高中数学培优讲义练习（选择性必修一）：直线的方程（二）-重难点题型精讲（教师版）

专题2.5直线的方程（二）-重难点题型精讲1．求直线方程的一般方法(1)直接法

直线方程形式的选择方法：

①已知一点常选择点斜式；

②已知斜率选择斜截式或点斜式；

③已知在两坐标轴上的截距用截距式；

④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况.(2)待定系数法

先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程.

利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程.

若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况).2．两条直线的位置关系3．直线系方程具有某一种共同属性的一簇直线称为直线系，其方程称为直线系方程.直线系方程通常只含有一个独立参数，常见的直线系方程有以下几类：4．直线方程的实际应用利用直线方程解决实际问题，一般先根据实际情况建立直角坐标系，然后分析直线斜率是否存在，从而能够为解决问题指明方向，避免解决问题出现盲目性.【题型1求直线方程】【方法点拨】(1)直接法：根据所给条件，选择合适的直线方程形式，进行求解即可.(2)待定系数法：先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程.【例1】（2022·江西省高一阶段练习（理））经过点A（3，4）且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程为（

）A．x+y−7=0或x−y+1=0 B．x+y−7=0或x−y+1=0或4x−3y=0C．x−y−7=0或x+y+1=0 D．x+y−7=0或x−y+1=0或3x−4y=0【解题思路】根据直线在两坐标轴上的截距相等进行分类讨论，设直线方程，求出每一种情况的直线方程即可.【解答过程】①当直线经过原点时，斜率k=4−03−0=43②当直线在两坐标轴上的截距相等时，设直线方程为xa+ya=1，将点A3,4代入，的3a③当直线在两坐标轴上的截距互为相反数时，设直线方程为xa+y−a=1，将点A3,4代入，的3a综上所述，直线方程为：4x−3y=0或x+y−7=0或x−y+1=0.故选：B.【变式1-1】（2022·福建·高二阶段练习）过（1，2），（5，3）的直线方程是（）A．x+4y+7=0 B．x−4y+7=0C．4x+y+7=0 D．4x−y+7=0【解题思路】根据直线的两点式方程求解即可.【解答过程】因为所求直线过点（1．2），（5，3），所以直线方程为y−2x−1=3−2故选：B.【变式1-2】（2022·全国·高二专题练习）过点P3,−23且倾斜角为135°A．3x−y−53=0 C．x+y−3=0 【解题思路】根据直线的点斜式方程即可得出答案.【解答过程】解：因为直线的倾斜角为135°，所以直线的斜率k=tan所以直线方程为y+23=−x−故选：D．【变式1-3】（2022·全国·高二课时练习）已知直线l的倾斜角为60∘，且经过点0,1，则直线l的方程为（

A．y=3x B．y=3x−2 C．【解题思路】先求出斜率，再由直线的点斜式方程求解即可.【解答过程】由题意知：直线l的斜率为3，则直线l的方程为y=3故选：C.【题型2直线过定点问题】【方法点拨】(1)直接法：将已知的方程转化为点斜式、斜截式或截距式方程，进而得到定点的坐标.(2)方程法：将已知的方程中含有参数的项放到一起，整理成关于参数的方程，若直线过定点，则其解就是动直线所过定点的坐标.【例2】（2021·广东东莞·高二阶段练习）直线kx−y+1=3k，当k变动时，所有直线恒过定点坐标为（

）A．(0,0) B．(0,1) C．(3,1) D．(2,1)【解题思路】直线恒过定点，把参数提取公因式kx−3−y+1=0，使【解答过程】把直线方程整理为kx−3−y+1=0，令x−3=0−y+1=0，故x=3故选：C.【变式2-1】（2022·全国·高二课时练习）直线(2k−1)x−y−1=0所过定点的坐标为（

）A．0,12 B．12,0 C．【解题思路】直线化为点斜式，可以看出直线所过的定点坐标.【解答过程】直线方程可以化为y+1=(2k−1)x，则此直线恒过定点(0,−1)，故选：D.【变式2-2】（2021·全国·高二专题练习）直线l在x轴上，y轴上的截距的倒数之和为常数1k，则该直线必过定点（

