24.2.2直线和圆的位置关系

24.2.2直线和圆的位置关系了解点和圆的三种位置关系的图形特征;掌握点到圆心的距离与半径之间的数量关系;掌握“不在同一直线上的三点确定一个圆”,并能作出这个圆了解反证法的意义，会用反证法进行简单的证明，掌握直线和圆的三种位置关系的特点及判别方法:了解割线、切线的概念:掌握切线的判定和性质，并能灵活运用，了解并会应用切线长定理,了解三角形的内切圆、三角形的内心等概念体验数形结合思想和建模思想,提高解决实际问题的能力.知识点一直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系相交相切相离定义直线和圆有两个公共点,这时我们说这条直线和圆相交直线和圆只有一个公共点,这时我们说这条直线和圆相切直线和圆没有公共点,这时我们说这条直线和圆相离图形公共点个数210圆心到直线的距离d与半径r的关系d＜rd=rd＞r公共点名称交点切点无直线名称割线切线无总结直线l与O相交直线l与O相切直线l与O相离即学即练已知，的半径为一元二次方程的两根，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是．【答案】相交【分析】运用因式分解来解出的两根，舍去负数，再与比较，即可作答，此题考查了因式分解来解一元二次方程，以及判断圆与直线的关系：记圆心到直线的距离为，圆的半径为，如果，相离；如果，相切；如果，相交．【详解】解：∵的半径分别为一元二次方程的两根，∴则，（舍），∵圆心O到直线l的距离，∴，∴直线l与的位置关系是相交．故答案为：相交知识点二切线的判定定理和性质定理定理文字语言符号语言判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线性质定理圆的切线垂直于过切点的半径即学即练（2023上·河北唐山·九年级统考期中）如图，、分别与相切于、两点，点为上一点，连接、，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了圆的切线的性质，圆周角定理等知识，连接，，根据切线的性质得，得出，再利用圆周角定理可得答案．熟练掌握切线的性质是解题的关键．【详解】解：连接，，、分别与相切于、两点，，，，，故选：．知识点三切线长及切线长定理1.切线长经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间线段的长,叫做这点到圆的切线长如图所示,直线PA是的切线，点A是切点,线段PA的长是点P到的切线长切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.如图所示，用数学符号语言叙述:因为PA、PB是的两条切线,所以PA=PB，∠APO=∠BPO=∠APB提示(1)此图是切线长定理的一个基本图形,还可以得出很多结论，如:POAB;AD=BD;;PAOA,PBOB;∠AOB+∠APB=180°,∠AOP=∠BOP=∠AOB;∠1=∠2=∠3=∠4等.(2)此定理主要用于证明线段相等、角相等及垂直关系，如PO垂直平分AB,应重点掌握.3.三角形外心的性质三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于外接圆的半径4.三角形外心的位置锐角三角形的外心在三角形内部;直角三角形的外心是斜边中点:钝角三角形的外心在三角形外部5.三角形外接圆的作法分别作出三角形两条边的垂直平分线,两垂直平分线的交点O即为该三角形的外接圆的圆心，于是以点0为圆心，以圆心到任一顶点的距离为半径作圆，即可得到三角形的外接圆.即学即练（2023上·福建福州·九年级校联考期中）如图，、、是的切线，、、为切点，若，，则的长为．【答案】3【分析】根据切线长定理，得，于是．【详解】与相切于点，与相切于点，，，．与相切于点，与相切于点，，的长为，故答案为：．【点睛】本题考查切线长定理，由切线长定理得到相等线段是解题的关键．知识点四三角形的内切圆1.三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,这个三角形叫做圆的外切三角形.2.三角形的内心三角形的内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心3.三角形内心的性质(1)三角形的内心是三条角平分线的交点;(2)内心到三角形三边的距离相等4.三角形的内切圆的作法先作出三角形的两条角平分线,以两条角平分线的交点为圆心,交点到一边的距离为半径作圆,即可得到三角形的内切圆提示一个三角形只有一个内切圆,而一个圆有无数多个外切三角形5.三角形的外心、内心比较名称外心内心图形性质三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等三角形的内心到三角形的三边的距离相等位置外心不一定在三角形内内心一定在三角形内角度关系即学即练（2023上·河南漯河·九年级统考期末）如图，是的内切圆，切点分别为，且，，，则的半径是．【答案】1【分析】先根据勾股定理求出，由切线长定理得，，，设，则，，然后根据，求解即可．【详解】解：在中，∵，，，∴，∵为的内切圆，切点分别为D，E，F，∴，，，如图，连接，，∵为的内切圆，∴，∴，∴四边形是正方形，设，则，，∵，∴，∴，则的半径为1．故答案为：1．【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，勾股定理，正方形的判定与性质，切线长定理等知识，解题的关键是熟练掌握切线长定理．知识点五圆和圆的位置关系两圆的位置关系图形公共点数量关系相离:如果两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离外离无内含无相切:如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切外切1内切1相交:如果两个圆有两个公共点,那么就说这两个圆相交2即学即练（2023·四川德阳·中考真题）已知的半径为，的半径为，圆心距，如果在上存在一点，使得，则的取值范围是．【答案】【分析】当位于内部，且，，位于同一条直线上时，可以取得最大值；当位于外部，且，，位于同一条直线上时，可以取得最小值．【详解】当位于内部，且，，位于同一条直线上时，可以取得最大值．如图所示，．当位于外部，且，，位于同一条直线上时，可以取得最小值．如图所示，．故答案为：．【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，能采用数形结合的方法和分类讨论的思想分析问题是解题的关键．题型1判断直线和圆的位置关系例1（23·24上·厦门·期中）已知平面内有和点M，N，若半径为2cm，线段，，则直线与的位置关系为（

）A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切【答案】D【分析】本题主要考查圆与直线的位置关系，根据直线上的点与圆的位置关系判定直线与圆的位置关系．【详解】解：∵半径为2cm，且线段，，∴点M在圆外，点N在圆上，则直线与的位置关系为相交或相切．故选：D．举一反三1（23·24上·常州·期中）已知的半径为2，直线l上有一点P满足，则直线l与的位置关系是（

）A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切【答案】D【分析】根据圆于直线关系直接判断即可得到答案.【详解】解：由题意可得，∵，∴当是点O到直线的距离时相切，当不是点O到直线的距离时距离小于2相交，故选：D.【点睛】本题考查圆与直线的关系，圆心到直线的距离等于半径相切，圆心到直线距离小于半径时小角，大于半径相离．举一反三2（23·24上·无锡·期中）已知的半径为，点O到直线l的距离为，则直线l与的位置关系是．【答案】相离【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，掌握当圆心到直线的距离大于圆的半径时，直线与圆相离是解题的关键．【详解】解：∵的半径为，点O到直线l的距离为，，∴直线l与相离，故答案为：相离．题型2已知直线和圆的位置关系求半径的取值例2（21·22下·南平·自主招生）如图，直线与圆心在原点，半径为的圆有公共点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据等面积法算出坐标原点到直线的距离，根据圆与直线有交点可判断圆半径范围；【详解】

