方差分析和正交试验设计

1/1方差分析和正交试验设计

第6章

§单因子方差分析

在实际问题中，某个指标的取值，往往可能与多个因素有关。例如，农作物的产量，可能与作物的品种有关，可能与施肥量有关，可能与土壤有关，等等。又例如，化工产品的收得率，可能与原料配方有关，可能与催化剂的用量有关，可能与反应温度有关，还可能与反应容器中的压力有关，等等。

由于因素很多，自然就会产生这样的问题：这些因素，对于指标的取值，是否都有显著的作用？如果不是所有的因素都有显著的作用，那么，哪些因素的作用显著？哪些因素的作用不显著？还有，这些因素的作用，是简单地叠加在一起的呢，还是以更复杂的形式交错在一起的？

以上这些问题，都需要我们从试验数据出发，来加以判断、分析，做出结论。方差分析（AnalysisofVariance，简称ANOVA）就是一种能够解决这类问题的有效的统计方法。

在方差分析中，将可能与某个指标的取值有关的因素，称为因子（Factor），通常用A,B,?来表示。因子所取的各种不同的状态，称为水平（Level），用A1,A2,?，B1,B2,?来表示。

如果问题中只考虑一个因子，这样的方差分析称为单因子方差分析。如果问题中要考虑两个因子，这样的方差分析就称为双因子方差分析。当然，还可以有三因子、四因子、更多因子的方差分析。

我们先来看单因子方差分析。

问题设某个指标的取值可能与一个因子A有关，因子A有r个水平：A1,A2,?,Ar。在这r个水平下的指标值，可以看作是r个相互独立、方差相等的正态总体

?i～N(?i,?2)，i?1,2,?,r。

在每一个水平Ai下，对指标作t（t?1）次重复观测，设观测结果为

Xi1,Xi2,?,Xit。

它们可以看作是总体?i的样本。即有

问：因子A对指标的作用是否显著？

１３７

检验方法

检验因子A的作用是否显著，相当于要检验这样一个假设

H0：?1??2?r。

为了作检验，先给出一批定义。称

n?rt为总观测次数。

1t

i??Xij为水平Ai的均值，tj?1

SSi??(Xij?i)2为水平Ai的平方和。

j?1t

1rt1r

Xij??i为总均值，ni?1j?1ri?1

SST(Xij?)2为总平方和。

i?1j?1rt

SSe(Xij?i)??SSi为误差平方和，2

i?1j?1i?1rtr

SSA?t?(i?)2为因子A的平方和。

i?1r

这些统计量之间的相互关系，可以用下列图表的形式表示出来：

水平观测值Ai的平方和Ai的均值

1?

r??总均值A1?Ar

X11?X1t←─SS1─→???←─SSr─→X1?Xrt?r←────→│←──误差平方和SSe──→│←─A的平方和SSA──→││←─────────总平方和SST─────────→│

t

SSi??(Xij?i)2反映了在各水平Ai的内部指标取值的差异程度，这种差异

j?1

完全是由于误差引起的，而SSe是所有这样的.SSi的总和，所以称为误差平方和。

SSA?t?(i?)2反映了各水平之间指标取值的差异程度，如果因子A的作用i?1r

不显著，各水平之间差异很小，1,2,?,r近似相等，与X差异很小，SSA的值也比１３８

较小，如果因子A的作用显著，各水平之间差异很大，1,2,?,r与X的差异也很大。

所以称为因子A的平方和。SSA的值就会偏大。SSA的大小反映了因子A的作用大小。

总平方和SST、误差平方和SSe、因子A的平方和SSA之间，有下列平方和分解关系：

SST?SSe?SSA。

这是因为

SST(Xij?)2i?1j?1

rtrt

(X

i?1j?1

rtij?i?i?)2?i)?2??(Xij?i)(i?)(i?)22

i?1j?1i?1j?1

trtrt(Xi?1j?1ij

?SSe?2?(?X

i?1j?1rij?ti)(i?)?t?(i?)2i?1r

?SSe?0?SSA?SSe?SSA。

由SSA、SSe可以算出统计量MSA?SSA(r?1)和MSe?SSe(n?r)。MSA称为因子A的均方，MSe称为误差均方。由MSA、MSe可以算出统计量

FA?MSASSA(r?1)。?MSeSSe(n?r)

下面证明一个关于FA的分布的定理。

定理若H0：?1??2?r为真，则有

FA?MSASSA(r?1)～F(r?1,n?r)。?MSeSSe(n?r)

2证设?1??2?r??，这时有?i～N(?,?)，i?1,2,?,r。

因为Xi1,Xi2,?,Xit是?i的样本，所以Xij～N(?,?)2Xij??

?～N(0,1)。

i?1,2,?,r，j?1,2,?,t，相互独立。１３９

Q?

r

t

?Xiji?1j?1??

r

t

2

??(X

i?1j?1

rt

ij

?)2

?

2

??(X

?

i?1j?1

ij2

?)

2

2??(Xij?)(??)?

i?1j?1

rt

??(??)

?

i?1j?1

rt

2

??

SST

?0?

2

?

2

?

SSA

SSe

n(??)2

?2?2

2

?

?

2

?

?2

?

n?Q1?Q2?Q3。

??

其中，Q1?

r

SSA

?

r

2

?

t?(i?)2

i?1

r

?2

是r项的平方和，但这r项又满足1个线性关系式：

?(i?1

i

?)??i?r?0，所以，Q1的自由度f1?r?1。

i?1

Q2?

SSe

??(X

?

i?1j?1

rt

ij

?i)2

是n?rt项的平方和，但这n项又满足r个线性

t

?

2

?2

ij

关系式：

?(X

j?1

t

?i)??Xij?ti?0，i?1,2,?,r，所以，Q2的自由度

j?1

f2?n?r。

?

?nQ3是1项的平方和，所以，Q3的自由度f3?1。

??

因为f1?f2?f3?(r?1)?(n?r)?1?n，所以由定理（Cochran定理）可知：

2

Q1?

SSA

?

2

2

～?(r?1)，Q2?

SSe

?2

?22

?n～?(n?r)，Q3～?(1)。

??

2

2

而且Q1?

SSA

?

2

，Q2?

SSe

?2

?

?n，Q3相互独立。

??

因此，由F分布的定义可知

１４０

2SSA(r?1)FA??

SSe(n?r)SSe

SSA

r?1)

～F(r?1,n?r)。

?

2

n?r)

由定理可知，若H0：?1??2?r为真，则FA～F(r?1,n?r)；若H0：?1??2?r不真，则SSA的值会偏大，FA的值也会偏大，统计量FA的分布，相对于F(r?1,n?r)分布来说，峰值的位置会有一个向右的偏移。

因此，可得到检验方法如下：

从样本求出FA的值。对于给定的显著水平?，自由度(r?1,n?r)，查F分布的分位数表,可得分位数F1??(r?1,n?r)，使得P{FA?F1??(r?1,n?r)}??，当

FA?F1??(r?1,n?r)时，拒绝H0：?1??2?r，这时，可以认为因子A的

作用显著，否则，接受H0：?1??2?r，这时，可以认为因子A的作用不显著。单因子方差分析的计算步骤

方差分析的计算比较复杂，用带统计功能的计算器计算时，最好按照下列步骤进行，并把计算结果填写在下列形式的表格中：

t

1t

（1）从Xi1,Xi2,?,Xiti求出i??Xij和SSi??(Xij?i)2,i?1,2,?,r。

tj?1j?1