A．0,0 B．1,1 C．k,k D．1【解题思路】设直线l在x轴上，y轴上的截距分别为a，b，可得直线l的方程为xa+yb=1【解答过程】设直线l在x轴上，y轴上的截距分别为a，b，且ab≠0，所以直线l的方程为xa又因为1a+1所以该直线必过定点k,k．故选：C．【变式2-3】（2022·全国·高二课时练习）下列有关直线l:x+my−1=0m∈R的说法中正确的是（

A．直线l的斜率为−m B．直线l的斜率为−C．直线l过定点0,1 D．直线l过定点1,0【解题思路】讨论m≠0和m=0两种情况可得.【解答过程】直线l:x+my−1=0可化为my=−x−1当m≠0时，直线l的方程可化为y=−1mx−1，其斜率为−当m=0时，直线l的方程为x=1，其斜率不存在，过点(1,0，所以A，B，C不正确，D正确．故选：D.【题型3求与已知直线垂直的直线方程】【方法点拨】(1)一般地，与直线垂直的直线方程可设为；过点与直线垂直的直线方程可设为.(2)利用互相垂直的直线的斜率之间的关系求出斜率，再用点斜式写出直线方程(针对两直线斜率均存在且不为零的情况).【例3】（2022·河南·高二阶段练习）过点P(4,−2)且与直线3x−4y+6=0垂直的直线方程是（

）A．4x−3y−19=0 B．4x+3y−10=0C．3x−4y−16=0 D．3x+4y−8=0【解题思路】由垂直关系确定方程斜率，再由点斜式写出直线方程.【解答过程】由题设，与直线3x−4y+6=0垂直的直线斜率为−43，且过所以y+2=−43(x−4)故选：B.【变式3-1】（2022·全国·高二专题练习）过点P(−1,2)且与直线x−2y+1=0垂直的直线方程为（

）A．2x+y+4=0 B．2x+y=0C．x+2y−3=0 D．x−2y+5=0【解题思路】求出与直线x−2y+1=0垂直的直线的斜率，利用点斜式求出直线方程.【解答过程】直线x−2y+1=0的斜率kl=12，因为l⊥l'，故l'的斜率k故选：B．【变式3-2】（2022·江苏·高二课时练习）若△ABC的三个顶点为A(1,0)，B(2,1)，C(0,2)，则BC边上的高所在直线的方程为（

）．A．3x+2y−3=0 B．2x−y−2=0C．2x−y+1=0 D．2x+y−2=0【解题思路】根据B,C所在直线的斜率求得高线的斜率，结合点斜式即可求得结果.【解答过程】因为B(2,1)，C(0,2)，故可得B,C所在直线的斜率为2−10−2则BC边上的高所在直线的斜率k=2，又其过点A(1,0故其方程为y=2(x−1)，整理得：2x−y−2=0.故选：B.【变式3-3】（2021·河南·高三开学考试（文））已知点A(1,2)，B(3,1)，则线段AB的垂直平分线方程为（

）A．4x+2y−5=0 B．4x−2y−5=0 C．x+2y−5=0 D．x−2y−5=0【解题思路】应用两点式求线段AB的斜率，进而可得垂直平分线的斜率，结合AB中点坐标及点斜式写出垂直平分线方程.【解答过程】由题设，kAB故线段AB的垂直平分线的斜率为2，又AB中点为(2,3所以线段AB的垂直平分线方程为y−3整理得：4x−2y−5=0.故选：B.【题型4求与已知直线平行的直线方程】【方法点拨】(1)一般地，方程中系数A，B决定直线的斜率，因此，与直线平行的直线方程可设为()，这是常用的解题技巧.当时，直线与重合.(2)一般地，经过点且与直线平行的直线方程可设为.(3)利用平行直线的斜率相等求出斜率，再用点斜式求出直线方程.【例4】（2022·江苏·高二阶段练习）过点A2,3且与直线l:2x−4y+7=0平行的直线方程是（

