2023年中考数学一轮复习-第十讲图形变换

第十讲：图形变换

知识梳理

知识点1、平移变换

重点：掌握平移的概念及性质

难点：平移性质的运用

1.平移的概念:平面内将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形变换称为平移.

注：平移变换的两个要素：移动的方向、距离.

2.平移变换的性质

(1)平移前后的图形全等.即：平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小：

(2)对应线段平行(或共线)且相等；

(3)对应点所连的线段平行(或共线)且相等.

如下图，AA7/BB',且与CC'共线，且BB'CC'

3.用坐标表示平移：

(1)在平面直角坐标系中，将点气y)：

①向右或向左平移a个单位一»点(x+a,y)或(x-a,y)

②向上或向下平移b个单位一»点(x,y+b)或(x,y-b)

(2)对一个图形进行平移，相当于将图形上的各个点的横纵坐标都按(1)中的方式

作出改变

例1.以下各组图形，可经过平移变换由一个图形得到另一个图形的是0

A.B.C.

D.

解题思路：根据平移的概念可知，平移不改变图形的形状、大小、方向，只改变位置.选

项B的两个图形不是全等形；选项C、D中两个图形的方向发生了改变.

解答：选A

例2.如图1,修筑同样宽的两条"之"字路，余下的局部作为耕地，假设要使耕地的

面积为540米2,那么道路的宽应是米？

20-x

解题思路：尝.蹄道路平移一下，化不

规那么图形为有序规那么图形，问题就迎刃

而解了.

解答：将横向道路位置平移至最下方，将纵向道路位置平移至最左方,

设道路宽为X米，那么有32x+(20-x)・x=32x20-540,

整理，得一—52%+100=0,A(x-50)(%-2)=0,

X]=50（不合题意，舍去），0=2.

二道路宽应为2米.

练习：如图是阳光广告公司为某种商品设计的商标图案，

假设每个小长方形的面积都是1.那么图中阴影局部的

面积是[答案为5]

知识点2、轴对称变换

重点：掌握轴对称的概念及性质

难点：轴对称的性质的运用

1.轴对称的概念：把一个图形沿一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那

么这两个图形关于这条直线对称或轴对称.这条直线就是对称轴.两个图形中的对应点（即

两图形重合时互相重合的点）叫做对称点.

如下图，AABC与AA'B'C'关于直线/对称，/为对称轴.

2.轴对称图形：把一个图形沿一条直线对折，对折的两局部能够完全重合，那么就称这

个图形为轴对称图形，这条直线就是这个轴对称图形的对称轴.

一个图形的对称轴可以有1条，也可以有多条.

3.轴对称与轴对称图形的区别与联系：

区别联系

轴对称轴对称是指两个图形的对称关系把轴对称的两个图形看成一个

“整体”〔一个图形），那么

轴对称称为轴对称图形；把轴对称图

轴对称图形是指具有某种对称特性的

图形形的互相对称的两个局部看成

一个图形

“两个图形”，那么它们成轴

对称

4.轴对称的性质：

（1）关于某条直线对称的两个图形全等;

（2）对称点的连线段被对称轴垂直平分;

(3)对应线段所在的直线如果相交，那么交点在对称轴上；

(4)轴对称图形的重心在对称轴上.

如图AABCNAA'B'C',AA'、BB'、CC'被直线/垂直平分.

5.轴对称变换的作图：

举例说明：

四边形ABCD和直线1,求作四边形ABCD关于直线1的对称图形.

作法：

(1)过点A作AE1/于E,延长AE到A',使EA-AE,那么得到点A的对称点A'；

(2)同理作B、C、D的对称点B'、C\D'；

(3)顺次连结A\B\C\D'.那么四边形A'B'C'D'为四边形ABCD关于直线/的对

称图形.

6.用坐标表示轴对称：

点(X.y)关于x轴对称的点为(4-y)；

点(x.y)关于丫轴对称的点为Lx,y)；

点(a.b)关于直线x=m的对称点为Qm-&b)；

点(ab)关于直线丫=n的对称点为(a2n-b).

点Gb)关于直线y=x的对称点为(ha)

点(&b)关于直线y=-x的对称点为Lb,-a).

例1.以下图形中，是轴对称图形的为()

A..B.

C.D.

解题思路：根据定义，如果一个图形是轴对称图形，那么沿对称轴折叠后两局部应该

能完全重合；或者根据轴对称的性质，对称点的连线段应该被对称轴垂直平分.所以解决此

题的关键是看能否找到满足上述条件的对称轴.