解：过原点作交于点C，直线与坐标轴的交点为A、B两点，令解得，故A点坐标为：令解得，故B点坐标为：故直线到坐标原点的距离为：，直线与圆有公共点，故；故选：C．【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理以及直角三角形的性质，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．举一反三1（22·23上·盐城·阶段练习）已知的斜边，直角边．以点C为圆心，当半径r取值时，与边只有一个公共点．【答案】或【分析】分当圆和斜边相切和当圆和斜边相交两种情况求解即可．【详解】如图，∵斜边，直角边，∴．当圆和斜边相切时，则半径即是斜边上的高；当圆和斜边相交，且只有一个交点在斜边上时，可以让圆的半径大于短直角边而小于长直角边，则．故答案为或．【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，在解答此题时要注意分两种情况讨论，不要漏解．举一反三2（22·23·镇江·中考真题）已知一次函数的图像经过第一、二、四象限，以坐标原点O为圆心、r为半径作．若对于符合条件的任意实数k，一次函数的图像与总有两个公共点，则r的最小值为．【答案】2【分析】由的图像经过第一、二、四象限，可知，由过定点，可知当圆经过时，由于直线呈下降趋势，因此必然与圆有另一个交点，进而可得r的最小值是2．【详解】解：∵的图像经过第一、二、四象限，∴，随的增大而减小，∵过定点，∴当圆经过时，由于直线呈下降趋势，因此必然与圆有另一个交点，∴r的临界点是2，∴r的最小值是2，故答案为：2．【点睛】本题考查了一次函数图像，直线与圆的位置关系．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．题型3已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离例3（23·24上·广州·期中）已知的半径为5，直线是的切线，则点到直线的距离是（

）A．2.5 B．3 C．3.5 D．5【答案】D【分析】根据圆与直线的位置关系进行解答即可．【详解】解：的半径是5，直线l是的切线，那么点O到直线l的距离是5．故选：D．【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径；当直线与圆相交时，圆心到直线的距离小于半径；当直线与圆相离时，圆心到直线的距离大于半径．举一反三1（21·22上·韶关·期中）已知的半径为7，直线l与相交，点O到直线l的距离为4，则上到直线l的距离为3的点的个数为个．【答案】3【分析】根据平行线间的距离处处相等，先过点D作，即可求得上到直线l的距离为3的点的个数．【详解】解：如图，∵的半径为7，点O到直线l的距离为4，即，∴，在上截取，过点D作，交于A、B两点，∴上到直线l的距离为3的点为A、B、C，故答案为：3．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、平行线间的距离处处相等的性质，正确画出符合题意的图形、数形结合是解题的关键．举一反三2（23·24上·全国·课时练习）以点为圆心，为半径画圆，与坐标轴恰好有三个公共点，则的值为．【答案】或【分析】作轴，连结，根据勾股定理计算出，然后根据直线与圆的位置关系即可得到满足条件的的取值为且．【详解】作轴，连结，如图，∵点的坐标为，∴，，∴，∵以点为圆心，为半径的圆与坐标轴恰好有三个公共点，∴过点或者与轴相切，∴或．故答案为或．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为：①直线和相交⇔；②直线和相切⇔；③直线和相离⇔．也考查了坐标与图形性质．题型4求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离例4（20·21·绵阳·一模）如图，⊙O1的直径AB长度为12，⊙O2的直径为8，∠AO1O2＝30°，⊙O2沿直线O1O2平移，当⊙O2平移到与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，令圆心距O1O2＝x，则x的取值范围是（）A．2≤x≤10 B．4≤x≤16 C．4≤x≤4 D．2≤x≤8【答案】D【分析】由题意得出点O2在点O1的右侧，⊙O2与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，O1O2的最大值和最小值，分别画出图形求解得出x的取值范围，根据对称性可得点O2在点O1的左侧时的结论．【详解】解：当点O2在点O1的右侧时，当⊙O2向左移动到与直线AB相切时，如图1所示，设切点为M，则O2M=4，又∵∠AO2O1=30°，∴O1O2=2•O2M=8，当⊙O2继续向左移动到与⊙O1内切时，如图2所示，此时O1O2=64=2，所以当⊙O2平移到与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，2≤x≤8；故选：D．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、平移的性质，求出符合条件的x的最大值和最小值是解决问题的关键．举一反三1（22·23·松原·二模）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是．【答案】/【分析】分两种情况讨论：位于轴左侧和位于轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案．【详解】解：的圆心P的坐标为，，的半径为2，，，，当位于轴左侧且与轴相切时，平移的距离为1，当位于轴右侧且与轴相切时，平移的距离为5，平移的距离d的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．举一反三2（22·23·江苏·假期作业）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向以个单位/秒的速度平移，使与y轴相切，则平移的时间为秒．【答案】2或10【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可．【详解】解：当位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；∴(秒)；当位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．∴(秒)；故答案为：2或10【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．题型5求直线平移到与圆相切时运动的距离例5（22·23上·泰州·阶段练习）如图，半径，直线，垂足为H，且l交于A，B两点，，将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，则平移的距离为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，由垂径定理和勾股定理得，当点H平移到点C时，直线与圆相切，求得．【详解】解：连接，∵，∴，∴，∵将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，∴，即直线在原有位置向下移动后与圆相切．故选：B．【点睛】本题利用了垂径定理，勾股定理，及切线的概念求解，正确掌握各定理并应用是解题的关键．举一反三1（23·24上·南昌·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B、C，半径为2的的圆心P从点（点A在直线上）出发以每秒个单位长度的速度沿射线运动，设点P运动的时间为秒，则当时，与坐标轴相切．【答案】2或6或10【分析】设与坐标轴的切点为，根据已知条件得到，，，推出是等腰直角三角形，，①当与轴相切时，②如图，与轴和轴都相切时，③当点只与轴相切时，根据等腰直角三角形的性质得到结论．【详解】解：设与坐标轴的切点为，直线与轴、轴分别交于点、，点，时，，时，，时，，，，，，，，是等腰直角三角形，，①当与轴相切时，点是切点，的半径是2，轴，，是等腰直角三角形，，，，点的速度为每秒个单位长度，；②如图，与轴和轴都相切时，，，点的速度为每秒个单位长度，；③当点只与轴相切时，，，点的速度为每秒个单位长度，．综上所述，则当或6或10秒时，与坐标轴相切，故答案为：2或6或10．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，等腰直角三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．举一反三2（22·23上·南平·阶段练习）如图，直线、相交于点，，半径为的圆的圆心P在直线上，且与点的距离为，若点以的速度由A向B的方向运动，当运动时间为时，与直线相切．【答案】或【分析】在射线上或在射线上，设对应的圆的圆心分别在M，根据切线的性质，在中，根据30度的角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得的长，进而求得的长，从而求得由P到M移动的时间；根据，即可求得，也可以求得由P到M移动的时间．【详解】解：当在射线上，设与相切于点E，P移动到M时，连接．∵与直线相切，∴，∵在中，，，∴，则，∵以的速度沿由A向B的方向移动，∴移动时与直线相切．当在射线上时，同理可求移动时与直线相切．故答案为：或．【点睛】本题主要考查了切线的性质和直角三角形的性质，注意已知圆的切线时，常用的辅助线是连接圆心与切点，本题中注意到分两种情况讨论是解题的关键．题型6切线的应用例6（22·23·深圳·二模）如图，在中，，，，D是上一动点，于E，交于点F，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取的中点O，连接，，延长交于T．证明，推出点E在以O为圆心，为半径的圆上运动，推出当与相切时，的值最大，根据切线的性质、平行线的性质及含30度角的直角三角形的性质即可得出答案．【详解】解：如图，取的中点O，连接，，延长交于T．∵，，，∴，∴，，∵，∴，∴E在上，∵，∴，∴点E在以O为圆心，为半径的圆上运动，∵，∴当与相切时，的值最大，∵直线，直线都是的切线，∴，∴，∵，，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴的最大值为．故选：B．【点睛】本题考查直角三角形角的性质、直线与圆的位置关系、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是发现点E在以O为圆心，为半径的圆上运动，并推出与相切时，的值最大．举一反三1（23·24上·南京·阶段练习）如图，在矩形中，，，P是矩形内部的一个动点，且，连接并延长交于E，则的最大值为．【答案】/【分析】以为直径作，连接，，设，当直线与相切时，最大，证明，得，再同理可证：，得，再在中，根据勾股定理即可．【详解】解：在矩形中，，以为直径作，连接，，设，，点在上，，当直线与相切时，最大，，，在和中，，，同理可证：，，在中，，，解得：，故的最大值为．故答案为：．【点睛】本题主要四边形综合应用，动点问题，三角形全等的性质和判定，勾股定理，圆的定义等知识，解题的关键是正确的作出辅助线．举一反三2（22·23上·淮安·阶段练习）如图，分别切于点，点是上一点，且，则的度数为．【答案】【分析】连接，由切线性质、及四边形内角和为得到，再根据圆周角定理即可得到．【详解】解：连接，如图所示：分别切于点，，，，由四边形内角和为得到，，，故答案为：．【点睛】本题考查圆中求角度，涉及切线性质、四边形内角和、圆周角定理等知识，熟记相关性质是解决问题的关键．题型7有关切线的说法辨析例7（20·21上·龙岩·阶段练习）下列说法正确的是（

