新高考数学二轮复习考点突破课件 第1部分 专题突破 专题1　第2讲　基本初等函数、函数与方程（含解析）

第2讲基本初等函数、函数与方程专题一

函数与导数考情分析1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解

不等式是常见题型.2.函数零点的个数判断及参数范围是常考题型，常以压轴题的形式出现.3.函数模型及应用是近几年高考的热点，通常考查指数函数、对数函数模型.考点一基本初等函数的图象与性质考点二函数的零点考点三函数模型及其应用专题强化练内容索引基本初等函数的图象与性质考点一指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两种函数图象的异同.核心提炼(1)(2022·杭州模拟)已知lg

a＋lg

b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝

的图象可能是√例1∴g(x)＝

＝logax，∴函数f(x)＝ax与函数g(x)＝

互为反函数，∴函数f(x)＝ax与g(x)＝

的图象关于直线y＝x对称，且具有相同的单调性.∵lg

a＋lg

b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，(2)若对正实数x，y有log2x－log2y<3－x－3－y，则A.ln(y－x＋1)>0

B.ln(y－x＋1)<0C.ln|x－y|>0

D.ln|x－y|<0√设函数f(x)＝log2x－3－x.因为y＝log2x与y＝－3－x在(0，＋∞)上均单调递增，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，原不等式等价于log2x－3－x<log2y－3－y，即f(x)<f(y)，所以y>x>0，即y－x>0，所以A正确，B不正确；又|x－y|与1的大小关系不确定，所以C，D不正确.(1)指数函数、对数函数的图象与性质受底数a的影响，解决与指数函数、对数函数有关的问题时，首先要看底数a的取值范围.(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化.规律方法(1)(2022·山东名校大联考)若a＝log32，b＝log52，c＝e0.2，则a，b，c的大小关系为A.b<a<c

B.c<a<bC.b<c<a

D.a<b<c跟踪演练1√由对数函数的单调性可知0＝log31<log32<log33＝1，又根据指数函数的单调性可得c＝e0.2>e0＝1，所以b<a<c.(2)(2022·邯郸模拟)不等式10x－6x－3x≥1的解集为___________.[1，＋∞)则f(x)在R上单调递减，且f(1)＝1，所以f(x)≤f(1)，即x≥1.故不等式10x－6x－3x≥1的解集为[1，＋∞).函数的零点考点二判断函数零点个数的方法(1)利用函数零点存在定理判断.(2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根.(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解.在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性.核心提炼

已知f(x)是定义在R上周期为2的偶函数，且当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，则函数g(x)＝f(x)－log5|x|的零点个数是A.2 B.4 C.6 D.8√例2考向1函数零点个数的判断当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，函数y＝f(x)的周期为2且为偶函数，其图象关于y轴对称，可作出函数f(x)的图象.函数y＝log5|x|的图象关于y轴对称，函数y＝g(x)的零点，即为两函数图象交点的横坐标，当x>5时，y＝log5|x|>1，此时两函数图象无交点，如图，又两函数的图象在x>0上有4个交点，由对称性知两函数的图象在x<0上也有4个交点，且它们关于y轴对称，可得函数g(x)＝f(x)－log5|x|的零点个数为8.(2022·河北联考)函数f(x)＝ex和g(x)＝kx2的图象有三个不同交点，则k的取值范围是____________.例3考向2求参数的值或范围因为函数f(x)＝ex和g(x)＝kx2的图象有三个不同交点，所以方程ex＝kx2有三个不同的实数根，显然x＝0不是方程的实数根，所以当x<0时，h′(x)>0，当0<x<2时，h′(x)<0，当x>2时，h′(x)>0，因为当x趋近于－∞时，h(x)趋近于0，当x趋近于＋∞时，h(x)趋近于＋∞，当x趋近于0时，h(x)趋近于＋∞，利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法规律方法

