2021年人教A版(2019)必修第二册数学第八章-立体几何初步单元测试卷(一)高中数学答案加解析

2021年人教A版（2019）必修第二册数学第八章立体几何初步

单元测试卷（1）

一、选择题

1.已知三个不同的平面a,0,y和直线m,n,若any=m,0ny=n,则"a〃/?”是

“m〃心的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.棱长为2的正四面体的表面积是（）

A.V3B.2V3C.3V3D.4V3

3,在三棱锥S-ABC中，底面△ABC是直角三角形，其斜边4B=4,SC_L平面ABC,

且SC=3,则三棱锥的外接球的表面积为（）

A.257rB.207TC.16兀D.13兀

4.m,九是空间两条不同的直线，a,/?是两个不同的平面，则下列命题中正确的是

（）

A.若m〃a,n/〃，a〃£,则粗〃?1

B.若mua,nuB，al/?,则m_Ln

C.若m1n,mLa,n//p,则a1/?

D.若mJ.a,n1/?,m//n,则a〃/?

5.己知圆锥的高九=3,体积了=9加，则该圆锥的侧面积为（）

A.6V2?rB.9V2TTC.67rD.97T

6.已知球。是直三棱柱ABC-&B1G的外接球，若44i=4C=夜BC,BA=BC=1,

则球。的表面积为（）

4

A4

-32-97-T

37TB.37r71D.2

7.下列命题正确的是（）

A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱

B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱

C.有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行

的几何体叫棱柱

D.用一个平面去截棱锥，截面与底面之间的部分组成的几何体叫棱台

8.已知a,。是两个不同的平面，直线mua,下列命题中正确的是（）

A.若a10,则zn〃3B.若a1/?,则m10

C.若m〃£,则a〃/?D.若7nl/?,则a_L0

9.下列说法中不正确的是（）

A.将圆柱的侧面沿一条母线剪开，展开图是一个矩形

B.直角三角形绕它的一条边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥

C.棱锥的侧面均为三角形

D.棱台的上下底面是平行且相似的多边形

10.某几何体的三视图如图所示,记底面的中心为E,贝UPE与底面所成的角为（）.

俯视图

.n

AL

34

11.在长方体ABC。-AiBiGA中，AB=BC=1,AA1=>/3,则异面直线与DB1

所成角的余弦值为（）

A.iB虐C.渔D虐

5652

12.设m,n是两条不同的直线，a,/?是两个不同的平面，且?nua,nua,则"a〃0"是

“僧〃/?且n〃邛的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

二、填空题

试卷第2页，总19页

13.两条或的直线可以确定一个平面.

14.正方形ABCD的边长为1,利用斜二测画法得到直观图AB'C'。'，其周长等于

15.边长为2%的正方形4BCD的顶点均在表面积为287r的球。的球面上，01为正方形

ABCD的中心，AOMB绕4B旋转，其顶点01接触到球面时设为E,则二面角E-4B-

。的大小为.

16.如图，正方体ABCD-4B1GD1的所有棱中，其所在的直线与直线B仆成异面直线

的共有条.

三、解答题

17.已知两直线I]:(3+m)x+4y=5—3m和52x+(5+rri)y-8=0.

(1)若。〃％，求实数M的值.

(2)当m=l时,若)1"且卜过点(1,3),求直线b的方程.

18.如图所示，过AABC所在平面外一点P作P。工平面4BC,垂足为。，连接PA、PB、

PC.若PA=PB=PC,ZC=90°,求证点0是边AB的中点.

19.如图，矩形4MND所在的平面与直角梯形MBCN所在的平面互相垂直，MB//NC,

MN1MB.

(1)求证：平面4WB〃平面DNC；

(2)若MC_LCB,求证BCJ.4C.

20.如图，已知四棱锥P-4BCC的体积为4,「41底面28。。，PA^BC=2,底面

4BCD为直角梯形，AB//CD.AB=^CD,/.ABC=90叱

(1)求证：AC1PD-.

(2)若点E在棱PB上，且PE=；PB,点k在直线上，且PK〃平面4CE,求8K的长.