）A．垂直于半径的直线是圆的切线 B．经过三点一定可以作圆C．每个三角形都有一个内切圆 D．圆的切线垂直于圆的半径【答案】C【分析】根据与圆有关的基本概念依次分析各项即可判断．【详解】A．垂直于半径且经过半径外端点的直线是圆的切线，故本选项错误；B．经过不共线的三点一定可以作圆，注意要强调“不共线”，故本选项错误；C．每个三角形都有一个内切圆，本选项正确；D．圆的切线垂直于过切点的半径，注意强调“过切点”，故本选项错误．故选：C．【点睛】本题考查了有关圆的切线的判定与性质，解答本题的关键是注意与圆有关的基本概念中的一些重要字词，学生往往容易忽视，要重点强调．举一反三1（23·24上·全国·课时练习）下列直线中可以判定为圆的切线的是（）A．与圆有公共点的直线 B．经过半径外端的直线C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆心的距离等于半径的直线【答案】D【分析】根据切线的判定方法逐项分析即可．【详解】解：A．与圆有且仅有一个公共点的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意；

B．经过半径外端的直线且垂直于半径的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意；C．经过半径外端的直线且与半径垂直的直线是圆的切线，故不正确；

D．与圆心的距离等于半径的直线，故该选项正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了切线的判定方法，如果直线与圆只有一个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点；经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．举一反三2（22·23上·福州·期末）平面内，的半径为，点到的距离为，过点可作的切线条数为（）A．条 B．条 C．条 D．无数条【答案】C【分析】先确定点与圆的位置关系，再根据切线的定义即可直接得出答案．【详解】解：的半径为，点到圆心的距离为，，点与的位置关系是：在外，过圆外一点可以作圆的条切线，故选：C．【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，切线的定义，切线就是与圆有且只有个公共点的直线，理解定义是关键．题型8判断或补全使直线为切线的条件例8（21·22上·绥化·期中）下列说法：①平分弦的直径垂直于弦；②三点确定一个圆；③在同圆或等圆中相等的弦所对的圆周角相等；④垂直于半径的直线是圆的切线；⑤三角形的内心到三条边的距离相等．其中不正确的有（

