四川省绵阳重点中学2023-2024学年高三上学期12月月考理科数学试题（含答案）

绵阳重点中学高2021级高三上期12月月考试题数学（理科）时间：120分钟满分：150分本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数的共轭复数是（

）A． B． C． D．2．已知集合，，则（

）A．， B．，C．， D．，3．若是夹角为的两个单位向量，与垂直，则（

）A． B． C． D．4．若，满足约束条件，则的最大值为（

）A．25 B．27 C．29 D．305．函数的大致图象为（

）A．

B．

C．

D．

6．已知点是抛物线的焦点，点，且点为抛物线上任意一点，则的最小值为（

）A．7 B．6 C．5 D．47．已知的展开式中常数项为24，则的值为（

）A．1 B． C．2 D．8．七辆汽车排成一纵队，要求甲车、乙车、丙车均不排队头或队尾且各不相邻，则排法有（

）A．48种 B．72种 C．90种 D．144种9．已知函数，将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象.若的图象关于直线对称，则（

）A． B． C． D．10．已知圆，是圆上的一条动弦，且，为坐标原点，则的最小值为（

）A． B． C． D．11．双曲线C：（，）的一条渐近线过点，，是C的左右焦点，且，若双曲线上一点M满足，则（

）A．或 B． C． D．12．若实数a，b，，且满足，，，则a，b，c的大小关系是（

）A．c>b>a B．b>a>c C．a>b>c D．b>c>a第II卷（非选择题，共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数的图象在处的切线方程为.14．已知是各项均不相同的等差数列，是公比为q的等比数列，且，则．15．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且与该抛物线在第一象限交于点，若轴，则椭圆C的离心率为．16．人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术.在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.设，则曼哈顿距离，余弦距离，其中（O为坐标原点）.已知点，则的最大值近似等于.（保留3位小数）（参考数据：.）三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17．（本小题满分12分）已知单调递增数列的前项和为，且．(1)求的通项公式；(2)记，求数列的前项和．18．（本小题满分12分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．(1)求角B；(2)若，，D为AC边的中点，求的面积．19．（本小题满分12分）2023年上海书展于8月16日至22日在上海展览中心举办.展会上随机抽取了50名观众，调查他们每个月用在阅读上的时长，得到如图所示的频率分布直方图：

(1)求x的值，并估计这50名观众每个月阅读时长的平均数；(2)用分层抽样的方法从这两组观众中随机抽取6名观众，再若从这6名观众中随机抽取2人参加抽奖活动，求所抽取的2人恰好都在这组的概率.20．（本小题满分12分）设椭圆的左右顶点分别为，左右焦点.已知，.(1)求椭圆方程.(2)若斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，与以为直径的圆交于C，D两点.若，求直线的方程.21．（本小题满分12分）已知函数．(1)当时，求的零点个数；(2)若恒成立，求实数a的值．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；(2)若曲线C和直线l相交于M，N两点，Q为MN的中点，点，求．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数R，且的解集为[-1，1].(1)求m的值；(2)若，且，求证：.参考答案1．B2．C3．A4．C5．D6．A7．D8．D9．C10．A11．B12．B由，，，得，，，令，则，当时，，当时，，所以在上是增函数，在上是减函数，于是，即，又b，，所以；，因为，所以，，，因此，于是，又a，，所以；令，则，所以在上是增函数，，，即，，，于是，又a，，所以；综上.故选：.13．14．15．/16．设，由题意可得：，即，可知表示正方形，其中，即点在正方形的边上运动，因为，由图可知：当取到最小值，即最大，点有如下两种可能：①点为点A，则，可得；②点在线段上运动时，此时与同向，不妨取，则；因为，所以的最大值为.故答案为：.17．(1)；(2).（1）由已知，时，即有，解得，当时，由，得，两式相减，得，即，则，因为单调递增，且，则，，所以，即，故是首项为1，公差为1的等差数列，所以，的通项公式．（2）由，得，，所以，①则有，②①－②，得，所以．18．(1)(2)（1）由，有，两边同乘得，故，即．因为，所以A为锐角，，所以．又因为，所以．（2）在中，由余弦定理，即，故，解得或舍）．故．19．(1)，平均数为；(2).（1）由频率分布直方图得：，解得，阅读时长在区间内的频率分别为，所以阅读时长的平均数.（2）由频率分布直方图，得数据在两组内的频率比为，则在内抽取人，记为，在内抽取人，记为，从这名志愿者中随机抽取人的不同结果如下：，共15个，其中抽取的人都在内的有，共6个，所以所抽取2人都在内的概率．20．(1)(2)（1）由题意，，，解得，，，所以椭圆方程为.设直线为，，，由题意，以为直径的圆的方程为，则圆心到直线的距离，即，所以，由，消去，整理得，，解得，又，所以，，，，因为，所以，解得，又，所以，所以直线的方程为：或.1．(1)2(2)（1）当时，，则，当，，函数在上单调递减；当，，函数在上单调递增，所以，又，，所以存在，，使得，即的零点个数为2．（2）不等式即为，设，，则，设，，当时，，可得，则单调递增，此时当无限趋近时，无限趋近于负无穷大，不满足题意；当时，由，单调递增，当无限趋近时，无限趋近于负数，当无限趋近正无穷大时，无限趋近于正无穷大，故有唯一的零点，即，当时，，可得，单调递减；当时，，可得，单调递增，所以，因为，可得，当且仅当时，等号成立，所以，所以因为恒成立，即恒成立，令，，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，即，又由恒成立