控制工程基础 第二章 自动控制系统的数学模型

1第二章自动控制系统的数学模型2

本章的主要内容

控制系统微分方程的建立拉氏变换与反变换控制系统的传递函数控制系统的结构图-等效变换控制系统的信号流图-梅逊公式3概述

对由微分方程描述的动态数学模型，若已知输入量和变量的初始条件，对微分方程求解，就可以得到输出量的时域表达式，据此可对系统进行分析。所以建立控制系统的数学模型是对系统进行分析和设计的首要工作。概述

在控制系统的分析和设计中，首先要建立系统的数学模型。

1、定义：控制系统的数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式。

2、数学模型分类：在静态条件下(即变量各阶导数为零)，描述变量之间关系的代数方程叫静态数学模型；而描述变量各阶导数之间关系的微分方程叫动态数学模型，控制理论研究的是动态数学模型。

常用的数学模型有微分方程，传递函数，结构图，信号流图，频率特性以及状态空间描述等。4概述3、建模方法：建立控制系统数学模型的方法有分析法(解析法，又称机理建模法)和实验法(又称系统辨识)

。

（1）分析法是根据组成系统各元件工作过程中所遵循的物理定理来进行。例如：电路中的基尔霍夫电路定理，力学中的牛顿定理，热力学中的热力学定理等。

（2）实验法是根据元件或系统对某些典型输入信号的响应或其他实验数据建立数学模型。当元件或系统比较复杂，其运动特性很难用几个简单的数学方程表示时，实验法就显得非常重要了。

注意：无论是用分析法还是用实验法建立模型，都存在模型精度和复杂性之间的矛盾。即描述系统运动特性的数学模型越精确，则方程的阶次越高，对系统的分析与设计越困难。所以，在控制工程上总是在满足分析精度要求的前提下，尽量使数学模型简单，为此在建立数学模型时常做许多假设和简化，最后得到的是有一定精度的近似模型。5[线性系统]：用线性数学模型来描述，满足叠加性（叠加原理）与齐次性。

叠加性指当几个激励信号同时作用于系统时，总的输出响应等于每个激励单独作用所产生的响应之和。

齐次性指当输入信号乘以某常数时，响应也倍乘相同的常数。

概述

4、线性和非线性系统：控制系统如按照数学模型分类的话，可以分为线性和非线性系统。[非线性系统]：不满足叠加性或齐次性，用非线性数学模型方程表示。即若为线性系统，则6

线性系统微分方程的规范化形式

x—系统输入，y—系统输出7

经典控制理论中采用的是单输入单输出描述方法，主要是针对线性定常系统。

非线性系统的一些例子：概述8第一节控制系统的微分方程9一、线性系统微分方程的建立1、建立微分方程的一般步骤：

（1）确定系统和各元部件的输入量和输出量。

（2）对系统中每一个元件列写出与其输入、输出量有关的物理方程。

（3）对上述方程进行适当的简化，例如，略去一些对系统影响小的次要因素，对非线性元部件进行线性化等。

（4）在所有元部件的方程中消去中间变量，最后得到描述系统输入和输出关系的微分方程。线性系统微分方程的编写步骤

（5）在列系统微分方程时，习惯上将系统的输出变量放在方程式的左边，输入变量放在方程式的右边，且各阶导数项按降幂排列。10电阻、电容、电感元件的基本公式：电阻：电容：电感：112、应用举例解：设回路电流i1、i2，根据基尔霍夫定律，列写方程如下：①②③④⑤[例2-1]：写出右图所示RC电路的微分方程。其中U1为输入量，U2为输出量。12

由④、⑤得由②导出将③代入①，然后将i1、i2代入，则得①②③④⑤13这就是RC组成的网络的数学模型，是一个二阶线性微分方程。14这是一个线性定常二阶微分方程。控制系统的微分方程①②[解]：据基尔霍夫电路定理：[例2-2]：写出RLC串联电路的微分方程。P13由②：，代入①得：这是所谓时间常数形式的微分方程。15