21.如图，在三棱柱ACE-BCF中，四边形力BCD是矩形，平面4BCD_L平面ABFE,

AF1BF,且4B=2,BF=1,BC=V3.

(1)求证：平面ADFJ■平面BCF；

(2)求四棱锥F-4BCD的体积•

22.如图，4BCD是平行四边形，EZ1平面ABC。，PD//EA,BD=PD=2EA=4,

AD=3,AB=5.F,G,〃分别为PB,EB,PC的中点.

试卷第4页，总19页

(1)求证：DB1GH-,

(2)求平面FGH与平面EBC所成锐二面角的余弦值.

参考答案与试题解析

2021年人教A版（2019）必修第二册数学第八章立体几何初步

单元测试卷（1）

一、选择题

1.

【答案】

A

【考点】

必要条件、充分条件与充要条件的判断

平面与平面平行的性质

空间中直线与平面之间的位置关系

【解析】

利用面面平行的性质定理及其充要条件的判定方法即可得出.

【解答】

解：根据面面平行的性质：两个平行平面，分别和第三个平面相交，交线平行，

即any=m,/?Ay=n>a//°,

所以m〃n,

所以any=£fly=ri,贝lja〃0是m//7i的充分条件.

若any=m,£ny=n,m//n,

则a〃口不一定成立，存在a与£相交的情况，

所以any=zn,£ny=n,则a〃/?是m〃n的不必要条件.

综合得，any=m,（iC\y-n,则a〃夕是m〃n的充分不必要条件.

故选A.

2.

【答案】

D

【考点】

棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积

【解析】

根据题意求出一个面的面积，然后乘以4即可得到正四面体的表面积.

【解答】

解：每个面的面积为"2x2x4=遮，

则正四面体的表面积为4g.

故选D.

3.

【答案】

A

【考点】

球的表面积和体积

【解析】

直角三角形ABC的外接圆的圆心为AB中点。，过。作面ABC的垂线，球心。在该垂线上,

过。作球的弦SC的垂线，垂足为E,则E为SC中点，球半径R=OS=WE?+SE?=

试卷第6页，总19页

(CU+SE2即可求出半径.

【解答】

解：如图所示，

直角三角形ABC的外接圆的圆心为的中点。，

过。作面4BC的垂线，球心。在该垂线上，

过。作球的弦SC的垂线，垂足为E,贝IJE为SC中点,

球半径R=OS=VOE2+SE2=〃1半2+SE2.

13

CD=-AB=2,SE=-,

22

棱锥的外接球的表面积为4兀/?2-25兀，

故选4

4.

【答案】

D

【考点】

空间中直线与直线之间的位置关系

空间中直线与平面之间的位置关系

空间中平面与平面之间的位置关系

命题的真假判断与应用

【解析】

根据选项中的条件依次判断各个选项的正误即可.

【解答】

解：若m〃a,n//p,a//p,则7n//n,或?n,n异面,故力不正确;

若mua,nc/?,al£,则m_Ln或m,n相交，或m〃n,故B不正确；

若m_Ln,m1a,n//p,则故C不正确；

若m_La,nip,m//n,则a〃/?，故。正确.

故选D.

5.

【答案】

B

【考点】

柱体、锥体、台体的侧面积和表面积

【解析】

根据题意可以求得圆锥的母线长，然后根据圆锥的侧面展开图是一个扇形，由扇形的

面积公式S=|"即可解答本题.

【解答】

解：设底面圆半径为r,

则V=^rtr2h=9兀，

则r=3,

则母线长为：V32+32=3V2,

圆锥的侧面积是：1x2TTx3x3V2=9V2TT.

故选B.

6.

【答案】

C

【考点】

球的表面积和体积

球内接多面体

【解析】

暂无

【解答】

解：由4C=&BC,BA=BC=1,可得AABC为直角三角形，

由题意，ABC-ABiCi所在的长方体中，过同一顶点的三条棱的长分别为：1,1.V2,

设外接球的半径为R,则(27?)2=12+12+(鱼)”=4,所以R=l,

所以球的表面积S=4TTR2=47T.