）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】举出反例图形或者根据圆的性质，即可判断①②③④；根据三角形内心的定义和角平分线性质即可推出⑤．【详解】解：如图1，∵直径CD和直径AB，符合AB平分弦CD，且AB是直径，但AB和CD不垂直，∴①错误；∵在同一直线上的三点不能确定一个圆，∴②错误；∵在同圆或等圆中相等的弦所对的同侧的圆周角相等；∴③错误；∵如图②，CD⊥半径OA，但CD不是圆的切线，∴④错误；∵根据角平分线的性质即可得出三角形的内心到三角形的三边距离相等，∴⑤正确；∴不正确的有4个，故选：D．【点睛】本题考查了确定圆的条件，角平分线的性质，垂径定理，切线的判定，圆周角定理等知识点的应用．举一反三1（22·23下·镇江·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A、B、C均落在格点上．(1)的周长为______．(2)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺在上确定一点，使以点为圆心，以为半径的与相切．（保留作图痕迹）【答案】(1)12(2)见解析【分析】（1）根据勾股定理求出，根据三角形的周长公式计算即可；（2）根据等腰三角形的性质、角平分线的性质、切线的判定定理作图即可．【详解】（1）解：由勾股定理得：，则的周长，故答案为：12；（2）延长至，使，连接，取的中点，连接交于点，则点即为所求．【点睛】本题考查的是勾股定理、切线的判定定理、角平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握切线的判定定理是解题的关键．举一反三2（22·23上·濮阳·阶段练习）已知：内接于，过点A作直线．(1)如图1，为直径，要使为的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）：①___________；②_____________．(2)如图2，是非直径的弦，，求证：是的切线．【答案】(1)①(或)(答案不唯一)②；(答案不唯一)(2)见解析【分析】（1）①根据切线的判断由或可判断为的切线；②当，根据圆周角定理得，所以，即，于是也可判断为的切线；（2）作直径，连接，由为直径得，则，根据圆周角定理得，而，所以，根据切线的判定定理得到为的切线；【详解】（1）解：①当(或)可判断为的切线；②当，∵为直径，∴，∴，∴，∴，∴为的切线；故答案为∶①(或)(答案不唯一)、②；(答案不唯一)（2）证明：如图，作直径，连接，∵为直径，∴，∴，∵，，∴，即，∴，∴，∴为的切线；【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理．题型9证明某直线是圆的切线例9（23·24上·黄石·期中）如图，为的直径，平分，交弦于点G，连接半径交于点E，过点C的一条直线交的延长线于点F，．(1)求证：直线是的切线；(2)若，求的长；【答案】(1)证明见解析；(2)3【分析】（1）根据圆周角定理，垂径定理，平行线的性质证得，即可证得结论；（2）利用勾股定理求得半径，进而求得，根据三角形中位线定理即可求得．【详解】（1）证明：平分，，C是的中点，，，，，，，是半径，直线是的切线；（2）解：设，，，，在中，解得：，，又，．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理的应用，三角形中位线定理等，熟练掌握性质定理是解题的关键．举一反三1（23·24上·河北·期中）如图所示，已知是等边三角形，以为直径作，交边于点D，交边于点E，作于点F．(1)求证：是的切线；(2)若的边长为2，求的长度．【答案】(1)见解析(2)．【分析】（1）连接，根据等边三角形的性质求出，根据切线的判定定理证明即可；（2）连接，根据等边三角形的性质求出，根据面积法结合图形计算即可．【详解】（1）证明：如图所示，连接，∵是等边三角形，∴．∵，∴．∴，∴，∵，∴于点D．∵点D在上，∴是的切线；（2）解：如图所示，连接，∵为直径，∴．∴．∵是等边三角形，∴，∴，∴，∵，∴，∴．举一反三2（23·24上·商丘·期中）如图，为⊙的直径，过圆上一点作的切线交的延长线与点，过点作交于点，连接．(1)直线与相切吗？并说明理由；(2)若，，求的长．【答案】(1)相切，见解析(2)【分析】（1）先证得：，再证，得到，即可求出答案；（2）设半径为；则：，即可求得半径，再在直角三角形中，利用勾股定理，求解即可．【详解】（1）证明：连接．∵为切线，∴，又∵，∴，，，∴，在与中；∵，∴，∴，∴直线与相切．（2）解：设半径为；在中，，即，解得；，，在中，，，解得．【点睛】本题主要考查与圆相关的综合题型，涉及圆的切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行线性质、勾股定理及全等三角形的判定和性质是解题的关键．题型10切线的性质定理例10（22·23上·南开·期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE切⊙O于点A，AE与直径BD的延长线相交于点E．(1)如图①，若∠C＝71°，求∠E的大小；(2)如图②，当AE＝AB，DE＝2时，求∠E的大小和⊙O的半径．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）连接，先由切线的性质得的度数，求出，进而得，则可求出答案；（2）连接，由等腰三角形的性质求出，根据含解的直角三角形的性质求解即可．【详解】（1）解：连接．∵切于点，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∵，∴．（2）连接，设是的切线，即在中，即解得在中，即的半径为2；【点睛】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角的性质，三角形内角和的性质，含角的直角三角形的性质，用方程思想解决几何问题，关键是熟悉掌握这些性质．举一反三1（23·24上·无锡·期中）如图，在中，，D为上的一点，以为直径的半圆与交于点F，且切于点E．(1)求证：；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)1【分析】（1）连接、，证明，可得，，再求出可得结论；（2）连接，证明、都是等边三角形，求出，可得，再根据，可求的长．【详解】（1）证明：连接、，∵切于点E，∴，即，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，∴；（2）解：连接，∵，，∴，∵，∴、都是等边三角形，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴．【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定和性质，含直角三角形的性质等知识，作出合适的辅助线是解答本题的关键．举一反三2（23·24上·西城·期中）如图，A是外一点，与相切于点B，连接，交于点C．若，，求圆的半径．【答案】的半径为2．【分析】连接，设的半径为x，利用勾股定理列式计算即可求解．【详解】解：连接，设的半径为x，∵与相切于点B，∴，∴，∵，即，解得，∴的半径为2．【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．题型11切线的性质和判定的综合应用例11（22·23·江门·一模）如图，矩形中，＝13，＝6，点E是上的动点，以为直径的⊙O与交于点F，过点F作于点G．​(1)当E是的中点时：tan的值．(2)在（1）的条件下，证明：是圆O的切线．【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）根据矩形的性质可得，利用E为中点即可求得；（2）连接，矩形的性质证明，得出，利用等边对等角得角相等，等量代换得，得出平行从而有，则结论得证．【详解】（1）（1）解：∵四边形是矩形，∴，，，∴，∵E是的中点，∴，∴．（2）证明：连接，在矩形中，，，又，∴，∴，∴．∵，∴，∴．∴．∵，∴，∵是⊙O的半径，∴是⊙O的切线．【点睛】本题是圆的综合题，考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、切线的判定．熟练掌握切线的判定是解题的关键．