高数第五章 定积分课件

第五章定积分第一节定积分的概念一、问题的提出二、定积分的定义三、存在定理四、几何意义五、小结思考题高数第五章定积分abxyo实例1

（求曲边梯形的面积）一、问题的提出高数第五章定积分abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）高数第五章定积分观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．播放高数第五章定积分曲边梯形如图所示，高数第五章定积分曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为高数第五章定积分实例2

（求变速直线运动的路程）思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．高数第五章定积分（1）分割部分路程值某时刻的速度（2）求和（3）取极限路程的精确值高数第五章定积分二、定积分的定义定义高数第五章定积分被积函数被积表达式积分变量记为积分上限积分下限积分和高数第五章定积分注意：高数第五章定积分定理1定理2三、存在定理高数第五章定积分曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值四、定积分的几何意义高数第五章定积分几何意义：高数第五章定积分例1

利用定义计算定积分解高数第五章定积分高数第五章定积分例2

利用定义计算定积分解高数第五章定积分高数第五章定积分证明利用对数的性质得高数第五章定积分极限运算与对数运算换序得高数第五章定积分故高数第五章定积分五、小结１．定积分的实质：特殊和式的极限．２．定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分求近似以直（不变）代曲（变）取极限高数第五章定积分思考题将和式极限：表示成定积分.高数第五章定积分思考题解答原式高数第五章定积分练习题高数第五章定积分高数第五章定积分练习题答案高数第五章定积分观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．高数第五章定积分观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．高数第五章定积分观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．高数第五章定积分观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．高数第五章定积分观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．高数第五章定积分观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．高数第五章定积分观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．高数第五章定积分观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．高数第五章定积分观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．高数第五章定积分观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．高数第五章定积分观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．高数第五章定积分观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．高数第五章定积分观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．高数第五章定积分观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．高数第五章定积分观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．高数第五章定积分

第二节定积分的性质、中值定理一、基本内容二、小结思考题高数第五章定积分对定积分的补充规定:说明

在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．一、基本内容高数第五章定积分证（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质1高数第五章定积分证性质2高数第五章定积分补充：不论的相对位置如何,上式总成立.例若（定积分对于积分区间具有可加性）则性质3高数第五章定积分证性质4性质5高数第五章定积分解令于是高数第五章定积分性质5的推论：证（1）高数第五章定积分证说明：

可积性是显然的.性质5的推论：（2）高数第五章定积分证（此性质可用于估计积分值的大致范围）性质6高数第五章定积分解高数第五章定积分解高数第五章定积分高数第五章定积分证由闭区间上连续函数的介值定理知性质7（定积分中值定理）积分中值公式高数第五章定积分使即积分中值公式的几何解释：高数第五章定积分解由积分中值定理知有使高数第五章定积分１．定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）２．典型问题（１）估计积分值；（２）不计算定积分比较积分大小．二、小结高数第五章定积分思考题高数第五章定积分思考题解答例高数第五章定积分练习题高数第五章定积分高数第五章定积分高数第五章定积分练习题答案高数第五章定积分高数第五章定积分对定积分的补充规定:说明

在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．一、基本内容高数第五章定积分证（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质1高数第五章定积分证性质2高数第五章定积分补充：不论的相对位置如何,上式总成立.例若（定积分对于积分区间具有可加性）则性质3高数第五章定积分证性质4性质5高数第五章定积分解令于是高数第五章定积分性质5的推论：证（1）高数第五章定积分证说明：

可积性是显然的.性质5的推论：（2）高数第五章定积分证（此性质可用于估计积分值的大致范围）性质6高数第五章定积分解高数第五章定积分解高数第五章定积分高数第五章定积分证由闭区间上连续函数的介值定理知性质7（定积分中值定理）积分中值公式高数第五章定积分使即积分中值公式的几何解释：高数第五章定积分解由积分中值定理知有使高数第五章定积分１．定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）２．典型问题（１）估计积分值；（２）不计算定积分比较积分大小．二、小结高数第五章定积分思考题高数第五章定积分思考题解答例高数第五章定积分练习题高数第五章定积分高数第五章定积分高数第五章定积分练习题答案高数第五章定积分

