2025届浙江省温州市高三二模数学试题及答案

温州市普通高中2025届高三第二次适应性考试数学试题卷2025.3本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名，准考证号填写在答题卷上，将．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠，不要弄破．（共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．双曲线A．的一个焦点为，则C．3（▲）B．D．2．扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于（▲）A．1B．，则“C．3”是“D．63．已知随机变量A．充分不必要条件C．充要条件”的（▲）B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．若向量A．满足，则在上的投影向量是（▲）B．B．C．D．5．已知数列A．满足，若，则的取值范围是（▲）C．D．数学试题卷第1页共4页6．某班级有30名男生和20名女生，现调查学生周末在家学习时长（单位：小时），得到男生样本数据的平均值为8，方差为2，女生样本数据的平均值为10.5，方差为0.75，则该班级全体学生周末在家学习时长的平均值和方差的值分别是（▲）A．C．B．D．7．已知函数），则两个函数的图象仅通过平移就可以重合的是（▲A．与B．C．D．与与与8．一个圆台形的木块，上、下底面的半径分别为4和8，高为3，用它加工成一个与圆台等高的四棱台，棱台下底面为一边长等于9的矩形，且使其体积最大．现再从余下的四块木料中选择一块车削加工成一个球，则所得球的半径最大值是（▲A．B．C．1D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知二项展开式，则（▲）A．C．B．D．10．在四棱锥平面中，的是（▲）B．分别是上的点，，则下列条件可以确定A．C．平面D．平面．甲乙两人用《哪吒2》动漫卡牌玩游戏．游戏开局时桌上有盒动漫卡牌，每个盒子上都标有盒内卡牌的数量，每盒卡牌的数量构成数组，游戏规则如下：两人轮流抽牌，每人每次只能选择其中一盒并抽走至少一张卡牌，若轮到某人时无卡可抽，则该人输掉游戏．现由甲先抽，则下列开局中，能确保甲有必胜策略的是（▲）A．B．C．D．数学试题卷第2页共4页（共92分）三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分。把答案填在题中的横线上。12．若复数是纯虚数，则实数▲．13．已知是抛物线在第一象限上的点，是抛物线的焦点，（为坐标原处切线的斜率是▲．14．函数满足：；①则②，．的最大值等于▲．四．解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）如图，在三棱锥的中点．中，是边长等于2的正三角形，，为（1）求证：；（2）若，求点到平面的距离．1615分）PageRank算法是Google搜索引擎用来衡量网页重要性的一种经典算法．其核心思想是通过分析网页之间的链接关系，评估每个网页的相对重要性．假设一个小型的互联网由四个网页组成，它们之间按图中的箭头方向等可能地单向链接，假设某用户从网页开始浏览（记为第1（1）求该用户第3次停留在网页上的概率；（2）某广告公司准备在网页中选择一个投放广告，以用户前4次在该网页上停留的平均次数作为决策依据．试问该公司应该选择哪个网页？请说明理由．数学试题卷第3页共4页1715分）已知函数．（1）讨论（2）若的单调性；在区间上恰有一个零点，求的取值范围；．（3）当时，解方程1817分）在平面直角坐标系中，已知点，是直线右侧区域内的动点，到直线与轴的距离之和等于它到点距离的4倍，记点的轨迹为．（1）求的方程，并在图中画出该曲线；（2）直线过点，与交于，两点，（i）若（ii）若，求直线的方程：，是点关于轴的对称点，延长线段交于点，延长线段交于点线交轴于点，求的最小值．1917分）给定正数与无穷数列，若存在具有性质，当时，都有，则称数列．（1）求证：数列（2）若无穷数列具有性质具有性质；，求证：存在正数，使得；（3）若对任意正数，数列都具有性质，则称为“““：）数学试题卷第4页共4页一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．双曲线的一个焦点为（0，2），则C．3A．B．D．【答案】A【解析】由题意得故选择：A，所以．2．扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于A．1B．C．3D．6【答案】C【解析】，所以．故选择：C3．已知随机变量A．充分不必要条件C．充要条件【答案】C，则“”是“”的B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解析】由知，可知，故，故成立；反之，若故选择：C4．若向量，则．故为充要条件．满足，则在上的投影向量是C．A．B．D．【答案】D【解析】设投影向量是上的投影向量是，则，所以，即在．1故选择：D5．已知数列A．满足，若C．，则的取值范围是B．D．【答案】B【解析】设，则，所以．故选择：B6．某班级有30名男生和20名女生，现调查学生周末在家学习时长（单位：小时），得到男生样本数据的平均值为8，方差为2，女生样本数据的平均值为10.5，方差为0.75，则该班级全体学生周末在家学习时长的平均值和方差的值分别是A．B．C．D．【答案】D【解析】故选择：D7．