A．x−2y+4=0 B．x−2y−4=0 C．2x−y+1=0 D．x+2y−8=0【解题思路】利用平行直线的特点先设出待求直线方程，代入所过点可得答案.【解答过程】由题意设所求方程为2x−4y+c=0c≠7因为直线经过点A2,3所以2×2−4×3+c=0，即c=8，所以所求直线为x−2y+4=0.故选：A.【变式4-1】（2022·全国·高二）与直线x+y−1=0平行，且经过点（2，3）的直线的方程为（

）A．x−y+1=0 B．x+y+5=0 C．x+y−5=0 D．x−y−1=0【解题思路】由直线平行及直线所过的点，应用点斜式写出直线方程即可.【解答过程】与直线x+y−1=0平行，且经过点（2，3）的直线的方程为y−3=−(x−2)，整理得x+y−5=0．故选：C.【变式4-2】（2021·广东·高二期中）若直线l1：2x−3y+4=0与l2互相平行，且l2过点(2,1)，则直线lA．3x−2y−2=0 B．3x−2y+2=0C．2x−3y−1=0 D．2x−3y+1=0【解题思路】由两条直线平行得到斜率，进而通过点斜式求出直线方程.【解答过程】由题意，l1的斜率为23，则l2的斜率为23，又l2过点2,1故选：C.【变式4-3】（2021·天津市高二阶段练习）与直线y=−2x+3平行，且与直线y=3x+4交于x轴上的同一点的直线方程是（

）A．y=−2x+4 B．y=C．y=−2x−83 【解题思路】先求出直线y=3x+4交于x轴交点P(−43,0)，再设与直线y=−2x+3【解答过程】设直线y=3x+4交于x轴于P点，令y=0，则x=−43，所求直线与y=−2x+3平行，设y=−2x+m，把P(−4代入得−2×(−43)+m=0所求直线方程为：y=−2x−8故选：C.【题型5根据两直线平行或垂直求参数】【方法点拨】(1)考虑直线的斜率是否存在，若斜率都存在，则依据斜率间的关系求解.(2)已知两直线垂直求解参数时，需要注意斜率是不是零.【例5】（2022·全国·高二课时练习）已知直线l1过(0,0)、(1,−3)两点，直线l2的方程为ax+y−2=0，如果l1//lA．-3 B．13 C．−1【解题思路】先求直线l1斜率，再根据两直线平行列式求得a【解答过程】因为直线l1过(0,0)、(1,−3)两点，所以直线l1斜率为因为直线l2的方程为ax+y−2=0，所以直线l2斜率为因为l1//故选：D.【变式5-1】（2022·重庆八中高一期末）已知直线x＋y＋1＝0与直线2x－my＋3＝0垂直，则m＝（

）A．2 B．12 C．－2 D．【解题思路】利用两条直线垂直的一般式方程结论列式求解即可.【解答过程】解：∵直线x＋y＋1＝0与直线2x－my＋3＝0垂直，∴1×2+1⋅(−m)=0，则m＝2，故选：A．【变式5-2】（2022·山东·高二阶段练习）已知条件p：直线x+y+1=0与直线x+a2y−1=0平行，条件q:a=−1，则p是qA．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】先求出两条直线平行时对应的a的值，再判断两者之间的条件关系.【解答过程】若直线x+y+1=0与直线x+a2y−1=0平行，则1×当a=1时，x+a2y−1=0此时直线x+y+1=0与直线x+a当a=−1时，x+a2y−1=0此时直线x+y+1=0与直线x+a故若直线x+y+1=0与直线x+a2y−1=0平行，则a=±1若a=−1，则直线x+y+1=0与直线x+a故p是q的必要不充分条件.故选：C.【变式5-3】（2021·山西·高二阶段练习（文））若直线ax−y−2=0与直线(a+4)x+ay+1=0垂直，则a=（