故选c.

7.

【答案】

C

【考点】

棱台的结构特征

棱柱的结构特征

【解析】

对于A,B,C,只须根据棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并

且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱进行判

断即可.对于。，则须根据棱锥的概念：棱锥的底面和平行于底面的一个截面间的部

分，叫做棱台.进行判断.

【解答】

解：根据棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四

边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱可知：

4,它的每相邻两个四边形的公共边不一定互相平行，故错误；

B,它的每相邻两个四边形的公共边不一定互相平行，故错误；

C,它符合棱柱的定义，故正确；

D,根据棱台的定义：棱锥的底面和平行于底面的一个截面间的部分，叫做棱台可知:

它的截面与底面不一定互相平行，故错误.

故选C.

8.

【答案】

D

试卷第8页，总19页

【考点】

命题的真假判断与应用

空间中平面与平面之间的位置关系

【解析】

直接利用线面垂直和平行的判定和性质的应用求出结果.

【解答】

解：对于选项4,若aJ,£,则m〃0也可能m10,故错误；

对于选项B,若al/?,则7nl./?也可能m〃.，故错误；

对于选项C,若m〃0,则a〃/?也可能a与夕相交，故错误；

对于选项D，直线mua,则a10是面面垂直的判定，故正确.

故选D.

9.

【答案】

B

【考点】

旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

棱柱的结构特征

棱锥的结构特征

棱台的结构特征

【解析】

暂无

【解答】

解：由圆柱的性质知其侧面展开图是矩形，棱锥的侧面都是三角形，棱台的上下底面

是平行且相似的多边形，ACD均正确；

由旋转体的概念可知，直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周形成的曲面围

成的几何体是圆锥，当以斜边所在直线旋转一周时所形成的曲面围成的几何体是两个

圆锥的组合体，B错误.

故选B.

10.

【答案】

A

【考点】

直线与平面所成的角

由三视图还原实物图

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：由三视图可知该几何体的直观图如图所示,

“E4为PE与底面所成的角，

•••PA=V6,AE=V2,PA_L于底面4BC0,

tan/PEA=—=V3,/.PEA=

AE3

故选4

11.

【答案】

C

【考点】

异面直线及其所成的角

【解析】

以。为原点，ZM为%轴，DC为y轴，DC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能

求出异面直线与OB1所成角的余弦值.

【解答】

解：取4B,56的中点分别为F,E,连接EF,

则ADJ/FE.设/0nEF=。，连接B/.

则OF=：。送=|V3TT=1,

Bi。=躯。=|Jl2+I2+(V3)2=日,

此小)2+(4季

由余弦定理得：

V5

cosZ-FOB

15

异面直线4劣与。当所成角的余弦值为9.

故选C.

12.

【答案】

A

【考点】

必要条件、充分条件与充要条件的判断

平面与平面平行的性质

【解析】

此题暂无解析

【解答】

试卷第10页，总19页

解：当mua,nua,且。〃0时，“m〃/?且兀〃夕"成立，即充分性成立；

若"m〃S且n〃/?”,则m,n可能平行于a和£的交线，故必要性不成立.

故"a〃/?"是"Tn〃夕且n〃0"的充分不必要条件.

故选4

二、填空题

13.

【答案】

相交，平行

【考点】

平面的基本性质及推论

【解析】

根据平面公理的推理，得出经过两条相交直线，或经过两条平行直线，有且只有一个

平面.

【解答】

解：根据平面公理的推理，得：

经过两条相交直线，有且只有一个平面，

经过两条平行直线，有且只有一个平面，

所以，两条相交或平行的直线可以确定一个平面.

故答案为：相交；平行.

14.

【答案】

3

【考点】

斜二测画法画直观图

平面图形的直观图

【解析】

画出图形，结合图形求出平面直观图形的面积.