根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下：mfF图1mF图2这也是一个二阶定常微分方程。x为输出量，F为输入量。在国际单位制中，m、f和k的单位分别为：控制系统的微分方程[例2-3]求弹簧-质量-阻尼器的机械位移系统的微分方程。设输入量为外力F，输出量为位移x。[解]：图1和图2分别为系统原理结构图和质量块受力分析图。图中，m为质量，f为粘性阻尼系数，k为弹性系数。Fkxdtdxfdtxdm=++22kxdtdxfFdtxdm--=22整理得：16控制系统的微分方程[例2-4]机械转动系统的微分方程。设外加转矩M为输入量，转角θ为输出量。[解]：对于转动物体，可用转动惯量代表惯性负载。根据机械转动系统的牛顿定理可列出微分方程：

式中f和k分别为旋转时的粘性阻尼系数和扭转弹性系数。此式与机械位移系统的方程形式上是一样的。

若方程中忽略扭转弹性系数的影响，方程为

若令则方程为

若再忽略粘滞阻尼系数，方程为整理得17关于粘性阻尼系数f

单位的说明：

粘性阻尼力与物体的相对运动速度成正比。直线运动：力直线速度F/VNm/s(Ns/m)

旋转运动：力矩旋转角速度T/ω

Nmrad/s18[例2-5]电枢控制式直流电动机

这里输入是电枢电压ua和等效到电机转轴上的负载转矩Mc，输出是转速w

电枢回路方程为

其中ea

为反电势此时激磁电流为常数，所以Ce称为电动机电势常数。

Cm称为电动机转矩常数，再根据牛顿定律可得机械转动方程电机通电后产生转矩：控制系统的微分方程19其中和分别称为电磁时间常数和机电时间常数消去中间变量ea、ia和m后，经整理得：分别是转速与电压传递系数和转速与负载和传递系数。这里已略去摩擦力和扭转弹性力。控制系统的微分方程也可写为20这是一个线性定常二阶微分方程(两个输入)。从数学的角度可以分别考虑单独输入的影响。如当mc=0时，方程为该方程称为空载模型。若再假设电枢电感很小则这是一个一阶微分方程。若Ra和J都可忽略，则Tm=0,于是这说明电机转速与电枢电压成正比，当不考虑电枢电阻和电感时，电枢电压将与反电势表达式相同。控制系统的微分方程21微分方程的增量化表示上式中若电机处于平衡状态，各变量的各阶导数为零，则这表示电机处于平衡状态下输入量和输出量之间的关系，称为静态模型。当mc=常数时，称为控制特性，反映了电枢电压由ua1变到ua2后经过一段时间，转速将从w1变到w2。若用ua0、mc0和w0表示平衡状态下ua、mc和w的数值,则(a)式写为22令代入考虑到可得此式称为增量化方程设mc=常数，即Dmc=0，则设ua=常数，即Dua=0，则23[需要讨论的几个问题]：1、相似系统和相似量：

我们注意到例2-2和例2-3的微分方程形式是完全一样的。若令（电荷），则例2-2①式的结果变为：可见，同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类型的系统也可以有相同形式的数学模型。相似系统和相似量[定义]具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统。例2-2和例2-3称为力-电荷相似系统，在此系统中分别与为相似量。[作用]利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模拟相对复杂的系统，实现仿真研究。24

二、非线性元件（环节）微分方程的线性化（P56）

在经典控制领域，主要研究的是线性定常控制系统。线性定常系统最重要的特性便是可以应用线性叠加原理，即系统的总输出可以由若干个输入引起的输出叠加得到。从严格意义上讲，绝大多数系统的数学模型都不是线性模型（即系统并非是线性系统）。事实上，任何一个元件总是存在一定程度的非线性，即使假设具有线性的特性，也是局限在一定的范围内。若描述系统的数学模型是非线性（微分）方程，则相应的系统称为非线性系统，这种系统不能用线性叠加原理。

非线性环节微分方程的线性化25

在经典控制领域对非线性环节的处理能力是很小的。但在工程应用中，除了含有强非线性环节或系统参数随时间变化较大的情况，一般采用近似的线性化方法。对于非线性方程，可在工作点附近用泰勒级数展开，取前面的线性项，可以得到近似线性模型。(p57)非线性环节微分方程的线性化AByx0

设具有连续变化的非线性函数

y=f(x)如右图所示。

若取某一平衡状态为工作点，如图中的A(x0,y0)。A点附近有点为B

(x0+Dx,y0+Dy)，当Dx很小时，AB段可近似看做是线性的。26AByx0设f(x)在点连续可微，则将函数在该点展开为泰勒级数，得：非线性环节微分方程的线性化若很小，则，即式中，K为与工作点有关的常数，显然，上式是线性方程，是非线性方程的线性表示。为了保证近似的精度，只能在工作点附近展开。27