举一反三1（21·22上·襄阳·期末）在中，，平分交于点，是边上一点，以为直径的经过点，且交于点．(1)求证：是的切线；(2)若，，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)证明详见解析(2)【分析】（1）连接，证明即可；（2）由勾股定理求出半径，根据三角形的面积公式、扇形面积公式计算即可．【详解】（1）证明：连接，∵以为直径的经过点，，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∵是的半径，∴是的切线；（2）连接，作于，设的半径为，∴，，∴四边形是矩形，∵，，∴，，∵在中，，∴，解得：，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查切线的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，垂径定理，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，扇形面积计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．举一反三2（23·24上·海淀·阶段练习）如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接．(1)求证：为的切线；(2)若且，求的半径．【答案】(1)见解析(2)3【分析】（1）连接，根据等边对等角结合对等角相等即可推出结论；（2）设的半径，则，，在中，【详解】（1）证明：如图，连接，，，，，，，，即，，是半径，为的切线；（2）解：设的半径，则，，在中，由勾股定理得，，，解得，或（舍去），的半径为3．【点睛】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，熟记切线的判定定理是解题的关键．题型12应用切线长定理求解例12（18·19上·红桥·期末）如图，、切⊙O于点A、B，，切于点E，交、于C、D两点，则的周长是（）A．10 B．18 C．20 D．22【答案】C【分析】根据切线长定理得出，，，求出的周长是，代入求出即可．【详解】解：∵、切⊙O于点A、B，切于点E，∴，，，∴的周长是．故选：C．【点睛】本题考查了切线长定理的应用，解题的关键是求出的周长．举一反三1（23·24上·西城·期中）如图，，是的两条切线，切点分别为，，连接，，若，则°．【答案】【分析】本题考查了切线的性质以及切线长定理，根据题意可得，，进而求得，根据等边对等角，即可求解．【详解】解：，是的两条切线，，，，，，．故答案为：．举一反三2（23·24上·南宁·阶段练习）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，求，，的长．【答案】，，【分析】由切线长定理可知；，，，设，则，，然后根据，列方程求解即可．【详解】解：的内切圆与，，分别相切于点、、，，，．设，则，．根据题意得．解得；．．，．，，．【点睛】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出关于的方程是解题的关键．题型13应用切线长定理求证例13（23·24上·哈尔滨·阶段练习）如图，中，，点在边上，过点且分别与边、相交于、两点，，点为垂足．(1)求证：直线是的切线；(2)当是等边三角形，且直线与相切时，直接写出长度为线段长度2倍的所有线段．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，要证直线是的切线，只需证明；根据等腰三角形的性质可得，从而判定，即可；（2）连接，根据切线长定理可得，再结合等边三角形的性质可得，从而得到，，然后证明，可得，即可．【详解】（1）证明：连接．∵，∴，∵在中，，∴，∴，∵，∴，即直线是的切线；（2）解：连接，∵直线与相切，直线是的切线，∴．∵是等边三角形，∴，∴，∴，，∵，∴，∴是等边三角形，∴，∵是直径，∴，∴，∴，∴，即长度为线段长度2倍的所有线段为．【点睛】本题主要考查了切线长定理，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握切线长定理，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键．举一反三1（22·23下·武汉·模拟预测）已知的圆心在上，、分别为的切线，切点分别为、，交另一点．(1)求证：；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，证明出或即可利用同位角相等，两直线平行，或内错角相等，两直线平行证明出结论；（2）先由勾股定理求出，再利用，利用平行线分线段成比例定理求出半径，最后由得到比例线段即可求出．【详解】（1）证明：连接，、分别为的切线，，，在和中，，，，，，，，；（2）解：在中，，，由勾股定理，得，设，则，，，，，由（1）知，，即，解得，经检验，是原方程的解，，在中，由勾股定理，得，，，，即，解得．【点睛】本题考查圆的切线的性质，圆的基本性质，平行线的判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相关图形的判定和性质是解题的关键．举一反三2（23·24上·赣州·期中）如图，四边形是平行四边形，点A，B，D均在圆上．请仅用无刻度的直尺分别下列要求画图．(1)在图①中，若是直径，与圆相切，画出圆心O；(2)在图②中，若均与圆相切，画出圆心O．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）延长交圆与点E，连接，与交点即为圆心O；（2）连接交于点G，交圆于点E，延长交于点F，延长交于点H，连接交于点O，点O即为所求．【详解】（1）解：如图1，延长交圆与点E，连接，与交点即为圆心O；∵是直径，∴，∵四边形是平行四边形，∴，，∴，∴，，∴，∴是直径，∴O是圆心；（2）解：连接交于点G，交圆于点E，延长交于点F，延长交于点H，连接交于点O，点O即为所求；∵均与圆相切，∴，∵四边形是平行四边形，∴，，∴四边形是菱形，∴，，∴是直径，是等边三角形，∴，是等边三角形，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∵是等边三角形，∴，∴过圆心O，即为所求；【点睛】本题考查了无刻度直尺作图，解题关键是准确理解题意，根据圆的有关性质进行作图．题型14直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系例14（22·23上·鄂州·期末）如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，，直角边在轴上，其内切圆的圆心坐标为，抛物线的顶点为，则．【答案】【分析】先求出内切圆半径为1，再设，，则，，由直角三角形性质，得，即，根据切线长定理得，，则，化简得，由勾股定理，得，化简得，把①代入②解得：，则，从而求得，再由抛物线的顶点为，而抛物线的顶点为，则，即可求解．【详解】解：∵是直角三角形，，其内切圆的圆心坐标为，∴，，，∴，设，，∴，，∵，∴，即，，化简得，由勾股定理，得，化简得，把①代入②解得：（负值不符合题意，已舍去），∴，∴，∵，∴抛物线的顶点为，∵抛物线的顶点为，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查直角三角形内切圆，切线长性质，勾股定理，直角三角形性质，二次函数图象性质，求出点坐标是解题的关键．举一反三1（23·24上·石家庄·期中）如图，已知圆O为的内切圆，切点分别为D、E、F，且，，，则的半径r为．【答案】2【分析】连接，由勾股定理的逆定理求得是直角三角形，根据面积关系，即可求得半径．【详解】解：如图，连接，∵，，，，∴，∴是直角三角形，∵为的内切圆，切点分别为D、E、F，∴，且，∴，∵，∴，即，∴，故答案为：2．举一反三2（22·23上·平凉·期末）如图，已知为的内切圆，切点分别为D、E、F，且，，，求的半径．【答案】的半径为2．【分析】连接，由勾股定理可计算出AC的长，根据面积关系，即可求得半径．【详解】解：如图，连接，∵为的内切圆，切点分别为D、E、F∴，且，在中，由勾股定理得，∴，∵∴即∴，即的半径为2．【点睛】本题考查了三角形的内切圆，切线的性质，勾股定理，图形的面积等知识，利用面积关系解答是关键．