(1)已知函数f(x)＝

若关于x的方程f(x)＝a(x＋1)有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围是________.跟踪演练2作出函数f(x)的图象，又直线y＝a(x＋1)过定点P(－1,0)，如图，则at2－t＋a＝0有两个正根，16函数模型及其应用考点三解函数应用题的步骤(1)审题：缜密审题，准确理解题意，分清条件和结论，理清数量关系.(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型.(3)求模：求解数学模型，得出数学结论.(4)反馈：将得到的数学结论还原为实际问题的意义.核心提炼(1)(2022·衡阳模拟)2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空，飞行乘组状态良好，发射取得圆满成功，火箭在发射时会产生巨大的噪音，已知声音的声强级d(x)(单位：dB)与声强x(单位：W/m2)满足d(x)＝10lg

。若人交谈时的声强级约为50dB，且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为109，则火箭发射时的声强级约为A.130dB B.140dB

C.150dB D.160dB√例4当人交谈时的声强级约为50dB，即人交谈时的声强为10－7W/m2，因为火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为109，所以火箭发射时的声强为10－7×109＝100W/m2，(2)(2022·福州模拟)深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L＝

，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为22，且当训练迭代轮数为22时，学习率衰减为0.45，则学习率衰减到0.05以下(不含0.05)所需的训练迭代轮数至少为(参考数据：lg3≈0.4771)A.11 B.22 C.227 D.481√则由G·(lg9－lg10)<－22，G·(lg10－lg9)>22，所以所需的训练迭代轮数至少为481轮.构建函数模型解决实际问题的失分点(1)不能选择相应变量得到函数模型.(2)构建的函数模型有误.(3)忽视函数模型中变量的实际意义.易错提醒

(1)(2022·荆州联考)“绿水青山就是金山银山”，党的十九大以来，城乡深化河道生态环境治理，科学治污.某乡村一条污染河道的蓄水量为v立方米，每天的进出水量为k立方米.已知污染源以每天r个单位污染河水，某一时段t(单位：天)河水污染质量指数为m(t)(每立方米河水所含的污染物)满足m(t)＝

(m0为初始质量指数)，经测算，河道蓄水量是每天进出水量的80倍.若从现在开始关闭污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是(参考数据：ln10≈2.30)A.1个月

B.3个月

C.半年

D.1年跟踪演练3√由题可知，m(t)＝

＝0.1m0，∴

＝0.1，∴要使河水的污染水平下降到初始时的10%，结合选项知需要的时间大约是半年.(2)(2022·广东大联考)水果采摘后，如果不进行保鲜处理，其新鲜度会逐渐流失，某水果产地的技术人员采用一种新的保鲜技术后发现水果在采摘后的时间t(单位：小时)与失去的新鲜度y满足函数关系式：y＝

为了保障水果在销售时的新鲜度不低于85%，从水果采摘到上市销售的时间间隔不能超过(参考数据：log23≈1.6)A.20小时

B.25小时

C.28小时

D.35小时√由题意可知当t<10时，失去的新鲜度小于10%，没有超过15%，当t≥10时，则有

≤15%，即∴t≤48－20＝28.专题强化练一、单项选择题√12345678910111213141516设幂函数f(x)＝xα，则4α＝3×2α，解得α＝log23，所以f(x)＝2.(2022·泸州模拟)若logab>1，其中a>0且a≠1，b>1,则A.0<a<1<b

B.1<a<bC.1<b<a

D.1<b<a2√当0<a<1时，y＝logax单调递减，由b>1，则logab<0，与logab>1矛盾，故a>1，由logab>1得logab>logaa，则b>a，故b>a>1.12345678910111213141516√12345678910111213141516f(x)的定义域为(－5,5)，令f(x)＝0，得sinx＝0，∴x＝kπ，k∈Z，又x∈(－5,5)，∴x＝0或x＝±π，故f(x)有3个零点.4.朗伯比尔定律(Lambert－Beerlaw)是分光光度法的基本定律，是描述物质对某一波长光吸收的强弱与吸光物质的浓度及其液层厚度间的关系，其数学表达式为A＝lg