第三节微积分基本公式一、问题的提出二、积分上限函数及其导数三、牛顿—莱布尼茨公式发四、小结思考题高数第五章定积分变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中路程为另一方面这段路程可表示为一、问题的提出高数第五章定积分考察定积分记积分上限函数二、积分上限函数及其导数高数第五章定积分积分上限函数的性质证高数第五章定积分由积分中值定理得高数第五章定积分补充证高数第五章定积分例1求解分析：这是型不定式，应用洛必达法则.高数第五章定积分证高数第五章定积分高数第五章定积分证令高数第五章定积分定理2（原函数存在定理）定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.高数第五章定积分定理3（微积分基本公式）证三、牛顿—莱布尼茨公式高数第五章定积分令令牛顿—莱布尼茨公式高数第五章定积分微积分基本公式表明：注意求定积分问题转化为求原函数的问题.高数第五章定积分例4求

原式例5设

,求.解解高数第五章定积分例6求

解由图形可知高数第五章定积分例7求

解解面积高数第五章定积分3.微积分基本公式1.积分上限函数2.积分上限函数的导数四、小结牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系．高数第五章定积分思考题高数第五章定积分思考题解答高数第五章定积分练习题高数第五章定积分高数第五章定积分高数第五章定积分高数第五章定积分高数第五章定积分高数第五章定积分练习题答案高数第五章定积分高数第五章定积分

第四节定积分的换元积分法一、换元公式二、小结思考题高数第五章定积分定理一、换元公式高数第五章定积分证高数第五章定积分高数第五章定积分应用换元公式时应注意:（1）（2）高数第五章定积分例1计算解令高数第五章定积分例2计算解高数第五章定积分例3计算解原式高数第五章定积分例4计算解令原式高数第五章定积分证高数第五章定积分高数第五章定积分奇函数例6计算解原式偶函数单位圆的面积高数第五章定积分证（1）设高数第五章定积分（2）设高数第五章定积分高数第五章定积分几个特殊积分、定积分的几个等式定积分的换元法二、小结高数第五章定积分思考题解令高数第五章定积分思考题解答计算中第二步是错误的.正确解法是高数第五章定积分练习题高数第五章定积分高数第五章定积分高数第五章定积分高数第五章定积分练习题答案高数第五章定积分

第五节定积分的分部积分公式一、分部积分公式二、小结思考题高数第五章定积分定积分的分部积分公式推导一、分部积分公式高数第五章定积分例1

计算解令则高数第五章定积分例2

计算解高数第五章定积分例3

计算解高数第五章定积分例4

设求解高数第五章定积分高数第五章定积分例5

证明定积分公式为正偶数为大于1的正奇数证设高数第五章定积分积分关于下标的递推公式直到下标减到0或1为止高数第五章定积分于是高数第五章定积分定积分的分部积分公式二、小结（注意与不定积分分部积分法的区别）高数第五章定积分思考题高数第五章定积分思考题解答高数第五章定积分练习题高数第五章定积分高数第五章定积分练习题答案高数第五章定积分高数第五章定积分

第七节广义积分一、无穷限的广义积分二、无界函数的广义积分三、小结思考题高数第五章定积分一、无穷限的广义积分高数第五章定积分高数第五章定积分高数第五章定积分例1

计算广义积分解高数第五章定积分例2

计算广义积分解高数第五章定积分证高数第五章定积分证高数第五章定积分二、无界函数的广义积分高数第五章定积分高数第五章定积分定义中C为瑕点，以上积分称为瑕积分.高数第五章定积分例5

计算广义积分解高数第五章定积分证高数第五章定积分例7

计