图，半径为R的环形塑料管竖直放置，管的内壁光滑，AB为该环的水平直径，且管的内径远小于环的半径，环的AB及其以下局部处于水平向左的匀强电场中．现将一直径略小于塑料管内径，质量为m，带电量为+q的小球从管中A点由静止释放，qE=mg，以下说法正确的选项是〔〕A．小球释放后，到达B点时速度为零，并在BDA间往复运动B．小球释放后，第一次到达B点时对管壁的压力为4mgC．小球释放后，第一次经过最低点D和最高点C时对管壁的压力之比为5：1D．小球释放后，前后两次经过最高点C时对管壁的压力之差为4mg【解答】解：A、只有重力和电场力做功，带电小球到达B点，重力势能不变，电势能减小，故有动能，其动能大小等于电场力做的功，为qE•2R=2mgR故A错误；B、D、从A点释放到B点过程，根据动能定理，有qE•2R=③据向心力公式，有N2B﹣qE=m④解得N2C=5mg故B错误；C、第一次过D点时，根据动能定理，有mgR+qER=①根据向心力公式，有N1D﹣mg=m②解得N1D=5mg第一次过C点，根据向心力公式，有N1C+mg=m根据动能定理可知：第一次经过C点的动能为：2EqR﹣mgR=mgR，故N1C=mg可知故CD正确；应选：CD。12．在如下图的竖直向下的匀强电场中，用绝缘的细线拴住的带电小球在竖直平面内绕悬点O做圆周运动，以下说法正确的选项是〔〕A．带电小球有可能做匀速率圆周运动B．带电小球有可能做变速率圆周运动C．带电小球通过最高点时，细线拉力一定最小D．带电小球通过最低点时，细线拉力有可能最小【解答】解：A、当小球所受重力与电场力合力为零时，绳子的拉力提供向心力，合外力做功为零，小球做匀速圆周运动，故A正确；B、当小球所受重力与电场力合力不为零时，合外力对小球所做的功不为零，小球速度大小发生变化，小球做变速圆周运动，故B正确；C、当小球做匀速圆周运动时，细线的拉力提供向心力，在圆周上任何一点细线的拉力都相等，如果小球做非匀变速运动，小球带正电时，在最高点细线拉力最小，如果小球带负电，在最高点，小球的拉力最大，故C错误；D、小球所受重力与电场力不相等，做变速圆周运动，且小球带负电时，假设电场力大于重力时，在最低点细线拉力最小，故D正确；应选：ABD。三．计算题〔共4小题〕13．如下图，在竖直向下的匀强电场中有一带电量为q=﹣2×10﹣5C的小球，自倾角为θ=37°的绝缘斜面顶端A点由静止开始滑下，接着通过半径为R=2m的绝缘半圆轨道最高点C〔C点的切线水平〕，小球质量为m=0.5kg，匀强电场的场强E=2×105N/C，小球运动过程中摩擦阻力及空气阻力不计〔g=10m/s2、sinθ=0.6、cosθ=0.8〕，求：〔1〕小球沿斜面向下运动过程中加速度大小〔2〕H至少应为多少？〔提示小球在最高点C时速度不能为零．c点速度最小时H最小〕〔3〕通过调整释放高度使小球到达C点的速度为4m/s，那么小球落回到斜面时的动能是多少？【解答】解：〔1〕在斜面上下滑时，据牛顿第二定律：〔mg﹣Eq〕sinθ=ma代入得加速度为：a=1.2m/s2〔2〕恰好过最高点C时，重力与电场力的合力提供向心力：…①vc=2.0m/s从A到C，根据动能定理：…②联立解得：H=5m〔3〕从C点飞出后做类平抛运动，向下的加速度：mg﹣qE=ma…③解得：a=2m/s2竖直方向：…④水平方向：x=vct…⑤根据几何关系工：…⑥解得：t=1sy=1m从C到落回斜面有：…⑦联立③～⑦解得：Ek=5J答：〔1〕小球沿斜面向下运动过程中加速度大小为1.2m/s2．〔2〕H至少应为5．〔3〕通过调整释放高度使小球到达C点的速度为4m/s，那么小球落回到斜面时的动能是5J．