解答：选D.

例2.如下图，与AAiB/i关于直线，对称，将AA/gi向右平移得到AA/2c2.由

此得出以下判断：①AB//A2B2；②NAn/A?；③AB=A2B，其中正确的是()

A.①②B.②③C.①③D.

①②③

解题思路：由于凶2c2是从她也/1平移得来的，故AiBJ/AzB?,但AABC与

关于1成轴对称，不一定有AB"A3i,故①不一定正确；平移和轴对称变换都

是全等变换，故②和③正确.

解答：选B.

练习1.如下图，半圆A和半圆B均与y轴相切于点0,其直径CD、EF均和x轴垂直，以0

为顶点的两条抛物线分别经过点C、E和点D、F,那么图中阴影局部的面积是.

2./A0B=30°,点P在NA0B内部，P】与P关于0B对称，「2与P关于0A对称，那么

/OPF?等于Q

A.45°B,50°C.60°D.70°

答案：1.22.60°

知识点3、旋转变换

重点：掌握旋转的概念及性质

难点：旋转的性质的运用

1.旋转变换的概念：在平面内，将一个图形绕一个定点0沿某个方向(逆时针或顺时针)

转动一定的角度，这样的图形变换叫做旋转.这个定点0叫旋转中心，转动的角称为旋转角.

注：旋转变换的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角

2.旋转变换的性质：

(1)旋转前、后的图形全等

(2)对应点到旋转中心的距离相等(意味着：旋转中心在对应点连线段的垂直平分线上)

(3)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角

3.旋转变换的作图：

(1)确定旋转中心、旋转方向和旋转角度；

12)找出能确定图形的关键点；

(3)连结.图形的关键点与旋转中心，并按旋转的方向分别将它们旋转一个旋转角，得到此

关键点的对应点；

(4)按原图形的顺序连结这些对应点，所得图形就是旋转后的图形.

5.旋转对称性：如果某图形绕着某一定点转动一定角度(小于360°)后能与自身重合，

那么这种图形就叫做旋转对称图形.

6.中心对称：把一个图形绕着某个定点旋转180°,如果它能和另一个图形重合，那么这

两个图形关于这个定点对称或中心对称.这个定点叫做对称中心，两个图形中对应点叫做关

于对称中心的对称点.

7.中心对称的性质：

中心对称是一种特殊的旋转，因此，它具有旋.转的一切性质，另外，还有自己特殊的性质.

(1)关于中心对称的两个图形全等；

(2)关于中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分

(即：对称中心是两个对称点连线的中点)；

(3)关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或共线)；

(4〕中心对称图形的重心在其对称中心：且过对称中心的直线平分该图形的面积.

如下图，假设AABC与AA'B'C'关于点o中心对称，那么对称中心0是线段

AA\BB\CC'共同的中点，AB//AB且AB-A'B',BC//B'C且

BC-B'C;AC//A'C£AC-A,C；反过来，假设线段AA，、BB\CC'都经过点0且0是

它们的中点，那么AABC与AA'B'C'关于点o中心对称.

8.中心对称的作图：

以上图为例，作AABC关于点0的对称图形.：

(1)找出能确定原图形的关键点，如顶点A、B、C；

(2)分别作出原图形的关键点的对称点.如：连结AO,并在AO的延长,线上截取

OAOA,那么点A'为点A关于点0的对称点：

(3)按原图形的连结方式顺次连结各关键点的对应点，即点A'、B\C.所得的图形

ZlA'Bt'即为求作的对称图形.

9.中心对称图形：一个图形绕着一个定点旋转180°后能与自身重合，这种图形称为中

心对称图形.这个定点叫做该图形的对称中心.

中心对称图形是--种特殊的旋转对称图形(旋转角等于180°)

10.中心对称与中心对称图形的区别与联系

区别联系

中心对称是指两个图形的对称把中心对称的两个图形看成一个“整

中心对称

关系体“(一个图形)，那么称为中心对

称图形；把中心对称图形的互相对称

中心对称图中心对称图形是指具有某种对

的两个局部看成“两个图形"，那么

形称特性的一个图形

它们成中心对称

11.关于原点对称的点的坐标.

点(乂民关于原点对称的点的坐标为(-%-y).

例1.在如下图的方格纸中，每个小正方形的边长都为1,加⑹3与AAiBWi构成的图形是

中心对称图形.