对于具有两个自变量的非线性方程，也可以在静态工作点附近展开。设双变量非线性方程为：，工作点为。则可近似为：式中：，。 为与工作点有关的常数。[注意]：

⑴上述非线性环节不是指典型的非线性特性(如间隙、库仑干摩擦、饱和特性等)，它是可以用泰勒级数展开的。⑵实际的工作情况在工作点附近。⑶变量的变化必须是小范围的。其近似程度与工作点附近的非线性情况及变量变化范围有关。非线性环节微分方程的线性化28[例2-6]

如图所示，qi

为输入流量，q0为输出流量，H(t)为水位高度，A为水箱截面积，求以qi为输入，以H(t)为输出的水位波动微分方程。解：根据流体连续方程，可得：（1）

根据托里拆利定理，流体的流出量与流体高度的平方根成正比，比例系数为a，它表示阀门的流通能力。则（2）29将（2）式代入（1）式，得

这是一个一阶非线性微分方程。

现在对它进行线性化，导出液位系统的线性化微分方程。（3）

在稳定工作状态，设qi0为流入箱体的流量，qo0为流出的流量，而H0为箱内稳态液位高度。系统的静态方程为把式（3）中的非线性项

展开成泰勒级数，则为30略去高于一次小增量

的项，则有式（3）中的变量用平衡工作点的值加增量表示，则为

（4）（3）31注意到

将以上二式代入（4）式，所以

这就是液位系统的线性化增量微分方程。在实际使用中，常略去增量符号而写成但必须明确，

均为平衡工作点的增量。以及

（静态方程）32本节小结数学模型，分类，建立的方法；线性系统微分方程的列写方法；相似量、相似系统；非线性环节的线性化方法。33

线性方程的求解：

研究控制系统在一定的输入作用下，输出量的变化情况，方法有经典法、拉氏变换法和数字求解。在自动控制理论中主要使用拉氏变换法。34第二节拉普拉斯变换与反变换P15

拉普拉斯(Laplace)变换是描述和分析连续、线性、时不变系统的重要工具！拉氏变换建立了时域和复域间的联系。用拉普拉斯变换研究线性定常系统的优点：求解高阶线性定常微分方程时，可以将时域中的微分、积分运算变换成复域中的代数运算，且在变换过程中自然将初始条件考虑在内。更重要的是，采用了拉氏变换，能够把描述系统运动状态的微分方程方便地转换为系统的传递函数。35一、拉普拉斯变换(LaplaceTransform)1、拉普拉斯变换的定义：p15

设函数f(t)

若满足：（1）当

t<0

时，f(t)=0（2）当t≥0

时，实函数f(t)

的积分在s的某一域内收敛，则定义f(t)

的拉普拉斯变换为:36

并记作：

其中s为拉氏算子，是一复数,s=σ+jωF(s)称为f(t)

的像函数；

f(t)

称为F(s)的原函数。37相关数学知识的复习复数的三种表示式：

代数式A=a+jb

三角式

A=r(cosΦ+jsinΦ)

指数式A=rejΦ

相互关系：

r=|A|—A的模Φ

—A的幅角38欧拉公式：392、常用函数的拉氏变换式p16单位阶跃：40指数函数：41正弦函数：42余弦函数

t的幂函数

当n=1时（单位斜坡函数），43脉动信号的数学表达式为:

单位脉冲信号如右图所示。

当R=1、信号的宽度ε→0时,称为单位脉冲信号,用表示，其面积为:和

单位脉冲函数1)(=ò¥¥-dttd

其它函数可以查阅p369

拉氏变换对照表。44

[证明题]证明

的拉氏变换

证：

453.拉氏变换的主要运算定理(p18)（1）叠加定理

两个函数之和的拉氏变换等于两个函数的拉氏变换式之和，即若

则

或写成46（2）比例（齐次性）定理

若则47（3）微分定理

若则一般情况下：

初始条件=0时

48（4）积分定理

若

则

对于n重积分，当初始条件=0时

49（5）延迟定理

若，则该定理说明如果时域函数平移，则相当于复域中的像函数乘以。50（6）终值定理

若函数f(t)

及其一阶导数都是可拉氏变换的，则f(t)

的终值为因此，利用F(s)终值定理可以从像函数直接求出原函数f(t)