【解答】

解：如图所示，正方形4BCC的边长为1,

利用斜二测画法得到的平面直观图4'B'C'D'是平行四边形，

所以AB'=CD'=1,平行四边形AB'C'D'的面积是正方形4BCD面积的底,

4

所以平行四边形AB'C'D'的高为四，Z.D'A'B'=45。，

4

所以AC'=B'C'=：,

所以平行四边形Z'B'C'D'的周长1+1+|+|=3.

故答案为：3.

15.

【答案】

120°或60°

【考点】

二面角的平面角及求法

【解析】

【解答】

解：如图，取4B中点4,连接01",EH,OH,

则4O1HE即为二面角E-AB-。的平面角.

由已知得/?=夕，BD=2V6,O[B=爬,。。1=1,

。1"=6，OH=2,40担。=30。，

。担=EH=>/3,OE=夕，

OH1EH,AOrHE=120",

同理当E在下方时NOiHE=60°.

故答案为：120。或60。.

16.

【答案】

6

【考点】

异面直线的判定

【解析】

由异面直线的定义可以直接得到结果.

【解答】

正方体4BCD-&B1C1C1的共有12条棱中，

成异面直线的有：

AD,DC,BiG，CiD「CC],DD],共6条.

三、解答题

17.

【答案】

解：(1)因为1"/%，

所以((3+m)(5+m)-2x4=0,

1(3+m)(-8)-2(3m-5)力0,

试卷第12页，总19页

解得：m--7.

(2)当m=l时，直线I1的斜率为-1,所以直线卜的斜率为L

又因为，3过点(L3)，所以有y-3=x-l,

即G：x—y+2=0.

【考点】

直线的点斜式方程

两条直线垂直的判定

两条直线平行的判定

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：(1)因为，"/%，

所以((3+m)(5+m)-2x4=0,

1(3+m)(-8)-2(3m-5)力0,

解得：m——7.

(2)当?n=l时，直线"的斜率为-1,所以直线6的斜率为L

又因为b过点(1,3),所以有y-3=x-l,

即b：x—y+2=0.

18.

【答案】

证明：连接OC,

因为P。，平面ABC,OAu平面ABC,

所以P。1OA,

同理尸01OB,PO1OC.

在Rt△PAO与Rt△PB。中，

(PA=PB,

[p。=PO,

所以RtAPAOwRt△PBO,OA=OB,

所以0是48边的中点.

【考点】

直线与平面垂直的性质

【解析】

无

【解答】

证明：连接OC,

p

因为P。，平面4BC,OAu平面ABC,

所以P。1OA,

同理P。1OB,PO1OC.

在RtZiPAO与RtAPB。中，

(PA=PB,

[p。=PO,

所以RtAPAOwRMPB。，OA=OB,

所以。是AB边的中点.

19.

【答案】

证明：(1)：MB//NC,MB(t^DNC,NCu平面DNC,

MB〃平面DNC.

4MND是矩形，

MA//DN.

又M力，平面DNC,DNu平面DNC,

MA〃平面DNC.

又M4nMB=M，且MA,MBu平面4MB,

平面4MB〃平面DNC.

(2)\-4MND是矩形，

AM±MN.

■：平面4MMD_L平面MBCN,

且平面AMNDn平面MBCN=MN,

：.AM_L平面MBCN.

BCu平面MBCN,

AM1BC.

,1•MC1BC,MCOAM=M,

BC1平面4MC.

ACu平面4MC,

BCLAC.

【考点】

两条直线垂直的判定

平面与平面平行的判定

【解析】

(1)由MB〃NC,利用线面平行的判定定理可得MB〃平面DNC,同理可得MA〃平

面DNC.利用面面平行的判定定理即可证明.

(2)利用线面、面面垂直的判定和性质定理即可证明.

试卷第14页，总19页

【解答】

证明：(I)：MB//NC,MBC平面DNC,NCu平面DNC,

MB〃平面DNC.

4MND是矩形，

MA//DN.

又，平面ONC,DNu平面ONC,

MA〃平面DNC.

又AMnMB=M，且M4,MBu平面AMB,

平面4MB〃平面DNC.