题型15圆外切四边形模型例15（22·23上·邯郸·期中）如图，是四边形的内切圆．若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据内切圆得到四条角平分线，结合四边形内角和定理求解即可得到答案；【详解】解：∵是四边形的内切圆，∴，，，，∵，∴，∵，，，∴，故选：A；【点睛】本题考查圆内切四边形及四边形的内角和定理，解题的关键是得到．举一反三1（21·22上·南京·期中）如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，若∠BOC＝118°，则∠AOD＝．【答案】62°【分析】先根据切线长定理得到∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD，∠3＝∠ADC，∠4＝∠BAD，再利用三角形内角和计算出∠1+∠2＝62°，则∠ABC+∠BCD＝124°，然后利用四边形内角和得出∠BAD+∠ADC＝236°，再求∠3+∠4＝118°即可．【详解】解：∵圆O是四边形ABCD的内切圆，∴OA平分ABC，OC平分∠BCD，OD平分∠ADC，OA平分∠BAD，∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD，∠3＝∠ADC，∠4＝∠BAD，∵∠1+∠2＝180°﹣∠BOC＝180°﹣118°＝62°，∴∠ABC+∠BCD＝2（∠1+∠2）＝2×62°＝124°，∵∠BAD+∠ADC＝360°﹣（∠ABC+∠BCD）＝360°﹣124°＝236°，∴∠3+∠4＝（∠BAD+∠ADC）＝×236°＝118°，∴∠AOD＝180°﹣（∠3+∠4）＝180°﹣118°＝62°．故答案为：62°．【点睛】本题考查了四边形的内切圆．切线的性质和切线长定理，三角形内角和，掌握四边形的内切圆性质．切线的性质和切线长定理，三角形内角和是解题关键．举一反三2（20·21下·苏州·中考真题）如图①，甲，乙都是高为6米的长方体容器，容器甲的底面是正方形，容器乙的底面是矩形．如图②，已知正方形与矩形满足如下条件：正方形外切于一个半径为5米的圆，矩形内接于这个圆，．（1）求容器甲，乙的容积分别为多少立方米？（2）现在我们分别向容器甲，乙同时持续注水（注水前两个容器是空的），一开始注水流量均为25立方米/小时，4小时后．把容器甲的注水流量增加立方米/小时，同时保持容器乙的注水流量不变，继续注水2小时后，把容器甲的注水流量再一次增加50立方米/小时，同时容器乙的注水流量仍旧保持不变．直到两个容器的水位高度相同，停止注水．在整个注水过程中，当注水时间为时，我们把容器甲的水位高度记为，容器乙的水位高度记为，设，已知（米）关于注水时间（小时）的函数图像如图③所示，其中平行于横轴．根据图中所给信息，解决下列问题：①求的值；②求图③中线段所在直线的解析式．【答案】（1）甲600立方米，乙240立方米；（2）①；②．【分析】（1）根据题意画出图形即可直接得出正方形的边长，即可求出容器甲的容积；连接，由圆周角定理的推论可知为直径，即，再在中，根据勾股定理即可求出EF和EH的长，即可求出容器乙的容积．（2）根据题意可求出容器甲的底面积为平方米，容器乙的底面积为平方米．①当时，根据题意即可求出此时的值，即得出M点坐标．由平行于横轴，即得出N点坐标，即6小时后高度差仍为米，由此即可列出关于a的等式，解出a即可．②设注水b小时后，，根据题意可列出关于b的等式，解出b即得到P点坐标．设线段所在直线的解析式为，利用待定系数法即可求出其解析式．【详解】（1）由图知，正方形的边长，∴容器甲的容积为立方米．如图，连接，∵，∴为直径．在中，，，根据勾股定理，得，，∴容器乙的容积为立方米．（2）根据题意可求出容器甲的底面积为平方米，容器乙的底面积为平方米．①当时，．∵平行于横轴，∴，．由上述结果，知6小时后高度差仍为1.5米，∴．解得．②设注水b小时后，，则有．解得，即．设线段所在直线的解析式为，∵、在直线上，∴，解得：．∴线段所在直线的解析式为．【点睛】本题考查圆的内接和外切四边形的性质，圆周角定理，勾股定理以及一次函数的实际应用．根据题意画出图形求出两个容器的各边长和理解题意找出等量关系是解答本题的关键．题型16三角形内心有关应用例16（23·24上·无锡·期中）如图，在中，且，点P为的内心，点O为边中点，将绕点B顺时针旋转得到线段，连接，则长的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】在的下方作等腰，使得．连接，过点K作交的延长线于点T．判断出点P的运动轨迹，求出，可得结论．【详解】解：在的下方作等腰，使得．连接，过点K作交的延长线于点T．∵点P是的内心，，∴，∴，∴，∴点P在以K为圆心，为半径的圆上运动，∵，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴的最小值为．故选：C．【点睛】本题考查三角形的内心，勾股定理，旋转变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．举一反三1（22·23下·衡水·期中）如图，在中，，点是的内心，(1)=；(2)若的延长线与的外角的平分线交于点，当时，．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据三角形内角和求出，根据、分别平分、，得出，，根据求出结果即可；（2）根据角平分线的性质求出，根据当时，，得出此时，求出．【详解】（1）解：∵在中，，∴，∵点是的内心，∴、分别平分、，∴，，∴；故答案为：；（2）解：∵是的外角，∴，∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∵当时，，∴此时，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了内心的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形的内心为三角形三个内角平分线的交点．举一反三2（23·24上·南京·阶段练习）如图，I为内一点，的延长线交的外接圆于点D．若，．求证：I为的内心．【答案】见解析【分析】由，可得，，即平分，如图，连接，由，可得，由是的一个外角，可得，由，可得，即平分，进而结论得证．【详解】证明：∵，∴，，即平分，如图，连接，∵，∴．∵是的一个外角，∴，∵，∴，即平分，∴为的内心．【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，角平分线，三角形外角的性质，等边对等角，内心．解题的关键在于熟练掌握：三角形的内心为三角形角平分线的交点．题型17一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系例17（21·22下·武汉·阶段练习）如图，在中，，于，为的内切圆，设的半径为，的长为，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角形内切圆的特点作出圆心和三条半径，分别表示出的面积，利用面积相等即可解决问题．【详解】解：如图所示：为中、、的角平分线交点，过点分别作垂线交、、于点、、，，，，的长为，，，，，故选：A．【点睛】本题考查了三角形内切圆的相关性质，本题掌握三角形内切圆的性质，根据已知条件利用三角形面积相等推出关系式是解题关键．举一反三1（22·23下·梅州·开学考试）若四边形的对角线，相交于，，，，的周长相等，且，，的内切圆半径分别为，，，则的内切圆半径是（）A． B． C． D．以上答案均不正确【答案】A【分析】设的内切圆半径为，，，，的周长为L，分别表示出四个三角形的面积，再根据由等高三角形面积之比等于对应的底之比可得，进而可得，由此列出方程，即可解出．【详解】解：设的内切圆半径为，，，，的周长为L，如图，是的内切圆，切点分别为，，，则，由切线长定理可知：，，，，，，，，，，∴，同理：，，，由等高三角形面积之比等于对应的底之比可得：，∴，∴，∴．故选：A．【点睛】本题主要考查了三角的内切圆与内心性质、等高三角形面积之比等于对应的底之比的应用．知道三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半、等高三角形面积之比等于对应的底之比是解答本题的关键．举一反三2（22·23上·襄阳·自主招生）圆内切于正三角形，半径为R，圆与圆及，均相切，圆的半径为r，则等于（