(1)画出此中心对称图形的对称中心。；

(2)画出将岫止21沿直线DE方向向上平移5格得到的她力2c九

(3)要使M2B2C2与ACCg?重合，那么2c2绕点C?顺时针方向旋转；至少要

旋转多少度？(不要求证明)

解题思路：(1)在中心对称的问题中，可根据“对称中心为对称点连线段的中点"来

确定对称中心；(3)可根据“对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角"来确定旋转

角的大小.画出图形后，可以看出，点B2与点C]是旋转变换的一组对应点，那么/B2c

等于旋转角

解答

(1)如图，画出对称中心点0.

(2)画出AA[B2c2.

(3)至少需要旋转90°.

例2.如下图，M'B'C'是AABC绕某点逆时针旋转后得到的图形，请确定旋转中心，并测

量出旋转角的大小

解题思路：可根据旋转变换中对应点与旋转中心的特殊位置关系来确定旋转中心.

解答：如图，连结AA'、CC,分别作AA'和CC'的垂直平分线，交于点0.那么点0

即为旋转中心.连结OA、OA1,测量得NAOA：120°,.故旋转角等于120°.

练习1..如下图，AACE.AABF均为等腰直角三角形，ZBAF=ZEAC=90°,那么MFC以

点A为旋转中心逆时针旋转90。之后与__________重合，其中点F与点对应，

点C与点一对应.

2.如图两个全等的正六边形ABCDEF,PQRSTU,其中点P位于正六边形ABCDEF的中心，如

果它们的面积均为3,那么阴影局部的面积是0

答案：1.AABE,B,E2.1

知识点4、位似变换

重点：掌握位似的概念及性质

难点：位似的性质的运用

(1)如果两个多边形相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这两个多边形叫做

位似图形，这个点叫做位似中心.

(2)如果两图形F与F'是位似图形，它们的位似中心是点0,相似比为k,那么：

OA_k

①设A与A'是一双对应点，那么直线AA'过位似中心0点，并且GA4.

AB.k

②设A与A',B与B'是任意两双对应点，那么加”；假设直线AB、A'B'不通过位

似中心0,那么

(3)利用位似，可以将一个图形放大或缩小.

(4)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位

似图形对应点的坐标的比等于k或-k.

例等边AABC,画一个与之相似且它们的相似比为2的AA'B'C'o

解题思路：一个等边AABC,要求画一个三.角形，使这两个三角形相似，并且相似比为2。

根据题意可知，三角形与要画的三角形之间的边的比值是不确定的，即题中没有说明是原三

角形与新三角形相似，还是新三角形与原三角形相似，这样形成的对应边的关系有两种，因

此是不确定的，再者由于有相似比的值2,那么要画的三角形边与原三角形的边是对应边，

要满足比值为.2的情况也有两种，而实现这两种情况只能借助位似形的知识。

根据位似形的知识可知，位似中心存在的情况有两种，即在图形内或图形外，它们都可以实

现放大或缩小的作用。

解：如图1,当设位似中心在AABC的形内时，取内心0作为位似中心。

(1)在AO、B0、C0上.分别取中点A'、B'、C',连结A'B‘、B'C'、A'C,那么

AABC〜AA'B'C,且有A'B'：AB=1：2；

(2)取AABC的内心0,连接OA、OB、OC且延长，使AA'=AO,B'B=BO,C'C=8,

连结AB、BC、CA,那么有AABC〜AAE'C',且AB：A'B'=1：2。

如图2,设位似中心在AABC的外部时

(1)在AABC外任取一点0,过0点作射线0A、OB、0C,并截取AA'=OA,

c'C=OC,B'B=BO,连结A'B'、B'C'、CA',则可证AABC〜AA'B'C',且

AB：A'B'=1：2。

(2)在AABC外任取一点，过0作直线0A,OB,0C,在OA、OB、OC的另一侧取A',B',C,

使A'O=LAO,B'O=-OB,C'O=-OC»连结A'B'、B'C、CA',那么可证

222

AABC-AA'B'C,且A'B'：AB=1：2„

练习.以下说法正确的是()