(2)/AMND是矩形，

AM1MN.

■：平面4MN0J"平面MBCN,

且平面4WNDn平面MBCN=MN,

：.AM_L平面MBCN.

BCu平面MBCN,

AM1BC.

MC1BC,MCf}AM=M,

BC1平面4MC.

ACu平面4MC,

BCLAC.

20.

【答案】

(1)证明：设贝6x*2x+x)x2x2=4,

解得x=2.

在梯形ABCD中，AC=2V2,AD=V22+22=272,CD2=AC2+AD2.

：.AC1AD.

■■PA_L底面ABC。,4Cu平面4BC0,

•••AC1PA.

又P4,40u平面PAD,S.PAQAD=A,

：.AC_L平面PAD.

PDu平面PAD,

•••AC1PD.

(2)设4CnBD=。，如图，连接EO.

vPK〃平面4CE,PKu平面PBD,iL^PBDn¥ffi/lCF=EO

：.PK//EO.

0SBOE^BKP,且相彳以比为三.

4

在4PBC中，BD=y/BC2+CD2=2遥,BO=”D=竽

B0_3

BK=-B0

而一739

【考点】

直线与平面垂直的性质

直线与平面垂直的判定

直线与平面平行的性质

【解析】

此题暂无解析

【解答】

⑴证明：设则gx*2x+x)x2x2=4,

解得x=2.

在梯形ABCD中，AC=2近,AD=V224-22=272,CD2=AC2+AD2.

AC1AD.

"PAJ"底面u平面4BC0,

•••AC1PA.

又P44Du平面PAD,且=

ACinPAD.

PDu平面「皿

•••AC1PD.

⑵设4cnBD0,如图，连接E0.

•••PK〃平面4CE,PKu平面PBD,且平面PBDC平面4CE=E。

PK//EO.

回SBOE^BKP,且相似比为三.

4

在4PBD中，BD=>JBC2+CD2=2有,B。=乔。=手，

B0340C8伤

—=・•・DBrKz=-B0=——.

BK4’39

21.

【答案】

(1)证明：•••四边形4BCD为矩形，

AD1AB.

又；平面力BCD1平面4BFE,ADu平面ABCD,

平面力BCDn平面4BEF=AB,

AD_L平面ABFE.

试卷第16页，总19页

•••BFu平面4BFE,

AD1BF.

又AF1BF,AF,4。u平面2CF,AFCyAD=A,

:.BF_L平面4DF.

又BFu平面8CF,

•••平面平面B”.

(2)解：过点尸作FG14B,垂足为G,如图所示，

平面48CC_L平面4BFE,FGu平面ABEF,

平面力BCDCl平面4BEF=AB,

•••FG平面4BC0.

•1,AF1BF,AB=2,BF=1,

AF=V3.

AB-FG=AF-BF,

_1

V四棱飙_ABCD=QS矩形ABCD'FG

=1x2xV3x^=l.

【考点】

平面与平面垂直的判定

平面与平面垂直的性质

柱体、锥体、台体的体积计算

【解析】

无

无

【解答】

(1)证明：•••四边形ABCO为矩形，

:.AD1AB.

又；平面48CDJL平面4BFE,4。u平面4BCD,

平面力BCDn平面ABEF=AB,

AD，平面4BFE.

BFu平面4BFE,

AD1BF.

又AF1BF,AF,4。u平面4DF,AFCtAD=A,

BF1平面4DF.

又；BFu平面BCF,

•••平面4DFJ_平面BCF.

(2)解：过点尸作FG148,垂足为G,如图所示,

平面4BC01平面4BFE,FGu平面4BEF,

平面4BCDn平面ABEF=AB,

FGJ•平面ABCC.

1,•AF1BF,AB=2,BF=1,

AF=V3.

AB-FG=AF-BF,

.AFBFy/3

・•FnGr=-------=——,

AB2

_1

"V四极脚-ABCD=矩形ABCD'PG

=lx2xV3x^=l.

22.

【答案】

⑴证明：丫EA1平面ABC。，EA1BD,

BD