14．如图，两水平面〔虚线〕之间的距离为H，其间的区域存在方向水平向右的匀强电场。自该区域上方的A点将质量为m、电荷量分别为q和﹣q〔q＞0〕的带电小球M、N先后以相同的初速度沿平行于电场的方向射出。小球在重力作用下进入电场区域，并从该区域的下边界离开。N离开电场时的速度方向竖直向下；M在电场中做直线运动，刚离开电场时的动能为N刚离开电场时的动能的1.5倍。不计空气阻力，重力加速度大小为g。求〔1〕M与N在电场中沿水平方向的位移之比；〔2〕A点距电场上边界的高度；〔3〕该电场的电场强度大小。【解答】解：〔1〕两带电小球的电量相同，可知M球在电场中水平方向上做匀加速直线运动，N球在水平方向上做匀减速直线运动，水平方向上的加速度大小相等，两球在竖直方向均受重力，竖直方向上做加速度为g的匀加速直线运动，由于竖直方向上的位移相等，那么运动的时间相等，设水平方向的加速度大小为a，对M，有：，对N：v0=at，，可得，解得xM：xN=3：1。〔2、3〕设正电小球离开电场时的竖直分速度为vy，水平分速度为v1，两球离开电场时竖直分速度相等，因为M在电场中做直线运动，刚离开电场时的动能为N刚离开电场时的动能的1.5倍，那么有：，解得，因为v1=v0+at=2v0，那么=2v0，因为M做直线运动，设小球进电场时在竖直方向上的分速度为vy1，那么有：，解得vy1=，在竖直方向上有：，，解得A点距电场上边界的高度h=。因为M做直线运动，合力方向与速度方向在同一条直线上，有：=，那么电场的电场强度E==。答：〔1〕M与N在电场中沿水平方向的位移之比为3：1〔2〕A点距电场上边界的高度为；〔3〕该电场的电场强度大小为。15．真空中存在电场强度大小为E1的匀强电场，一带电油滴在该电场中竖直向上做匀速直线运动，速度大小为v0，在油滴处于位置A时，将电场强度的大小突然增大到某值，但保持其方向不变。持续一段时间t1后，又突然将电场反向，但保持其大小不变；再持续同样一段时间后，油滴运动到B点。重力加速度大小为g。〔1〕油滴运动到B点时的速度；〔2〕求增大后的电场强度的大小；为保证后来的电场强度比原来的大，试给出相应的t1和v0应满足的条件。不存在电场时，油滴以初速度v0做竖直上抛运动的最大高度恰好等于B、A两点间距离的两倍。【解答】解：〔1〕方法一：设油滴质量为m，带电荷量为q，增大后的电场强度为E2，根据题中条件可以判断电场力与重力方向相反；对于匀速运动阶段，有qE1=mg…①对于场强突然增大后的第一段t1时间，由牛顿第二定律得：qE2﹣mg=ma1…②对于场强第二段t1时间，由牛顿第二定律得：qE2+mg=ma2…③由运动学公式，可得油滴在电场反向时的速度为：v1=v0+a1t1④油滴在B的速度为：vB=v1﹣a2t1⑤联立①至⑤式，可得：vB=v0﹣2gt1；方向向上；方法二：选向上的方向正，由动量定理有：﹣mg×2t+qE1t﹣qE1t=mv﹣mv0解得：vB=v0﹣2gt1；方向向上；〔2〕设无电场时竖直上抛的最大高度为h，由运动学公式，有：v02=2gh…⑥根据位移时间关系可得：v0t1+…⑦v1t1﹣…⑧油滴运动有两种情况：情况一：位移之和x1+x2=⑨联立①、②、③、⑥、⑦、⑧、⑨可得：E2=E1+由题意得E2＞E1，即满足条件，即当或才是可能的；情况二：位移之和x1+x2=﹣⑩联立①、②、③、⑥、⑦、⑧、⑩可得：E2=E1+由题意得E2＞E1，即满足条件，即，另一解为负，不合题意，舍去。