）A．0 B．−3 C．0或−3 D．0或3【解题思路】根据l1:A【解答过程】因为直线ax−y−2=0与直线(a+4)x+ay+1=0垂直，所以a(a+4)−a=0，解得a=0或a=−3，故选：C.【题型6直线方程的实际应用】【方法点拨】根据实际情况建立直角坐标系，然后分析直线斜率是否存在，结合实际条件进行求解，注意结果要满足实际情境.【例6】（2021秋•徐汇区校级期中）为了绿化城市，准备在如图所示的区域ABCDE内修建一个矩形PQRD的草坪，其中∠AED＝∠EDC＝∠DCB＝90°，点Q在AB上，且PQ∥CD，QR⊥CD，经测量BC＝70m，CD＝80m，DE＝100m，AE＝60m．（1）如图建立直角坐标系，求线段AB所在直线的方程；（2）在（1）的基础上，应如何设计才能使草坪的占地面积最大，确定此时点Q的坐标并求出此最大面积（精确到1m2）【解题思路】（1）推导出A（0，20），B（30，0），由此能求出线段AB所在直线的方程．（2）设Q（x，y），则直线AB的方程为x30+y20=1（0≤x≤30），求出RQ＝100﹣x，PQ＝80﹣y，y＝20（1−x30）＝20−23x，由此能求出当x＝5，y=50【解答过程】解：（1）由题意得AO＝80﹣60＝20，OB＝100﹣70＝30，∴A（0，20），B（30，0），∴线段AB所在直线的方程为：x30+（2）设Q（x，y），则直线AB的方程为x30+y20=1（0∵RQ＝100﹣x，PQ＝80﹣y，y＝20（1−x30）＝20∴草坪的占地面积为：S矩形PQRC＝RQ×PQ＝（100﹣x）（80﹣y）＝（100﹣x）（80﹣20+2＝（100﹣x）（60+2=−=−23（x﹣5≈−23（x﹣5）2+6017．（0≤x∴当x＝5，y=503时，才能使草坪的占地面积最大，最大面积为6017m2，此时Q（5，【变式6-1】（2022•封开县校级模拟）如图，在平行四边形OABC中，点C（1，3）．（1）求OC所在直线的斜率；（2）过点C作CD⊥AB于点D，求CD所在直线的方程．【解题思路】（1）根据原点坐标和已知的C点坐标，利用直线的斜率k=y1−（2）根据平行四边形的两条对边平行得到AB平行于OC，又CD垂直于AB，所以CD垂直于OC，由（1）求出的直线OC的斜率，根据两直线垂直时斜率乘积为﹣1，求出CD所在直线的斜率，然后根据求出的斜率和点C的坐标写出直线CD的方程即可．【解答过程】解：（1）∵点O（0，0），点C（1，3），∴OC所在直线的斜率为kOC（2）在平行四边形OABC中，AB∥OC，∵CD⊥AB，∴CD⊥OC．∴CD所在直线的斜率为kCD∴CD所在直线方程为y−3=−13(x−1)，即x+3【变式6-2】（2021春•达州期末）图1是台球赛实战的一个截图．白球在A点处击中一球后，直线到达台球桌内侧边沿点B，反弹后直线到达台球桌内侧另一边沿点C，再次反弹后直线击中桌面上点D处一球．以台球桌面内侧边沿所在直线为坐标轴建立如图2所示的平面直角坐标系．已知A（1，1），B（0.4，0）．（1）求直线AB的方程；（2）若点D的坐标是(x0，76)，求x0.（提示：直线AB与直线【解题思路】（1）根据题意，由直线的两点式方程分析可得答案；（2）根据题意，求出直线BC的方程，进而可得C的纵坐标，又由DC//AB，求出直线CD的方程，由此分析可得答案．【解答过程】解：（1）由A（1，1），B（0.4，0）知，直线AB的方程是y−01−0化简得直线AB方程为5x﹣3y﹣2＝0；（2）根据条件，直线BC的斜率为kBC=−53