）A．4 B．2 C．3 D．5【答案】C【分析】设圆、圆分别与相切于点，圆与相切于点，连接，，，，，，求出，根据三角形内切圆的性质可得，，且点在一条直线上，从而可得，由此即可得．【详解】解：如图，设圆、圆分别与相切于点，圆与相切于点，连接，，，，，，∵圆与圆相切，圆的半径为，圆的半径为，，圆内切于正三角形，，，，平分，，，∵圆与，均相切，，，是的角平分线，，且点在一条直线上，，即，解得，则，故选：C．【点睛】本题考查了三角形内切圆的性质、角平分线的判定定理、等边三角形的性质、圆与圆的位置关系，熟练掌握三角形内切圆的性质是解题关键．题型18三角形内切圆与外接圆综合例18（22·23九年级下·河北承德·阶段练习）两直角边的长分别为和，则其内心与外心的距离为（）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】先根据题意画出图形，的内心是三角形角平分线的交点，外心是斜边的中点，求出，根据面积法求出，进而得出，可得，根据勾股定理即可得出答案．【详解】解：如图所示：的内心是三角形角平分线的交点，外心是斜边的中点，设，，∴，∵的内心是三角形角平分线的交点，外心是斜边的中点，∴，，根据三角形的面积可得：，∴，即，∴，∴，∴，∴，∴内心与外心的距离为，故选：D．【点睛】本题考查三角形的内心与外心，勾股定理，得出三角形的内心与外心的位置是解题的关键．举一反三1（21·22九年级上·云南红河·期末）已知的内切圆半径，、、为切点，，，，则．【答案】5【分析】连接、、、、、，根据题意得到，即，进而得出，即可求解．【详解】解：如图，连接、、、、、，∵的内切圆半径，、、为切点，，