答：〔1〕油滴运动到B点时的速度为v0﹣2gt1；〔2〕增大后的电场强度的大小为E1+，t1和v0应满足的条件为或；或E1+；相应的t1和v0应满足的条件为。16．从地面斜向上抛出一个质量为m的小球，当小球到达最高点时，小球具有的动能与势能之比是9：16，选地面为重力势能参考面，不计空气阻力，现在此空间加上一个平行于小球运动平面的水平电场，以相同的初速度抛出带上正电荷量为q的原小球，小球到达最高点时的动能与抛出时动能相等．重力加速度大小为g．试求：〔1〕无电场时，小球升到最高点的时间；〔2〕后来所加电场的场强大小．【解答】解：〔1〕无电场时，当小球升到最高点时，小球具有的动能与势能之比是9：16将小球的运动分解为水平方向和竖直方向，那么竖直方向有vy2=2gh得=mgh那么：=9：16解得初始时vx：vy=3：4所以竖直方向的初速度为vy=竖直方向小球做匀减速运动，有vy=gt解得t=〔2〕设后来所加的电场场强大小为E，小球到达最高点时的动能与抛出时动能相等．假设电场力的方向与初速度的水平分量方向相同，那么有v0=+t解得E=假设电场力的方向与初速度的水平分量方向相反，那么有v0=t﹣解得E=答：〔1〕无电场时，小球升到最高点的时间是；〔2〕后来所加电场的场强大小是或．四．解答题〔共7小题〕17．如下图，方向为水平向右的匀强电场中，有一质量为m=0.1kg的带电小球，所带的电荷量是q=0.01C，现用长为L=0.25m的细线悬于O点，当小球平衡时，细线和竖直方向的夹角为θ=60°，求〔1〕电场强度E是多少？〔2〕现给小球一个初速度，速度方向和细线垂直，使小球恰能在竖直平面内做逆时针方向的圆周运动，那么圆周运动过程中速度的最小值为多少？〔3〕在〔2〕问条件下，假设当小球运动到最高点时，细线突然断了，小球将做类似斜上抛的运动，那么小球以后运动过程中的最小速度是多少？〔提示：用等效复合场〕【解答】解：〔1〕当小球平衡时，以小球为研究对象，根据平衡条件得：qE=mgtanθ可得：E===×102N/C〔2〕可与重力场类比，等效重力为：mg′===2mg当小球恰好通过等效最高点做圆周运动时，做圆周运动的速度最小，此时由等效重力提供向心力．由牛顿第二定律得：mg′=m小球的最小速度为：vmin===m/s；〔3〕设小球通过最高点的速度为v．由几何关系知，等效最高点与小球的平衡位置关于O点对称，从等效最高点到最高点的过程中，根据动能定理得：mg′L〔1﹣cos60°〕=﹣解得：v=2当小球运动到最高点时，细线突然断后，小球开始做类似斜上抛的运动，到达等效最高点时速度，最小速度为：vmin′=vmincos60°==m/s答：〔1〕电场强度E是×102N/C．〔2〕圆周运动过程中速度的最小值为m/s．〔3〕小球以后运动过程中的最小速度是m/s．18．如下图，在竖直边界线O1O2左侧空间存在一竖直向下的匀强电场．电场强度E=100N/C，电场区域内有一固定的粗糙绝缘斜面AB，其倾角为30°，A点距水平地面的高度为h=4m．BC段为一粗糙绝缘平面，其长度为L=m．斜面AB与水平面BC由一段极端的光滑小圆弧连接〔图中未标出〕，竖直边界线O1O2右侧区域固定一半径为R=0.5m的半圆形光滑绝缘轨道，CD为半圆形光滑绝缘轨道的直径，C、D两点紧贴竖直边界线O1O2，位于电场区域的外部〔忽略电场对O1O2右侧空间的影响〕．现将一个质量为m=1kg，带电荷量为q=0.1C的带正电的小球〔可视为质点〕在A点由静止释放，且该小球与斜面AB和水平BC间的动摩擦因数均为μ=〔g取10m/s2〕．求：〔1〕小球到达C点时的速度大小；〔2〕小球到达D点时所受轨道的压力大小；〔3〕小球落地点距离C点的水平距离．