适用于新高考新教材2024版高考数学二轮复习考点突破练10概率与统计的综合问题

考点突破练10概率与统计的综合问题1.(2023江苏苏锡常镇二模)某地区的疾控机构为了考察药物A对某疾病的预防效果,在该地区随机抽取96人,调查得到的统计数据如下表所示.单位:人药物A患病未患病合计服用103848未服用222648合计326496(1)依据α=0.01的独立性检验,能否认为药物A对预防该疾病有效果?(2)已知治愈一位服用药物A的该疾病患者需要2个疗程,治愈一位未服用药物A的该疾病患者需要3个疗程.从该地区随机抽取1人,调查其是否服用药物A、是否患该疾病.若未患病,则无需治疗;若患病,则对其进行治疗并治愈.求所需疗程数的数学期望.附:χ2=n(ad-bcα0.10.010.0050.001xα2.7066.6357.87910.8282.(2023江苏七市三模)某高中采用多维评分的方式进行综合素质评价.下图是该校高三学生“运动与健康”评价结果的频率分布直方图,评分在区间[90,100),[70,90),[60,70),[50,60)内,分别对应为A,B,C,D四个等级.为了进一步引导学生对运动与健康的重视,初评获A等级的学生不参加复评,等级不变,对其余学生学校将进行一次复评.复评中,原获B等级的学生有14的概率提升为A等级;原获C等级的学生有15的概率提升为B等级;原获D等级的学生有16的概率提升为C等级.用频率估计概率(1)若初评中甲获得B等级,乙、丙获得C等级,记甲、乙、丙三人复评后等级为B等级的人数为ξ,求ξ的分布列和数学期望;(2)从全体高三学生中任选1人,在已知该学生是复评晋级的条件下,求他初评是C等级的概率.3.(2023浙江绍兴二模)2023年春季以来,各地出台了促进经济发展的各种措施,经济增长呈现稳中有进的可喜现象.服务业的消费越来越火爆,一些超市也纷纷加大了广告促销.现随机抽取7家超市,得到其广告支出x(单位:万元)与销售额y(单位:万元)的数据如下.超市编号i1234567广告支出xi1246101320销售额yi19324440525354(1)已知x和y具有线性相关关系,建立y关于x的经验回归方程;(系数精确到0.01)(2)若将超市的销售额y与广告支出x的比值称为该超市的广告效率值μ,当μ≥10时,称该超市的广告为“好广告”.从这7家超市中随机抽取4家超市,记这4家超市中“好广告”的超市数为X,求X的分布列与期望.附:∑i=17xiyi=2788,∑i=17xi2=726,∑4.为了引导青少年抵制不良游戏,适度参与益脑游戏,某游戏公司开发了一款益脑游戏,在内测时收集了玩家每一关的平均过关时间,如下表:关卡x123456平均过关时间y/秒5078124121137352计算得到一些统计量的值为∑i=16ui=28.5,∑i=16xiui=106.05,(1)若用模型y=aebx拟合y与x的关系,根据提供的数据,求出y与x的经验回归方程.(2)制定游戏规则如下:玩家在每关的平均过关时间内通过可获得积分2分并进入下一关,否则获得-1分且该轮游戏结束.甲通过练习,前3关都能在平均时间内过关,后面3关能在平均时间内通过的概率均为45,若甲玩一轮此款益脑游戏,求“甲获得的积分X”的分布列和数学期望参考公式:对于一组数据(xi,yi)(i=1,2,3,…,n),其经验回归直线y^=b^x+5.某商场为了回馈广大顾客,设计了一个抽奖活动,在抽奖箱中放10个除颜色外完全相同的小球,其中5个为红色,5个为白色.抽奖方式为:每名顾客进行两次抽奖,每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖,两个小球颜色不同即为不中奖.(1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱,再进行第二次抽奖,求中奖次数X的分布列和数学期望;(2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱,直接进行第二次抽奖,求中奖次数Y的分布列和数学期望.6.(2023福建泉州模拟)某技术部门对工程师进行达标等级考核,需要进行两轮测试,每轮测试的成绩在90分及以上的定为该轮测试通过,只有通过第一轮测试的人员才能进行第二轮测试,两轮测试的过程相互独立,并规定:①两轮测试均通过的定为一级工程师;②仅通过第一轮测试,而第二轮测试没通过的定为二级工程师;③第一轮测试没通过的不予定级.现有某公司的甲、乙、丙三位工程师参加等级考核,已知他们通过第一轮测试的概率分别为13,23(1)求经过本次考核,甲、乙、丙三位工程师中恰有两位被定为一级工程师的概率.(2)公司为鼓励工程师参加等级考核设置两套奖励方案.方案一:定为一级工程师的奖励2000元,定为二级工程师的奖励1500元,未定级的给予鼓励奖500元.方案二:定为一级或二级工程师的均奖励2000元,未定级的不予奖励.采用哪套方案,公司的奖励支出会更少?