在t→∞

时的稳态值。说明f(t)

的稳态性质同sF(s)

在s=0的临域内的性质一样。51（7）初值定理若函数f(t)

及其一阶导数都是可拉氏变换的，则f(t)

的初值为证明从略。52二、拉普拉斯反变换

Laplace反变换定义：

记为：

53

拉式变换和反变换是一一对应的，所以通常可以通过查表来求取原函数，而不需用上式来计算。当求复杂象函数的原函数时，常用部分分式法将复杂象函数F(s)展成若干简单象函数之和，然后查拉式反变换表。54

在一般的机电控制系统中，通常遇到如下形式的有理分式其中m和n都是非负的整数，n≥m

，a0

~an

及b0~bn

都是实数。

使分母为零的s值称为极点，使分子为零的s值称为零点。因此，上式又可以写成以下形式：（1）55式中，p1—pn

为A(s)的n个根，即方程A(s)=0的根，称为F(s)的极点（因为当s=pi时F(s)

的分母为零）。A(s)=0称为F(s)的特征方程，P22说明。（2）根据根的性质不同，分以下几种情况来讨论：561、F(s)有不相同的极点（A(s)=0没有重根）

将（2）式用部分分式展开为：

（3）式中ai值为待定系数，称为F(s)在极点pi处的留数。ai值可用(s-pi)

乘以方程式(3)的两边，并在方程式两边取s→pi的极限求出，即57例如求系数a1

：（2）思考：上式右侧取sp的极限后是否为零？58

注意到（见拉氏变换表）

于是得到如下形式：（4）59拉氏反变换步骤1、对微分方程进行拉氏变换，列出输出量的拉氏变换表达式；

2、令A(s)=0,求出p1—pn；

3、求出系数a1

—an；

4、将a1—an、

p1—pn

带入（4）式，求出f(t)。（4）60[例1]：求典型一阶系统的单位阶跃响应。

式中r(t)为输入信号，c(t)为输出信号，T为时间常数，假设初始条件为零。设典型一阶系统的微分方程为：解：对微分方程两边进行拉氏变换有：将代入上式,经整理得：两个根为

p1=0,p2=-1/T。61求解

a1,a2经拉氏反变换后得：通过原点的斜率为1/T。62[例2]：求的拉氏反变换。

解：

p1=-1；

p2=-2

求a1和a2

于是63[例3]：求的拉氏反变换。

解：

p1=-2；

p2=-3

求a1和a2

于是64解法二：等式两侧去分母，得

（2）

上式为恒等式，等式两侧s的系数和常数分别相等，从而可求出a1、a2。也可以在（2）式中代入特殊的s值，求出a1、a2。

652、含共轭复数极点情况解法（1）66式中，是常值，可由以下步骤求得：

将上式两边乘,两边同时令

（或同时令），得

分别令上式两边实部、虚部对应相等，即可求得。

可通过配方，化成正弦、余弦象函

数的形式，然后求其反变换。67【例】试求（1）的拉氏反变换p24例2.3解：用乘以式（1）的两边，并令得：6869查p370拉氏变换表19、20项,有（2）70aabb对照拉氏变换表的19、20项：711/272解法（2）

含共轭复根的情况，也可用第一种情况的方法。值得注意的是，此时共轭复根相应两个分式的分子ak和ak+1是共轭复数，只要求出其中一个值，另一个即可得到。

[例]求的拉氏反变换。73则则有（结果同解法1）74

3、含多重极点的情况

设A(s)=0有r个重根p1，则必然还有n-r个非重根，所以有式中N(s)的待定系数可按无重根的方法求得，ar-a1的求法如下：首先将等式两边同乘以(s-p1)r

，有（1）75然后取s→p1的极限，上式右边含有(s-p1)

的项全部为零，所以有：（2）若将(2)式两边对s求导，并取s→p1的极限，得：以此类推，便可得到其它系数。7677注意到：则对于第一项，有（见p369第10项）78[例2]：求的拉氏反变换。说明求解方法。[例1]：教材p26[例2.5]

79作业P732-32)5)第三节传递函数（TransferFunction）

将上式求拉氏变换，并令初始值为零得：一、传递函数的概念p31式中：x(t)—输入，y(t)—输出为常系数

设系统或元件的微分方程为：

当传递函数和输入已知时Y(s)=G(s)X(s)，通过拉氏反变换即可求出时域表达式

y(t)。

G(s)称为系统或环节的传递函数

传递函数的定义：线性定常系统在零初始条件下输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。二、传递函数的主要性质