A.分别在△ABC的边AB、AC的反向延长线上取点D、E,使DE〃BC,那么AADE是4

ABC放大后的图形；

B.两个位似图形的面积比等于位似比；

C.位似多边形中对应对角线之比等于位似比；

D.位似图形的周长之比等于位似比的平方

答案：C

最新考题

,中考要求及命题趋势

1理解轴对称及轴对称图形的联系和区别；

2掌握轴对称的性质；根据要求正确地作出轴对称图形。

3理解图形的平移性质；

4会按要求画出平移图形；

5会利用平移进行图案设计。

6理解图形旋转的有关性质；

7掌握根本中心对称图形；

8会运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计

2023年将继续考查图形的轴对称，图形的平移，要求画出平移后图形，设计图案是考查的

重点。图形的旋转的性质及应用是考试的重点。

应试对策

1要掌握轴对称问题的特征及其规律，熟练掌握根本图形的轴对称性，能结合实际图形予以

识别轴对称图形，并能按要求作图。

2要理解图形平移的性质，掌握平移图形图案设计，对实际中平移图形要后会灵活运用。

3要理解图形旋转的性质，掌握根本图形旋转形成过程，能运用轴对称、平移和旋转的有关

知识进行图案设计。

考查目标一、平移变换问题

例1（09.盐城）在5x5方格纸中，将图1中的图形N平移后的位置如图2中所示，

那么正确的平移方法是（）.

A.先向下移动1格，再向左移动1格

ffl2

B.先向下移动.1格，再向左移动2格

C.先向下移动2格，再向左移动1格

D.先向下移动2格，再向左移动2格

解题思路：利用方格很容易判断图形的平移过程，先向下平移2格，再向左平移1

格或先向左平移1格，再向下平移2格均可.选C.

例2(2023扬州)如图在aAOB中,AO=AB.在直角坐标系中，点A的坐标是(2,2),

点0的坐标是(0,0),将aAOB平移得到AA，(TB',使得点A'在y轴上.点0'、

B'在x轴上.那么点B'的坐标是

解题思路:aAOB是等腰三角形，容易得到B点坐标为(4,0),将AAOB平移得到△△‘O'B',

使得点A'在y轴上是将图形向左平移2个单位长度.根据平移特点，平移后对应线段相等,

因此点B也向左平移2个单位长度，所以点B'的坐标为(2,0).

考查目标二、旋转变换问题

例1(08徐州)如下图，在图甲中，RtZMDAB绕其直角顶点O每.次旋转90。，旋转三次

得到右边的图形.在图乙中，四边形OAB绕O点每次旋转120。，旋转二次得到右边的图形.

以下图形中，不能通过上述方式得到的是().

解题思路：(A)、图(B)、图(C)都可以用一个根本图形绕中心旋转一定角度、一定次数得到,

而图(D)不能由旋转得至应选(D).

例2(09.宿迁)如图5所示，把一个直角三角形尺ABC绕着30°角的顶点B顺时针旋

转，使得点A与CB的延长线上的点E重合.

(1)三角尺旋转了多少度？

(2)连结Q),试判断的形状:

⑶求/BDC的度数.

解题思路：(1)顶点A顺时针旋转后与点E重合，ZABE和NCBD都等于旋转角.ZABC=30°,

所以NABE=180°-30°=150°,所以三角尺旋转了150°.

(2)BC和BD是对应边，BC=BD,所以4CBD是等腰三角形.

ZBDC=

(3)4CBD是等腰三角形，ZCBD=150°,所以2

考查目标三、折叠问题

例2.[09苏州)在矩形ABCD中,如图,AB=3,BC=4,将矩形折叠，使点C与点

A重合，求折痕EE的长.

解题思路：连结C£,那么CE=AE

设=那么£>E=4—x

在放△核中，CE?=虑+DC)

所以X2=(4—X>+32

2525

解得》=巴即

88

在RfZVLBC中，AC=y/AB2+AC2=A/32+42=5

Ar5

由题意知：AO=CO=-y-=

所以，在Rt△CEO中,EO=yJCE2-CO2=—

8

又因为MOE也AEOC

所以，OE=OF

所以，EF=2OE=@

4

y=———忑x।+I

综合练习.：如下图，直线.3分别与x轴、y轴交于B、A两点.

(1)求B、A两点的坐标；

(2)把AAOB以直线AB为轴翻折，点0落在平面上的点C处，以BC为一边作等边

ABCD.求D点的坐标.

cy---x*iflly-1

答案：(1)令x=由3',

J5_

y=0,^y=-—x+If%=W

-B点的坐标为(/，0),A点的坐标为(0,1).

(2)由(1)知==l

ZCBO-60°,

过点C作CM_Lx轴于M,那么在RiABCM中，

C点坐标为2'2.

连结0C,

△BOC为等边三角形.

