2025届高考数学二轮复习第二部分专题一三角函数与解三角形满分示范课-三角函数与解三角形专题强化练理

PAGE1-满分示范课——三角函数与解三角形该类解答题是高考的热点，其起点低、位置前，但由于其公式多、性质繁，使不少同学对其有种畏惧感．突破此类问题的关键在于“变”——变角、变式与变名．【典例】(满分12分)(2024·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为eq\f(a2,3sinA).(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．[规范解答](1)由题设得eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(a2,3sinA)，2分即eq\f(1,2)csinB＝eq\f(a,3sinA).3分由正弦定理得eq\f(1,2)sinCsinB＝eq\f(sinA,3sinA).故sinBsinC＝eq\f(2,3).6分(2)由题设及(1)得cosBcosC－sinBsinC＝－eq\f(1,2)，即cos(B＋C)＝－eq\f(1,2)，所以B＋C＝eq\f(2π,3).故A＝eq\f(π,3).8分由题意得eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(a2,3sinA)，所以bc＝8.10分由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9，由bc＝8，得b＋c＝eq\r(33).故△ABC的周长为3＋eq\r(33).12分高考状元满分心得1．写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤有则给分，无则没分，所以得分点步骤肯定要写全，如第(1)问中只要写出eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(a2,3sinA)就有分；第(2)问中求出cosBcosC－sinBsinC＝－eq\f(1,2)就有分．2．写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时要写清得分关键点，如第(1)问中由正弦定理得eq\f(1,2)sinCsinB＝eq\f(sinA,3sinA)；第(2)问由余弦定理得b2＋c2－bc＝9.3．计算正确是得分保证：解题过程中计算精确，是得满分的根本保证，如cosBcosC－sinBsinC＝－eq\f(1,2)化简假如出现错误，本题的第(2)问就全错了，不能得分．[解题程序]第一步：由面积公式，建立边角关系；其次步：利用正弦定理，将边统一为角的边，求sinBsinC的值；第三步：利用条件与(1)的结论，求得cos(B＋C)，进而求角A；第四步：由余弦定理与面积公式，求bc及b＋c，得到△ABC的周长；第五步：检测易错易混，规范解题步骤，得出结论．[跟踪训练]1．(2024·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA＝acos(B－eq\f(π,6))．(1)求角B的大小；(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．解：(1)在△ABC中，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，可得bsinA＝asinB.又由bsinA＝acos(B－eq\f(π,6))，得asinB＝acos(B－eq\f(π,6))，即sinB＝cos(B－eq\f(π,6))，所以sinB＝eq\f(\r(3),2)cosB＋eq\f(1,2)sinB，可得tanB＝eq\r(3).又因为B∈(0，π)，所以B＝eq\f(π,3).(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝eq\f(π,3)，得b2＝a2＋c2－2accosB＝7，故b＝eq\r(7).由bsinA＝acos(B－eq\f(π,6))，可得sinA＝eq\f(\r(3),\r(7)).因为a<c，所以cosA＝eq\f(2,\r(7)).因此sin2A＝2sinAcosA＝eq\f(4\r(3),7)，cos2A＝2cos2A－1＝eq\f(1,7).所以sin(2A－B)＝sin2AcosB－cos2AsinB＝eq\f(4\r(3),7)×eq\f(1,2)－eq\f(1,7)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),14).2．已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))))，b＝(－sinx，eq\r(3)sinx)，f(x)＝a·b.(1)求函数f(x)的最小正周期及f(x)的最大值；(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,2)))＝1，a＝2eq\r(3)，求△ABC的面积的最大值并说明此时△ABC的形态．解：(1)由已知得a＝(－sinx，cosx)，又b＝(－sinx，eq\r(3)sinx)，则f(x)＝a·b＝sin2x＋eq\r(3)sinxcosx＝eq\f(1,2)(1－cos2x)＋eq\f(\r(3),2)sin2x＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋eq\f(1,2)，所以f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π，当2x－eq\f(π,6)＝2kπ＋eq\f(π,2)，即x＝eq\f(π,3)＋kπ(k∈Z)时，f(x)取最大值eq\f(3,2).(2)在锐角△ABC中，因为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,2)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A－\f(π,6)))＋eq\f(1,2)＝1，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A－\f(π,6)))＝eq\f(1,2)，知A＝eq\f(π,3).因为a2＝b2＋c2－2bccosA，所以12＝b2