1、传递函数的概念适用于线性定常系统，它与线性常系数微分方程一一对应，且与系统的动态特性一一对应。

2、传递函数仅与系统的结构和参数有关，与系统的输入无关。只反映了输入和输出之间的关系，不反映中间变量的关系。

3、传递函数不能反映系统或元件的物理性质。物理性质不同的系统可能具有完全相同的传递函数。而研究某传递函数所得结论可适用于具有这种传递函数的各种系统。83

4、传递函数的概念主要适用于单输入单输出系统。若系统有多个输入信号，在求传递函数时，除了一个有关的输入外，其它的输入量一概视为零。

5、传递函数是s的有理分式，n≥m，其分母多项式即为系统的特征方程式，它的最高阶次就是系统的阶数。特征方程决定系统的稳定性。

名词：系统的特征方程、特征根；传递函数的零点、极点；零极点分布图。P33[例1]

求电枢控制式直流电动机的传递函数。[解]已知电枢控制式直流电动机的微分方程为：方程两边求拉氏变换为：令，得转速对电枢电压的传递函数：令，得转速对负载力矩的传递函数：最后利用叠加原理得转速表示为：[例2]求下图的传递函数。解：小结：1）传递函数是线性定常系统在复频域里的数学模型，其与微分方程一样，包含了系统有关动态方面的信息。2）传递函数是在零初始条件下定义的，当初始条件不为零时，传递函数不能反映系统的全部特点。3）传递函数反映的是系统本身的一种属性，其各项系数完全取决于系统本身的结构与参数，与输入量的大小和性质无关。4）传递函数不提供有关系统物理结构的任何信息，许多物理上完全不同的系统，可以具有相同的传递函数。

87比例环节五、典型环节及其传递函数P33

典型环节有比例、积分、惯性、振荡、微分和延迟环节等多种。以下分别讨论典型环节的时域特征和复域（s域）特征。时域特征包括微分方程和单位阶跃输入下的输出响应。s域特性研究系统的零极点分布。（一）比例环节：时域方程：传递函数：

K为放大/增益系数。比例环节又称为放大环节、无惯性环节。实例：分压器，放大器，无间隙无变形齿轮传动等。比例环节特点：能立即成比例地响应输入量的变化。881、运算放大器常用运放：LM324，LM358OP07，76502、液压油缸，流量q为输入、活塞杆速度v为输出。举例说明：89积分环节（二）积分环节：积分环节的单位阶跃响应：时域方程：传递函数：K表示比例系数，T称为时间常数。0S平面j0积分环节有一个0值极点。在零极点分布图中，极点用“”表示，零点用“”表示。特点：1）具有记忆功能；2）具有明显的滞后作用。90积分环节实例图中，为转角，为角速度。可见，为比例环节， 为积分环节。②电动机（忽略转动惯量、电枢电阻和电感及粘性摩擦等）齿轮组积分环节实例：①RC-+③

对于油缸，以流量q为输入，活塞杆位移y为输出，也是积分环节。91（三）惯性环节时域方程：传递函数：当输入为单位阶跃函数时,有，可解得： ，式中：K为放大系数，T为时间常数。惯性环节当K=1、输入为单位阶跃函数时,时域响应曲线和零极点分布图如下：通过原点的斜率为1/T，且只有一个极点（-1/T）。jRe0S平面92单位阶跃响应的求解：

可见，y(t)是非周期单调上升的，所以惯性环节又叫作非周期环节。惯性环节的单位阶跃响应

惯性环节的特点：输入量突变时，输出量不能发生突变，只能按指数规律变化。93①R2C-+R1R②C三个实例：惯性环节实例③

液压缸与弹簧和阻尼器组成的环节。P37图2.17

结论：通过以上各例可知，一个储能元件和一个耗能元件的组合，就能构成一个惯性环节。94微分环节（四）微分环节：输出量与输入量的变化率成正比的环节称之。微分环节的时域形式有三种形式：①②③相应的传递函数为：①②③分别称为：纯微分，一阶微分和二阶微分环节。微分环节没有极点，只有零点。分别是零值零点、实数零点和一对共轭复零点（若）。在实际系统中，由于存在惯性，单纯的微分环节是不存在的，一般都是微分环节加惯性环节。95微分环节实例[例1]无源微分电网络。式中：[例2]96