过点C作CE〃X轴，并截取CE=BC,那么NBCE=60°.

连结BE,那么他CE为等边三角形.

3

EF-CM--.BF-BM

作EF1X轴于F,那么2~2

(生1)

点D的坐标为(0,0)或'2'2

过关测试

一、选择题

1.以下图形中，是中心对称图形的是----------()

A.菱形B.等腰梯形C.等边三角形D.等腰直角三角形

:2.以下卷圉塞中,不是交中心对称图形的心是来()

4.以下图/中，旋转60°后可以和原图形重演的是^5()

A.正六边形B.正五边形C.正方形D.正三角形

5.在下面四个图案中，如果不考虑图中的文字和字母，那么不是轴对称图形的是()

6.以下轴对称图形中，对称轴条数最少的是（）

A.等边三角形B.正方形C.正六边形D.圆

7.以下轴对称图形中，对称轴的条数最少的图形是（）

A.圆B.正六边形C.正方形D.等边三角形

8.下面四个图案中，是旋转对称图形的是（）

A.B.C.D.

9.以下图案属于轴对称图形的是（）

A.B.C.D.

10.以下图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）

A.正三角形B.菱形C.直角梯形D.正六边形

11.以下图形中，轴对称图形的是）

12.以下图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A.正六边形B.正五边形C.平行四边形D.等腰三角形

二、填空题

1.如图1,小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°,再沿直线前进10米，又向

左转30°,……照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了米。

NAO8=45,并将三角板沿

处后绕点M逆时针方向旋转

22,那么三角板的斜边与射线。4的夹角a为

3.如图3,Rtz^ABC中，ZC=9O°,AC=4cm,BC=3cm,现将aABC进行折叠，使顶点A、B重

合，那么折痕DE=cm。

4.如图4,直角梯形A8C£＞中，AD//BC,ABLBC,AD=2,BC=3,NB8=45,

将腰CD以点。为中心逆时针旋转90至ED,连结AE,CE,那么MADE的面积是.

5.如图5,在2x2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC,请你找出格纸中所

有与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有个.

（图4）

6.如图6,RSABC中,ZB=90°,AB=3cm,AC=5cm,将AABC

折叠，使点C与A重合，得折痕DE,那么AABE的周长等于

―丽图

35

三、解答题

1.如图,0是坐标原点，B、C两点的坐标分别为(3,-1)、(2,1).

(图6)

(1)以0点为位似中心在y轴的左侧将△0BC放大到两倍(即新

图与原图的相似比为2),画出图形;

(2)分别写出B、C两点的对应点B'、C'的坐标；

(3)如果AOBC内部一点M的坐标为(x,y),写出M的对应点M'的坐标.

2.如图是规格为8X8的正方形网格,请在所给网格中按以下要求操作：

八1

⑴请在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为(一2,4),B点坐标为(一4,：；)；

⑵在第二象限内的格点上画一点C,使点C与线段AB组成一个以AB为底的等腰三外形，且

1M

腰长是无理数，那么C点坐标是，AABC的周长是(结果保存根号丹-----一一一^

(3)画出AABC以点C为旋转中心、旋转180°后的AA'B'C,连结AB'和A'B,试说出四

边形ABA'B'是何特殊四边形，并说明理由.

3.在平面直角坐标系中，直线/过点M(3,0),且平行于y轴.

(1)如果aABC三个顶点的坐标分别是A(-2,0),B(-l,0))C(-l,2),AABC关于y轴的

对称图形是△A।B।C।,ZSAIBICI关于直线/的对称

图形是△A2B2C,,写出△A/B2a的三个顶点的坐标；

(2)如果点P的坐标是(一a,0),其中a0,点P关于

y轴的对称点是《，点4关于直线/的对称点是巴，

求Pg的长.

4.如图，△ABOTA(—2,3),B(-3,1),C(-l,2).

(1)将△ABC向右平移4个单位长度，

画出平移后的△AUG；

(2)画出△ABC关于x轴对称的△A与G；

(3)将6c绕原点。旋转180,画出旋转后的△44。3；

(4)在△AfiG，AA2B2C2,△4B3C3中,

△____与4成轴对称，对称轴是；

△.与△______成中心对称，对称中心的坐标是...

5.如图，在平面直角坐标系中，点AB,C,P的坐标分别为

(0,2),(3,2),(2,3),(1,1).

(1)请在图中画出△AB'C',使得△A'6'C'与△A6C关于点P成中心对称；