＝Kbc，其中A为吸光度，T为透光度，K为摩尔吸光系数，c为吸光物质的浓度，单位为mol/L，b为吸收层厚度，单位为cm.保持K，b不变，当吸光物质的浓度增加为原来的两倍时，透光度由原来的T变为√1234567891011121314151612345678910111213141516保持K，b不变，当吸光物质的浓度增加为原来的两倍时，透光度变为T′，所以透光度由原来的T变为T2.5.(2022·十堰统考)已知a＝ln3，b＝30.5，c＝lg9，则A.a>b>c

B.c>a>b

C.b>a>c

D.b>c>a√12345678910111213141516因为0＝lg1<c＝lg9<lg10＝1，a＝ln3>lne＝1，所以a>c，故b>a>c.6.(2022·聊城模拟)“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为1.2mg/cm3，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过0.2mg/cm3，若要使该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为(参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48)A.6 B.7 C.8 D.9√12345678910111213141516设该污染物排放前过滤的次数为n(n∈N*)，所以n≥7.8，又n∈N*，所以nmin＝8，即该污染物排放前需要过滤的次数至少为8次.12345678910111213141516123456789101112131415167.(2022·湖南联考)已如函数f(x)＝2x－

则A.f(1)＋f(－1)<0

B.f(－2)＋f(2)>0C.f(1)－f(－2)<0

D.f(－1)＋f(2)>0√所以f(x)是奇函数，所以f(x)＋f(－x)＝0，故A，B错误；即(x＋3)(3－x)>0，解得－3<x<3，根据单调性的结论可知f(x)在(－3,3)上单调递增，所以当x∈(0,3)时，f(x)>0，当x∈(－3,0)时，f(x)<0，所以f(1)－f(－2)＝f(1)＋f(2)>0，C错误；f(－1)＋f(2)＝f(2)－f(1)>0，D正确.123456789101112131415168.设x1，x2分别是函数f(x)＝x－a－x和g(x)＝xlogax－1的零点(其中a>1)，则x1＋4x2的取值范围为A.(4，＋∞) B.[4，＋∞)C.(5，＋∞) D.[5，＋∞)12345678910111213141516√令f(x)＝0，得x1＝1234567891011121314151612345678910111213141516二、多项选择题9.记函数f(x)＝x＋ln

x的零点为x0，则关于x0的结论正确的为12345678910111213141516√√由于函数f(x)＝x＋ln

x在(0，＋∞)上单调递增，12345678910111213141516由于x0是函数f(x)＝x＋ln

x的零点，则x0＋ln

x0＝0，即ln

x0＝－x0，∴x0＝

－x0＝0，则故A，D选项错误，B，C选项正确.10.已知实数a，b满足等式2022a＝2023b，下列式子可以成立的是A.a＝b＝0

B.a<b<0C.0<a<b

D.0<b<a12345678910111213141516√√√分别画出y＝2022x，y＝2023x的图象，如图，实数a，b满足等式2022a＝2023b，可得a>b>0，或a<b<0，或a＝b＝0.12345678910111213141516√√11.(2022·济宁模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且周期为2，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x2.若函数g(x)＝f(x)－x－a恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围可以是12345678910111213141516f(x)是周期为2的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x2.则当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，函数g(x)＝f(x)－x－a恰有3个不同的零点，即f(x)的图象与y＝x＋a的图象有3个不同的交点，作出函数f(x)的图象，作出直线y＝x＋a的图象，如图，当直线过A(1,1)时，a＝0，当直线y＝x＋a与y＝x2相切时，由x2＝x＋a，即x2－x－a＝0，1234567891011121314151612.(2022·长沙模拟)已知正数x，y，z满足3x＝4y＝12z，则√12345678910111213141516√√设3x＝4y＝12z＝t，t>1，则x＝log3t，y＝log4t，z＝log12t，12345678910111213141516所以6z<3x<4y，B正确；12345678910111213141516当且仅当x＝y时，等号成立，又x≠y，故x＋y>4z，D正确；所以xy>4z2，C错误.12345678910111213141516三、填空题13.(2022·成都模拟)已知两个条件：①a，b∈R，f(a＋b)＝f(a)·f(b)；②f(x)在(0，＋∞)上单调递减.请写出一