【解答】解：〔1〕以小球为研究对象，由A点至C点的运动过程中，根据动能定理可得：〔mg+Eq〕h﹣μ〔mg+Eq〕cos30°•﹣μ〔mg+Eq〕L=mvC2﹣0那么得：vC==m/s=2m/s〔2〕以小球为研究对象，在由C点至D点的运动过程中，根据机械能守恒定律可得：m=m+mg•2R在最高点以小球为研究对象，根据牛顿第二定律可得：FN+mg=m联立解得：FN=m﹣5mg=1×﹣50=30NvD==m/s=2m/s〔3〕小球做类平抛运动的加速大小为a，根据牛顿第二定律可得：mg+qE=ma那么得：a=g+=10+=20〔m/s2〕应用类平抛运动的规律列式可得：x=vDt，2R=at2联立得：x=vD=2×m=m答：〔1〕小球到达C点时的速度大小为2m/s；〔2〕小球到达D点时所受轨道的压力大小为30N；〔3〕小球落地点距离C点的水平距离为m．19．半径为R=0.8m的光滑绝缘导轨固定于竖直平面内，加上某一方向的匀强电场时，带电小球沿轨道内侧做完整的圆周运动．小球运动到A处时动能最大，A点与圆心O的连线与竖直向下方向夹一锐角，如下图．小球运动到A处时对轨道的压力FN=120N，且小球运动过程中最大动能比最小动能多32J．不计空气阻力．试求：〔1〕小球最小动能多大？〔2〕假设小球在动能最小位置时突然撤去轨道，并保持其它物理量都不变，那么小球经0.04s后，其动能与原来小球运动到A处时动能相同，那么小球的质量多大？【解答】解：〔1〕小球所受的电场力和重力的合力F方向必与OA平行，且由O指向A．小球在A处，，小球在A关于O点对称的圆轨道B处时动能最小，设为Ek2，那么根据动能定理得，Ek2﹣Ek1=﹣F•2R又Ek1﹣Ek2=32J联立解得F=20N，Ek2=8J．〔2〕撤去轨道后小球做类平抛运动，经t=0.04s，动能与原来小球运动到A处时动能相同，因为仍然是重力和电场力做功，所以小球到达位置与A连线OA垂直．有：F=ma，由第一问求出F=20N，代入数据解得m=0.01kg．答：〔1〕小球的最小动能为8J．〔2〕小球的质量为0.01kg．20．如图，O、A、B为同一竖直平面内的三个点，OB沿竖直方向，∠BOA=60°，OB=OA，将一质量为m的小球以一定的初动能自O点水平向右抛出，小球在运动过程中恰好通过A点，使此小球带电，电荷量为q〔q＞0〕，同时加一匀强电场，场强方向与△OAB所在平面平行．现从O点以同样的初动能沿某一方向抛出此带电小球，该小球通过了A点，到达A点时的动能是初动能的3倍，假设该小球从O点以同样的初动能沿另一方向抛出，恰好通过B点，且到达B点时的动能为初动能的6倍，重力加速度大小为g，求：〔1〕无电场时，小球到达A点时的动能与初动能的比值；〔2〕电场强度的大小和方向．【解答】解：〔1〕小球做平抛运动，设初速度v0．初动能EK0，从O到A的运动时间为t，令，那么：，根据平抛运动的规律得：水平方向：d•sin60°=v0t…①竖直方向：…②又：…③联立①②③解得：…④设小球到达A时的动能为EKA，那么：…⑤所以：；〔2〕加电场后，从O点到A点下降了y=d，从O点到B点下降了，设两点的电势能分别减小△EPA和△EPB，由能量守恒和④得：…⑥…⑦在匀强电场中，沿着任意直线，电势的降落是均匀的，设直线OB上的M点的电势与A的电势相同，M点到O点的距离是x，如图，那么有：…⑧解得：x=d，MA是等势线，电场线与MA的垂线OC平行，设电场方向与竖直向下的方向之间的夹角是α，由几何关系可得△OAM是等边三角形，所以：α==30°，即电场线的方向与竖直方向之间