专题03 相交线与平行线中的M模型（含锯齿型）-2024年中考数学核心几何模型重点突破（解析版）

专题03相交线与平行线中的M模型(含锯齿型)内容导航：模型分析→典例分析→模型演练内容导航：模型分析→典例分析→模型演练【模型1】M型(1)如图，已知AB//CD,BF与DF相交于点F→∠B+∠D=∠BFD如图，延长BF交CD于点G又∵∠BFD=∠FGD+∠D∴∠BFD=∠B+∠D(2)如图，已知∠B+∠D=∠BFD,BF与DF相交于点F→AB//CD如图，延长BF交CD于点G又∵∠BFD=∠FGD+∠D【例3】问题情境：如图①,直线AB//CD,点E,F分别在直线AB,CD上.(1)猜想：若∠1=130°,∠2=150°,试猜想∠P=°;(2)探究：在图①中探究∠1,∠2,∠P之间的数量关系，并证明你的结论；(3)拓展：将图①变为图②,若∠1+∠2=325°,∠EPG=75°,求∠PGF的度数.【分析】(1)过点P作MN//AB,利用平行的性质就可以求角度，解决此问；(2)利用平行线的性质求位置角的数量关系，就可以解决此问；(3)分别过点P、点G作MN//AB、KR//AB,然后利用平行线的性质求位置角的数量关系即可.【解析】(1)解：如图过点P作MN//AB,故答案为：80°;∠P=360⁰-∠1-∠2.∴AB//MN/故答案为：140°.【分析】利用平行线的性质和三角形的性质依次判断即可求解.∴∠AED=∠C+∠D=85°,故(2)正确，∴∠A=∠CED+∠D,故(3)正确，∴AE无法判断等于CE,∠BED无法判断等于45°,故(1)、(4)错误，A.β=a+γB.β=α+y-90°3.如图，已知直线a//b,∠1=40°,∠2=60°.则∠3等于()A.100°B.60°C.40°.正确的个数是()A.4B.3综上，①②③④都正确，共4个，二、填空题/BED=【分析】过E点作EM//AB,根据平行线的性质可得∠BED=∠B+∠D,义可求得∠B+3∠D=132°,结合∠B-∠D=28°即可求解.则利用角平分线的定【解析】解：过E点作EM//AB,【解析】解：(1)如图，过点P作一条直线PM平行于AB,(2)如图，过点P、Q作PM、QN平行于AB,8.(1)已知：如图(a),直线DE//AB.求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD;(2)如图(b),如果点C在AB与ED之外，其他条件不变，那么会有什么结果?你还能【答案】(1)见解析；(2)当点C在AB与ED之外时，∠ABC-∠CDE=∠BCD,见解析【分析】(1)由题意首先过点C作CF//AB,由直线AB//ED,可得AB//CF//DE,然后由(2)根据题意首先由两直线平行，内错角相等，可得∠ABC=∠BFD,然后根据三角形外角【解析】解：(1)证明：过点C作CF//AB,(2)结论：∠ABC-∠CDE=∠BCD,,若点C在直线AB与DE之间，猜想∠ABC+∠BCD+∠CDE=360°,9.如图，AB//CD,点E在直线AB,CD内部，且AE⊥CE.(1)如图1,连接AC,若AE平分∠BAC,求证：CE平分∠ACD;①若∠MCE=∠ECD,当直角顶点E移动时，∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系?并说的数量关系?并说明理由.。,。,理由见解析.【分析】(1)根据平行的性质可得∠BAC+∠DCA=180°,再根据AE⊥CE可得∠EAC+∠ECA=90°,根据AE平分∠BAC可得∠BAE=∠EAC,等量代换可得∠ECD+∠EAC=90°,继而求得∠DCE=∠ECA;(2)①过E作EF//AB,先利用平行线的传递性得出EF//AB//CD,再利用平行线的性质及已知条件可推得答案；②过E作EF//AB,先利用平行线的传递性得出EF//AB//CD,再利用平行线的性质及已知条件可推得答案.【解析】(1)解：因为AB//CD,因为AE⊥CE,所以∠EAC+∠ECA=90°,因为AE平分∠BAC,所以CE平分∠ACD;(2)①∠BAE与∠MCD存在确定的数量关系：10.已知直线l//l₂,A是l₁上的一点，B是l₂上的一点，直线l₃和直线l,l直线CD上有一点P.