，

，

，，

，

，

，，即，，故答案为：5．【点睛】本题考查圆的外接三角形，等腰三角形的性质，圆的切线定理，准确作出辅助线是解题的关键．举一反三2（2022·河北衡水·模拟预测）如图，已知在中，，，，点是的内心．（1）点到边的距离为；（2）是的外心，连接，则的长为．【答案】2【分析】（1）连接，，，过点分别作，，于点，，，根据，，可得，即可解决问题；（2）连接，证明，可得，再利用勾股定理即可解决问题．【详解】解：（1）如图，连接，，，过点分别作，，于点，，，在中，，，，，是的内心，，，，，点到边的距离为2；故答案为：2；（2）如图，连接，由1.知，，，，四边形是正方形，，，，在和中，，（AAS），，是的外心，，，在中，根据勾股定理得：．故答案为：；．【点睛】本题考查了三角形内切圆与内心，三角形外接圆与外心，三角形的全等的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握内心和外心的区别．题型19圆和圆的位置关系例19（22·23上·红河·期末）如图所示，点在直线上，的半径为的半径为以每秒的速度从A点运动到点，当点A出发后秒两圆相切．【答案】4或5【分析】设点A出发后t秒两圆相切，①当两圆外切时，则，②当两圆内切时，则，进行计算即可得．【详解】解：设点A出发后t秒两圆相切，①当两圆外切时，如图（1）所示，则，，，②当两圆内切时，如图（2）所示，则，，，综上，当点A出发后4秒或5秒两圆相切，故答案为：4或5．【点睛】本题考查了两圆相切时，两圆的半径与圆心距的关系，解题的关键是掌握两圆相切时，两圆的半径与圆心距的关系，分类讨论．举一反三1（22·23下·深圳·自主招生）如图，已知半的半径为60，半圆内两个小半圆的半径均为30，与三圆均相切，则的半径为．【答案】20【分析】设的半径为r，连接，，再利用勾股定理可得，再解方程即可．【详解】解：设的半径为r，连接，，则，，在中，由勾股定理，得，解得．故答案为：20【点睛】本题考查的是两圆相切的性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．举一反三2（23·24上·南通·开学考试）若与的半径分别分、，圆心距，则两圆的位置关系是．【答案】内含【分析】根据圆心距与半径之间的数量关系可知．【详解】∵与的半径分别分、，圆心距，∴，∴两圆的位置关系是内含，如图，故答案为：内含．【点睛】本题考查两个圆的位置关系，根据圆心距与半径之间的数量关系判断是关键．设两个圆半径分别为R、r，圆心距为d，当时，两圆相离；当时，两圆外切；当时，两圆相交；当时，两圆内切；当时，两圆内含．题型20圆的综合问题例20（23·24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图1，BC为的直径，点A为弧BC的中点，连接AB，AC，(1)求的度数；(2)如图2，点D在弧AB上，连接AD、BD，连接CD交AB于点E，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，在CA上截取，过点F作于点G，FG的延长线交于点H，连接OG、CH，若，，求AD的长．【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】（1）根据圆心角及其所对弧、弦之间的关系，在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等，即可得到，再根据直径所对的圆周角是直角，可得所对的圆周角，得到是等腰直角三角形，即可得出结论；（2）如图2，连接，，过点作于点，过点作于点，则四边形为矩形，得到，，由为直径，得到为直角三角形，根据股股定理得，设，则，圆的半径为，则，根据三角形面积公式可得，即可得到，由图可得，再由勾股定理得，，可证得，由此可得，两边开平方即可得出结论；（3）如图，过点作于点，连接，作的延长线交于点，连接，先证明，再证明，由，，可证得，得到，，然后证得，再由，即可证得，得到，，再证得是等腰直角三角形，即可求出，过点作于点，则所在的直线垂直平分，由轴对称性质可得，即可得到，进而证得，设，则，，，根据勾股定理得，代入解得，即可求出．【详解】（1）解：点为弧的中点，，，又为直径，，为等腰直角三角形，．（2）证明：如图，连接，，过点作于点，过点作于点，，，，，四边形为矩形，，，为直径，，，设，则，圆的半径为，则，，，，，，，，，点在弧上，，，，．（3）解：如图，过点作于点，连接，作的延长线交于点，，，，，，，即为等腰直角三角形，，，，，又，，，，，，，，，，即在和中，，，，，，，，，过点作于点，则所在的直线垂直平分，关于所在的直线对称，，，，交于点，交于点，点，点关于所在直线对称，与关于所在直线对称，，在和中，，，，设，则，，，，，，解得，(舍去)，为等腰直角三角形，．【点睛】本题综合考查了圆的性质，垂径定理及推论，圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握圆的相关性质、定理及推论，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质是解题关键．举一反三1（2022·湖南长沙·三模）如图，在中，，是的直径，交于点D，过点D的直线交于点E，交的延长线于点P，是的切线．(1)求的度数；(2)若，，求图1中阴影部分的周长；(3)如图2，若，连接，交于点N，若，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据直径所对的圆周角为直角进行解答即可；（2）证明是等边三角形，可得，再由弧的长度，在中，求出，，则阴影部分的周长为；（3）连接，，过作于点，利用同弧所对的圆周角相等，得到，设，则，求出，由得：，证明，得出，即可求出．【详解】（1）解：∵是的直径，∴，∴．（2）解：连接，如图所示：∵，∴，∵是的切线，∴，∴，，又∵，∴，∴，∴，∴是等边三角形．∴，∴弧的长度，在中，，，∴，∴，∴阴影部分的周长为：．（3）解：连接，，过作于点，如图所示：∵，∴设，则，，由得：，∵，，∴，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆的性质，切线的性质，弧长公式，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，三角形相似的判定及性质，平行线的性质是解题的关键．举一反三2（23·24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图1，在矩形中，，，点以的速度从点向点运动，点以的速度从点向点运动．点、同时出发，运动时间为秒（），是的外接圆．(1)当时，的半径是______，与直线的位置关系是______；(2)在点从点向点运动过程中，当与矩形边相切时，求的值．(3)连接，交于点，如图2，当时，的值是______．【答案】(1)，相离；(2)或；(3)【分析】（1）先求出的长，根据勾股定理可得的长，根据直角三角形的外接圆直径是斜边即可求解；（2）如图3，根据切线的性质作辅助线，则，由列方程即可求解；（3）如图4，作辅助线，构建全等三角形，证明，最后根据勾股定理列方程即可求解．【详解】（1）如图1，过作于，交于，四边形是矩形，，∥，的直径是，，当时，，，，，，，，的半径为，∥，是的中点，，是的中位线，，，与直线的位置关系是相离；故答案为：，相离；（2）如图2，当与相切时，设切点为，连接并延长交于，则，，则，，，，中，，，，解得：；当与相切时，设切点为，连接并延长交于，则，，则，，，，，，解得：；综上所述：当与矩形相切时或；（3）如图4，过作，交的延长线于点，连接，，，，，，，，，，，，，，，解得：（舍），．故答案为：．【点睛】本题考查了圆的综合题，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理，添加恰当辅助线是本关键．题型21过圆外一点作圆的切线（尺作图）例21（22·23上·常州·期中）（1）如图1，在中，是边上的中线，，以为圆心，为半径作，求证：是的切线；（）如图，已知是外一点，过点作的一条切线．（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据题意，可得，进而根据三角形内角和定理证明，即可得证；（2）根据（1）的结论，以为直径作圆，交于点，那么直线是的切线．【详解】（1）∵在中，是边上的中线，，∴，∴又∵∴∴又∵是的半径∴是的切线；（2）如图所示，以为直径作圆，交于点，则直线是的切线．【点睛】本题考查了切线的判定，作切线，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．举一反三1（22·23上·龙岩·阶段练习）（1）已知：如图，求作内切圆．（2）已知：如图，过点P求作的切线．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）圆心到各边的距离相等，所以要作各内角的角平分线的焦点，交点就是内切圆的圆心，圆的半径是圆心到各边的距离．（2）利用直径上的圆周角是直角，构造直角，利用切线的定义判断即可．【详解】（1）解：作图如下：步骤：第一步：作的角平分线，以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交、于点和点，再分别以点和点为圆心，以大于的长为相同半径分别画弧使其相交于点P，连接；第二步：作的角平分线，以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别、于点和点，再分别以点和点为圆心，以大于长为相同半径分别画弧使其相交于点，连接；第三步：确定圆心．和的交点就是内切圆的圆心；第四步：确定半径．过点圆心作的垂线，垂足为点，以点为圆心，以大于的长为半径画弧，交于点和点，再分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，使其相交于点，连接，交于点，点就是垂直于的垂足．第五步：连接，以点为圆心，以的长为半径画圆，即为所求．（2）如图，直线即为所求作．步骤：第一步：连接，作的垂直平分线l，交于点A；第二步：以A为圆心，为半径作圆，交于点M；第三步：作直线，则直线即为的切线．【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆的尺规作图法，明确内切圆圆心是三角形各内角角平分线的交点是解决本题的关键．也考查了圆的切线判定，基本作图，切线的定义．举一反三2（22·23下·福州·模拟预测）如图，点P是外一点，连接交于点．(1)过点P作的两条切线，，切点分别为A，B（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）的条件下，连接，求证：点I是的内心．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）先作的垂直平分线，交于一点，再以这个点为圆心，以该点到O点的距离为半径画弧线交于点A，B，连接，即可；（2）先证明，得到，从而证得平分，进一步得到垂直平分，再证明，最后根据证得，得到平分，即可证得点I是的内心．【详解】（1）解：如图所示，，圆为所求作的的两条切线，其中切点分别为A，B．（2）证：连接，记与的交点为D．由（1）得都是的切线，切点分别为A，B，∴，∴．∴．∵，∴，∴，即平分，∴点O，P在线段的垂直平分线上，即垂直平分．∴，∴，∴．∵，∴，即，∴，即平分，∴点I是的内心．【点睛】本题考查尺规作图、圆的切线的性质和三角形内心的判定，解题的关键是熟练掌握相关知识．一、单选题一、单选题1．（22·23上·咸宁·期末）如图，点A是上一定点，点B是上一动点、连接、、、分别将线段、绕点A顺时针旋转到，，连接，，，，下列结论正确的有（）①点在上；②；③；④当时，与相切．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】A【分析】可证得和是等边三角形，可推出，从而得出①正确；根据“边角边”可证得②；根据②可推出，进一步得出③正确；作，可推出，进而得出，结合可推出点C和点B重合，进而得出④正确，从而得出结果．【详解】解：，，是等边三角形，同理可得，是等边三角形，①是等边三角形，，∴点在上，故①正确，，，在和中，，故②正确，③由②知，，，，，，是等边三角形，，，，，故③正确，④如图，过点O作于C，是等边三角形，，，，垂直平分，∴，，，和重合，，是的切线，故④正确，综上所述：①②③④均正确，故选：A．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．2．（22·23上·济宁·期末）如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，，，则阴影部分（即四边形）的面积是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再利用正方形的判定确定四边形是正方形，进而利用圆的切线性质可知线段的关系，进而求出阴影部分的面积．【详解】解：∵，，，∴，∴为直角三角形，，∵与分别相切于点、，∴，，，∴四边形是正方形，设，则，∵的内切圆与、、分别相切于点、、，∴，，∴，∴，∴阴影部分的面积是：，故选：D．【点睛】本题考查了三角形的内切圆和内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等，三角形的内心到顶点的连线平分这个内角；勾股定理的逆定理和切线性质等相关知识点．熟练运用知识点是解决问题的关键．3．（22·23上·邯郸·期末）如图，是的直径，，点在上，，为弧的中点，是直径上一动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如图所示，作点关于的对称点，连接，交于于点，此时的值最小，即，连接，根据点在上，，为弧的中点，可得，根据圆