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文档简介

培优拓展(十一)导数应用中的函数构造导数中的函数构造问题是高考考查的一个热点内容,经常以客观题出现,同构法构造函数也常在解答题中出现,通过已知等式或不等式的结构特征,构造新函数,解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.考点一具体函数的构造例1(2023河南郑州三模)下列不等式中不成立的是(

)A.ecos1-1>cos1B.πln4<4lnπD.log20222021<log20242023C解析

判断ecos

1-1>cos

1,即判断ecos

1-1>cos

1-1+1,令y=ex-x-1,则y'=ex-1,所以当x∈(-∞,0)时,y'<0,函数y=ex-x-1单调递减,当x∈(0,+∞)时,y'>0,函数y=ex-x-1单调递增,故ex-x-1≥e0-0-1=0,所以ex≥x+1,当且仅当x=0时,等号成立,而cos

1-1≠0,所以ecos

1-1>cos

1-1+1=cos

1,即ecos

1-1>cos

1,所以A正确;增分技巧根据所给代数式(等式、不等式)中数学运算的相同点或者结构形式的相同点,构造具体的函数解析式,利用导数研究函数的性质从而解决问题.考点二抽象函数的构造考向1

利用f(x)与xn构造例2(2023江苏苏州质检)已知函数f(x)满足f(x)=f(-x),且当x∈(-∞,0]时,f(x)+xf'(x)<0成立,若a=20.6·f(20.6),b=ln2·f(ln2),

,则a,b,c的大小关系是(

)A.a>b>c B.c>b>aC.a>c>b D.c>a>bB解析

因为f(x)=f(-x),所以函数f(x)是偶函数,令g(x)=x·f(x),则g(x)是奇函数,g'(x)=f(x)+x·f'(x),当x∈(-∞,0]时,f(x)+xf'(x)<0成立,所以g(x)在(-∞,0]上单调递减,又g(x)在R上是连续函数,且是奇函数,所以g(x)在R上单调递减,考向2

利用f(x)与enx构造例3(2023安徽黄山三模)已知定义域为R的函数f(x),其导函数为f'(x),且满足f'(x)-2f(x)<0,f(0)=1,则(

)C考向3

利用f(x)与sinx,cosx构造

C考点三同构法构造函数例5已知a>0,若在(1,+∞)上存在x使得不等式ex-x≤xa-alnx成立,则a的最小值为__________.e增分技巧在函数与导数的数学问题中,经常会遇到左右两边结构相似的方程、不等式等,这时可以应用同构思想,通过变形进行合理

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