特点：微分环节的输出是输入的导数，即输出反映了输入信号的变化趋势，所以也等于给系统以有关输入变化趋势的预告。因而，微分环节常用来改善控制系统的动态性能。

P3997振荡环节（五）振荡环节：P40时域方程：上述传递函数有两种情况：当时，可分为两个惯性环节相乘。即：传递函数有两个实数极点：传递函数：98振荡环节分析[分析]：y(t)的响应过程是振幅按指数曲线衰减的的正弦运动。与有关。反映系统的阻尼程度，称为阻尼系数，称为无阻尼振荡圆频率。当时，曲线单调上升,无振荡。当时，曲线衰减振荡。越小，振荡越剧烈。若，传递函数有一对共轭复数极点。传函可写成：对单位阶跃输入：单位阶跃响应曲线0极点分布图99解：当时，有一对共轭复数极点。所以：解得：[例]：求质量-弹簧-阻尼系统的和。振荡环节例子100延迟环节（六）延迟环节：又称时滞，时延环节。它的输出是经过一个延迟时间后，完全复现输入信号。如右图所示，其传递函数为：

利用泰勒级数展开，并只取前两项，延迟环节可化简为：x(t)ty(t)t即当τs

很小时，延迟环节可近似为一个惯性环节。延迟环节实例：皮带输送机，液体/气体输送管道101方框图的基本概念第四节

控制系统的方框图及等效变换

控制系统一般由由若干个环节组成，在控制系统中，常常采用方框图来表明每一个环节在系统中的功能、相互之间的作用和负载关系，以及信号流动的情况。将元件、部件和环节的传递函数填入方框中称传递函数方框。标明信号流向，将这些方框有机地连接起来，就构成系统的传递函数方框图。通过方框图可以方面地导出复杂系统的传递函数。X(t)Y(t)电位器[例]：结构：方框图：微分方程：y(t)=kx(t)

X(s)G(s)=KY(s)

（2）信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标记信号的时间函数或象函数。一、控制系统的方框图

控制系统的方框图是系统各元件特性、系统结构和信号流向的图解表示法。1、方框图的基本元素

（1）函数方框（方块

、框图单元）:表示输入到输出单向传输间的函数关系。

（3）比较点（求和点、合成点、综合点）：表示两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件。“+”表示相加，“-”表示相减。“+”号可省略不写。

R(s)+R(s)±X(s)X(s)±

注意:①几个相邻的求和点可以互换、合并、分解，它们都是等效的。

②进行相加减的量，必须具有相同的量纲。

A+B—+C(a)A+B—+C(b)A+B—+C(c)104

(4)

分支点（引出点、测量点）：表示信号测量或引出的位置。注意：同一位置引出的信号大小和性质完全一样。1052、方框图的画法P44

1、列出各环节或元件的微分方程，求拉氏变换。

2、确定该环节的输入/输出量，求传递函数，画出单元框图。

3、确定整个系统的输入/输出，由左向右，按相互作用的顺序，依次画出和连接各个环节的框图。

4、由内向外画出各反馈环节，最后标出各变量。106例1：绘制如图所示RC电路的方框图解：（1）写出组成系统的各环节的微分方程，求拉氏变换。107（2）画出个体方框图108

（3）从相加点入手，由左向右按信号流向依次连接成完整方框图。

109结构图的等效变换二、结构图的等效变换[类型]：①环节的合并：

—串联

—并联

—反馈连接②信号分支点或相加点的移动。[等效原则]：变换前后环节的数学关系保持不变。110（一）环节的合并：有串联、并联和反馈三种形式。

环节的并联：环节的合并

环节的串联：…111

反馈联接：112（二）求和点和分支点的移动和互换：

如果上述三种连接交叉在一起而无法化简，则要考虑移动某些信号的相加点和分支点。①求和点的移动：

把求和点从环节的输入端移到输出端求和点的移动113求和点的移动

把求和点从环节的输出端移到输入端：114②信号分支点的移动：分支点从环节的输入端移到输出端

信号分支点的移动115求和点和分支点的移动和互换

分支点从环节的输出端移到输入端：[注意]：相临的信号求和点位置可以互换；见下例116求和点和分支点的移动和互换

同一信号的分支点位置可以互换：