(1)如果P点在C,D之间运动时，问∠PAC,∠APB,∠PBD有怎样的数量关系?请说明理由.(2)若点P在C,D两点的外侧运动时(P点与C,D不重合),试探索∠PAC,∠APB,∠PBD之间的关系又是如何?(请直接写出答案，不需要证明)过点P作PE//L,如图1所示.∵PE1/L₁,l,IIl₂:①当点P在直线1上方时，如图2所示.过点P作PE//L.②当点P在直线l₂下方时，如图3所示.过点P作PE//I.∵PE1I,l₁IIl₂11.如图1,AB//CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°,如图2,过P作PE如图2,过P作PE//AB,(1)请你按小明的思路，写出∠APC度数的求解过程；备用图①当点P在线段BD上运动时，则∠APC与∠a、∠β之间有何数量关系?请说明理由；【答案】(1)见解析；(2)①∠APC=∠a+∠β,见解析；②∠APC=|∠a-∠β【分析】(1)过P作PE/IAB,利用平行线的性质即可得出答案；(2)①过P作PE/IAB,再利用平行线的性质即可得出答案；②分P在BD延长线上和P在【解析】解：(1)如图2,过P作PE//AB(2)①、∠APC=∠a+∠β,备用图1延长线上时，∠APC=∠a-∠β;备用图2一点.(1)当点E在MN上时，如图1所示，请直接写出∠MEN,∠CNE,∠AME之间的数量关【答案】(1)∠MEN=∠CNE+∠AME;(2)∠MEN=∠CNE+∠AME,证明见解析；(3)(2)过点E作直线EF//AB,则EF//CD,由(3)过点E作直线EG//AB,则EG//CD,由平行线的性质即可得解.【解析】解：(1)如图1,∠MEN=∠CNE+∠AME,(2)如图2,∠MEN=∠CNE+∠AME,证明如下：(3)如图3,∠MEN+∠CNE+∠AME=360°,证明如下：过点E作直线EG//AB,则EG//CD,13.如图1,已知AB//CD,∠B=30°,∠D=120°;数.【分析】(1)如图1,分别过点E,F作EM//AB,FNI1AB,根据平行线的性质得到∠B=∠BEM=30°,∠MEF=∠EFN,∠D+∠DFN=180°,代入数据即可得到结论；(2)如图1,根据平行线的性质得到∠B=∠BEM=30°,∠MEF=∠EFN,由AB1ICD,AB/IFN,得到CDIIFN,根据平行线的性质得到∠D+∠DFN=180°,于是得到结论；(3)如图2,过点F作FH//EP,设∠BEF=2x°,则∠EFD=(2x+30)°,根据角平分线的定义得到,,根据平行线的性质得到∠PEF=∠EFH=x⁰,∠P=∠HFG,于是得到结论.【解析】(1)解：如图1,分别过点E,F作EM//AB,FN/1AB,又∵AB//CD,AB1/FN,故答案为：90°;(2)解：如图1,分别过点E,F作EM//AB,FN/1AB,(3)解：如图2,过点F作FH//EP,由(2)知，∠EFD=∠BEF+30°,设∠BEF=2x°,则∠EFD=(2x+30)°,:·:·,14.如图1,点A、B分别在直线GH、MN上，∠GAC=∠NBD,∠C=∠D.-H-HN图1MM图2图3(1)求证：GH//MN;(提示：可延长AC交MN于点P进行证明)(2)如图2,AE平分∠GAC,DE平分∠BDC,若∠AED=∠GAC,求∠GAC与∠ACD之(3)在(2)的条件下，如图3,BF平分∠DBM,点K在射线BF上，若∠AKB=∠ACD,直接写出∠GA或【答案】(1)见解析；(2)∠ACD=3∠GAC,见解析；(3)或【分析】(1)根据平行线的判定与性质求证即可；得到∠BDQ=∠E+∠EAQ,再根据角平分线的定义证得∠CDB=2∠E+∠GAC,结合已知即(3)分当K在直线GH下方和当K在直线GH上方两种情况，根据平行线性质、三角形外角性质、角平分线定义求解即可.【解析】解：(1)如图1,延长AC交MN于点P,(2)延长AC交MN于点P,交DE于点Q,图2(3)当K在直线GH下方时，如图，设射线BF交GH于I,图3,【答案】(1)65°(2)(3)2n∠M+∠BED=360°【分析】(1)首先作EG//AB,FH//AB,利用平行线的性质可得∠ABE+∠CDE=260°,再利用角平分线的定