考点突破练10概率与统计的综合问题1.解(1)零假设为H0:药物A对预防该疾病没有效果.由题意可得χ2=96×(10×26-38×22)248×48×32×64=274=6.75>6.635=x0.01,所以依据(2)设所需疗程数为X,则X的可能取值为0,2,3.由表格可知,P(X=0)=6496=23,P(X=2)=1096=548,P(X023P2511则E(X)=0×23+2×548+3×所以所需疗程数的数学期望为43482.解(1)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,P(ξ=0)=14×45×45=4P(ξ=2)=34×C21×15×∴ξ的分布列如下:ξ0123P41413E(ξ)=1425(2)记事件A为“该学生复评晋级”,事件B为“该学生初评是C等级”,则所求概率为P(B|A)=P(AB)3.解(1)由表中数据可得x=1+2+4+6+10+13+20y=19+32+44+40+52+53+547又∑i=17xiyi=2788,∴b^=∑ia^=y-b^x=42-436∴y关于x的经验回归方程为y^=1.57x+29.45(2)由题知,7家超市中有3家超市的广告是“好广告”,则X的可能取值是0,1,2,3,P(X=0)=C44C74=135P(X=2)=C32C42C74所以X的分布列为X0123P112184期望为E(X)=0×135+1×1235+2×1835+34.解(1)因为y=aebx两边取对数可得lny=ln(aebx)=lna+lnebx,即lny=lna+bx,令u=lny,所以u=bx+lna,由u=16∑i=1x=16×(1+2+3+4+5+6)=3.5,∑i=1nxi2=12+22+32+42+所以b^=∑i=1又u=b^x+lna^,即4.75=0.所以lna^=3.49,所以a^=e3所以y关于x的经验回归方程为y^=e0.36x+3.49(2)由题知,甲获得的积分X的所有可能取值为5,7,9,12,所以P(X=5)=15,P(X=7)=4P(X=9)=452×15=16125所以X的分布列为X57912P141664所以E(X)=5×15+7×425+9×16125+125.解(1)若第一次抽奖后将球放回抽奖箱,再进行第二次抽奖,则每次中奖的概率为C5因为两次抽奖相互独立,所以中奖次数X服从二项分布,即X~B(2,49),X的所有可能取值为则P(X=0)=C2P(X=1)=C2P(X=2)=C2所以X的分布列为X012P254016数学期望为E(X)=2×49(2)若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱,直接进行第二次抽奖,中奖次数Y的所有可能取值为0,1,2,则P(Y=0)=C5P(Y=1)=C5P(Y=2)=C5所以Y的分布列为Y012P201013数学期望为E(Y)=1×1021+2×136.解(1)设甲、乙、丙被定为一级工程师的事件分别为A1,A2,A3,事件C表示三位工程师中恰有两位被定为一级工程师.P(A1)=13×12=16,P(A2)=P所以P(C)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)(2)方案一:设甲、乙、丙获得的奖金分别为X,Y,Z,则X,Y,Z的取值均可能为2000,1500,500.则P(X=2000)=P(A1)=16,P(X=1500)=13×12=16,P故E(X)=2000×16+1500×16+500×P(Y=2000)=P(Z=2000)=P(A2)=13P(Y=1500)=P(Z=1500)=23P(Y=500)=P(Z=500)=1-23故E(Y)=E(Z)=2000×13+1500×13+500×