已知函数是，则两个函数的图象仅通过平移就可以重合的A．与B．与C．与与D．【答案】C【解析】A项：，故错误；，故错B项：误；C项：，而，故正2确；D项：故选择：C，无法重合，故错误．8．一个圆台形的木块，上、下底面的半径分别为4和8，高为3，用它加工成一个与圆台等高的四棱台，棱台下底面为一边长等于9的矩形，且使其体积最大．现再从余下的四块木料中选择一块车削加工成一个球，则所得球的半径最大值是（加工过程中不计损耗）A．B．C．1D．【答案】C【解析一】①关于底面切球在内；，设，则，最大内，②补成圆锥，内接四棱台延长后必交于圆锥顶点，考虑，故，解得．故选择：C【解析二】为上底面圆心，为下底面圆心，记棱台为棱台最大时，上下边之比为，不妨设，则，，所以球在中点为设球半径最大为，球心为，则如图，球与与圆台围成部分可更大，记中点为交上底面圆于交下底面圆周于，相切，，则设，则，得，所以．故选择：C3二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知二项展开式，则A．C．B．D．【答案】ACD【解析】A项：令知，正确；B项：令知①，所以，错误；C项：，所以，，所以所以，正确；D项：令知②，①+②可得：，正确．故选择：ACD10．在四棱锥中，的是分别是上的点，，则下列条件可以确定平面A．B．C．平面D．平面【答案】BD【解析】如图，过点作交于点，连接，若，即有，则平面，由，所以于，所以4平面，故平面平面，所以平面，故B正确；若平面，又因为平面平面，所以，若，由B可知D正确；假设平面平面，即A、C同时正确或错误，若相交．若相交，由知延长不平行，故A、C错误．，设平面，则平面，当且仅当，也可能，平面，所以，反之若平面，可能与与必与、交于同一点，由几何关系知故选择：BD11．甲乙两人用《哪吒2》动漫卡牌玩游戏．游戏开局时桌上有盒动漫卡牌，每个盒子上都标有盒内卡牌的数量，每盒卡牌的数量构成数组，游戏规则如下：与两人轮流抽牌，每人每次只能选择其中一盒并抽走至少一张卡牌，若轮到某人时无卡可抽，则该人输掉游戏．现由甲先抽，则下列开局中，能确保甲有必胜策略的是A．B．C．D．【答案】ACD【解析】将每盒卡牌中的卡片数量转为二进制数，再进行“亦或”求和，若初始条件是全零，则乙有必胜策略，反之则甲有必胜策略，保持操作之后是全零状态。A项：B项：，非全零，甲胜：从第2盒中拿2个；，全零，乙胜；C项：，非全零，甲胜：拿走第三盒；5D项：，非全零，甲胜：从第1盒中拿2个；故选择：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分．12．若复数【答案】2是纯虚数，则实数．【解析】由题意得．故答案为：213．已知是抛物线焦点，在第一象限上的点，是抛物线的（为坐标原点），则抛物线在处切线的斜率是．【答案】【解析】设，则，所，所以以，解得，因为，所以．故答案为：14．函数①满足：；②．则的最大值等于．【答案】【解析】设则有且，令，，即，设，则，即，所以有解，，取可成立，所以的最大值等于．故答案为：6四、解答题：本题共5小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）如图，在三棱锥中，是边长等于2的正三角形，，为；的中点．（1）求证：（2）若，求点到平面的距离．【解析】（1）证明：作中点，连接，则有，所以，又因为从而是正三角形，且为中点，因此，平面，所以．（2）由题，，设平面与平面夹角为，由三射线定理，解得，即，设点到平面的距离为，则．16．（本小题满分15分）PageRank算法是Google搜索引擎用来衡量网页重要性的一种经典算法．其核心思想是通过分析网页之间的链接关系，评估每个网页的相对重要性．假设一个小型的互联网由四个网页组成，它们之间按图中的箭头方向等可能地单向链接，假设某用户从网页开始浏览（记为第1次停留）．（1）求该用户第3次停留在网页上的概率；（2）某广告公司准备在网页中选择一个投放广告，以用户前4次在该网页上停留的平均次数作为决策依据．试问该公司应该选择哪个网页？请说明理由．【解析】（1）（2）所以．．，，7所以，故该公司应该选择网页．．17．（本小题满分15分）已知函数（1）讨论（2）若的单调性；在区间上恰有一个零点，求的取值范围；（3）当时，解方程．【解析】（1）由题，，由于分母（对），故的正负由分子决定，记，即，当当时，对任意在定义域内单调递增；时，注意到是唯一使有，故的点，又观察到，若在区间内，由于，故，即时，时，，故．综上，当在定义域内单调递增；上单调递减，在在定义域内单调递增，且注意到当时，在上单调递增（2）由（1）知，当时，，因此时不合题意；当时，考虑到，为使内有零点，则极小值点小于零，即，结合，则的取值范围为．（3）由题，，记上式为，则在定义域内单调递减，因此，仅有一个解，注意到待求方程，对中含的部分单独考察，即，，其中关于的多项式的解为8因此当时可消去．时，有，满足题意；当时，有，不符合题意；综上，原方程的解为．18．（本小题满分17分）在平面直角坐标系右侧区域内的动点，到直线与轴的距离之和等于它到点距离的4倍，记点的轨迹为．（1）求的方程，并在图中画出该曲线；（2）直线过点，与交于，两点，中，已知点是直线（i）若，求直线的方程；（ii）若是点关于轴的对称点，延长线段交于点，延长线段交于点，直线交轴于点，求的最小值．【解析】（1）设，则有；当，当时，时，，曲线如图所示．（2）（i）如图，，则．设，解得，所以，所以，所以直线方程为．，（ii）由题意知，且．设9，因为所，，以其中，所以即，，所以，所以，解得．19．（本小题满分17分）给定正数与无穷数列，若存在具有性质，当时