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文档简介
1整理课件§2无穷积分的性质及收敛判别一、无穷积分的性质
本节讨论无穷积分的性质,并用这些性质得到无穷积分的收敛判别法.二、非负函数无穷积分的收敛判别法三、一般函数无穷积分的收敛判别法2整理课件收敛的充要条件是:一、无穷积分的性质证极限的柯西准那么,此等价于(无穷积分收敛的柯西准则)无穷积分定理11.13整理课件性质1为任意常数,那么即根据反常积分定义,容易导出以下性质1和性质2.4整理课件性质25整理课件h(x)在任意[a,u]上可积,且证因为收敛,由柯西准那么的必要性,例1,f(x),g(x),若6整理课件再由柯西准则的充分性,7整理课件二、非负函数无穷积分的收敛判别法定理11.2(非负函数无穷积分的判别法)设定义在上的非负函数f
在任何收敛的充要条件是:证设8整理课件非负函数
f,g在任何有限区间[a,u]上可积,且定理11.3(比较判别法)
设定义在上的两个增函数的收敛判别准则,
从而F(u)是单调递增的由单调递存在满足9整理课件证
由非负函数无穷积分的判别法,第二个结论是第一个结论的逆否命题,因此也成立.10整理课件例2判别的收敛性.解显然设f(x),g(x)是上的非负连续函数.证例311整理课件推论1设非负函数f和g在任何[a,u]上可积,且证由于12整理课件证
即13整理课件14整理课件推论2设f是定义在上的非负函数,在任何15整理课件限区间[a,u]上可积.推论3设f是定义在上的非负函数,在任何有说明:推论3是推论2的极限形式,读者应不难写出它的证明.16整理课件例4讨论的收敛性(k>0).解(i)17整理课件若无穷积分以下定理可用来判别一般函数无穷积分的收敛性.三、一般函数无穷积分的判别法何有限区间[a,u]上可积,定理11.4
(绝对收敛的无穷积分必收敛)若
f在任18整理课件因此再由柯西准则的充分性,又对任意证由柯西准则的必要性,对因19整理课件收敛的无穷积分不一定是绝对收敛的.例5的收敛性.判别解由于20整理课件瑕积分的性质与收敛判别,与无穷积§3瑕积分的性质与收敛判别内容大都是罗列出一些根本结论,并举分的性质与收敛判别相类似.因此本节
例加以应用,而不再进行重复论证.21整理课件定理11.7〔瑕积分收敛的柯西准那么〕证柯西准则,此等价于22整理课件性质1性质2
23整理课件性质3定理11.8
(非负函数瑕积分的判别法)24整理课件定理11.9(比较法那么)25整理课件推论126整理课件推论227整理课件推论3可以判别一些非负函数瑕积分的收敛性.28整理课件例1由于29整理课件例2解30整理课件例3解31整理课件32整理课件aa
00
<
a
<
1a
1I(a)发散收敛定积分J(a)收敛收敛发散
(a)发散收敛发散33整理课件*一般函数的无穷积分的狄利克雷判定理11.5(狄利克雷判别法)证故别法和阿贝尔判别法判别其收敛性.34整理课件使得35整理课件因此,由柯西准则,证[证法1]定理11.6(阿贝尔判别法)由
g的单调性,用积分第二中值定理,对于任意的使得36整理课件由柯西准则,[证法2]37整理课件由狄利克雷判别法例6的收敛性.收敛.收敛,所以解38整理课件由狄利克雷判别法推知另一方面,狄利克雷
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