高一数学人教A版必修1教案第二章第一节指数函数第六课时

第二章第一节指数函数第六课时导入新课思路1.我们在学习指数函数的性质时，利用了指数函数的图象的特点，并且是用类比和归纳的方法得出，在上节课的探究中我们知道，函数①y＝3x，②y＝3x＋1，③y＝3x－1的图象之间的关系，由其中的一个可得到另外两个的图象，那么，对y＝ax与y＝ax＋m(a>0，m∈R)有着怎样的关系呢？在理论上，含有指数函数的复合函数是否具有奇偶性呢？这是我们本堂课研究的内容．教师点出课题：指数函数及其性质的应用(2)．思路2.我们在第一章中，已学习了函数的性质，特别是单调性和奇偶性是某些函数的重要特点，我们刚刚学习的指数函数，严格地证明了指数函数的单调性，便于我们在解题时应用这些性质，在实际生活中，往往遇到的不单单是指数函数，还有其他形式的函数，有的是指数函数的复合函数，我们需要研究它的单调性和奇偶性，这是我们面临的问题，也是我们本节课要解决的问题——指数函数及其性质的应用(2)．推进新课eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出问题))1指数函数有哪些性质？2利用单调性的定义证明函数单调性的步骤有哪些？3对复合函数，如何证明函数的单调性？4如何判断函数的奇偶性，有哪些方法？活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，及时评价学生，学生有困惑时加以解释，可用多媒体显示辅助内容．讨论结果：(1)指数函数的图象和性质一般地，指数函数y＝ax在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：a>10<a<1图象图象特征图象分布在一、二象限，与y轴相交，落在x轴的上方都过点(0,1)第一象限的点的纵坐标都大于1；第二象限的点的纵坐标都大于0且小于1第一象限的点的纵坐标都大于0且小于1；第二象限的点的纵坐标都大于1从左向右图象逐渐上升从左向右图象逐渐下降性质(1)定义域：R(2)值域：(0，＋∞)(3)过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1(4)x>0时，y>1；x<0时，0<y<1(4)x>0时，0<y<1；x<0时，y>1(5)在R上是增函数(5)在R上是减函数(2)依据函数单调性的定义证明函数单调性的步骤是：①取值．即设x1、x2是该区间内的任意两个值且x1＜x2.②作差变形．即求f(x2)－f(x1)，通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．③定号．根据给定的区间和x2－x1的符号确定f(x2)－f(x1)的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论．④判断．根据单调性定义作出结论．(3)对于复合函数y＝f(g(x))可以总结为：当函数f(x)和g(x)的单调性相同时，复合函数y＝f(g(x))是增函数；当函数f(x)和g(x)的单调性相异即不同时，复合函数y＝f(g(x))是减函数；又简称为口诀“同增异减”．(4)判断函数的奇偶性：一是利用定义法，即首先是定义域关于原点对称，再次是考查式子f(x)与f(－x)的关系，最后确定函数的奇偶性；二是作出函数图象或从已知图象观察，若图象关于原点或y轴对称，则函数具有奇偶性．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(应用示例))例1在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y＝2x的图象的关系．(1)y＝2x＋1与y＝2x＋2；(2)y＝2x－1与y＝2x－2.活动：教师适当时候点拨，学生回想作图的方法和步骤，特别是指数函数图象的作法，学生回答并到黑板上作图，教师指点学生，列出对应值表，抓住关键点，特别是(0,1)点，或用计算机作图．解：(1)列出函数数据表作出图象如图6.x…－3－2－10123…2x…0.1250.250.51248…2x＋1…0.250.5124816…2x＋2…0.512481632…图6比较可知函数y＝2x＋1、y＝2x＋2与y＝2x的图象的关系为：将指数函数y＝2x的图象向左平行移动1个单位长度，就得到函数y＝2x＋1的图象；将指数函数y＝2x的图象向左平行移动2个单位长度，就得到函数y＝2x＋2的图象．(2)列出函数数据表作出图象如图7.x…－3－2－10123…2x…0.1250.250.51248…2x－1…0.06250.1250.250.5124…2x－2…0.031250.06250.1250.250.512…图7比较可知函数y＝2x－1、y＝2x－2与y＝2x的图象的关系为：将指数函数y＝2x的图象向右平行移动1个单位长度，就得到函数y＝2x－1的图象；将指数函数y＝2x的图象向右平行移动2个单位长度，就得到函数y＝2x－2的图象．点评：类似地，我们得到y＝ax与y＝ax＋m(a>0，a≠1，m∈R)之间的关系：y＝ax＋m(a>0，m∈R)的图象可以由y＝ax的图象变化而来．当m>0时，y＝ax的图象向左移动m个单位得到y＝ax＋m的图象；当m<0时，y＝ax的图象向右移动|m|个单位得到y＝ax＋m的图象．上述规律也简称为“左加右减”．变式训练为了得到函数y＝2x－3－1的图象，只需把函数y＝2x的图象()A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度答案：A点评：对于有些复合函数的图象，常用变换方法作出.例2已知定义域为R的函数f(x)＝eq\f(－2x＋b,2x＋1＋a)是奇函数．(1)求a，b的值；(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．活动：学生审题，考虑解题思路．求值一般是构建方程，求取值范围一般要转化为不等式，如果有困难，教师可以提示，(1)从条件出发，充分利用奇函数的性质，由于定义域为R，所以f(0)＝0，f(－1)＝－f(1)，(2)在(1)的基础上求出f(x)，转化为关于k的不等式，利用恒成立问题再转化．(1)解：因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，即eq\f(b－1,a＋2)＝0⇒b＝1.所以f(x)＝eq\f(1－2x,a＋2x＋1)；又由f(1)＝－f(－1)知eq\f(1－2,a＋4)＝－eq\f(1－\f(1,2),a＋1)⇒a＝2.(2)解法一：由(1)知f(x)＝eq\f(1－2x,2＋2x＋1)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2x＋1)，易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．又因f(x)是奇函数，从而不等式：f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，因f(x)为减函数，由上式推得：t2－2t>k－2t2，即对一切t∈R有3t2－2t－k>0，从而判别式Δ＝4＋12k<0，∴k<－eq\f(1,3).解法二：由(1)知f(x)＝eq\f(1－2x,2＋2x＋1).又由题设条件得eq\f(1－2t2－2t,2＋2t2－2t＋1)＋eq\f(1－22t2－k,2＋22t2－k＋1)<0，即(22t2－k＋1＋2)(1－2t2－2t)＋(2t2－2t＋1＋2)(1－22t2－k)<0.整理得23t2－2t－k>1，因底数2>1，故3t2－2t－k>0，上式对一切t∈R均成立，从而判别式Δ＝4＋12k<0，即k<－eq\f(1,3).点评：记住下列函数的增减性，对解题是十分有用的，若f(x)为增(减)函数，则eq\f(1,fx)为减(增)函数．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能训练))求函数y＝(eq\f(1,2))|1＋2x|＋|x－2|的单调区间．活动：教师提示，因为指数含有两个绝对值，要去绝对值，要分段讨论，同时注意底数的大小，分析出指数的单调区间，再确定函数的单调区间，利用复合函数的单调性学生思考讨论，然后解答．解：由题意可知2与－eq\f(1,2)是区间的分界点．当x<－eq\f(1,2)时，因为y＝(eq\f(1,2))－1－2x－x＋2＝(eq\f(1,2))1－3x＝23x－1＝eq\f(1,2)·8x，所以此时函数为增函数．当－eq\f(1,2)≤x<2时，因为y＝(eq\f(1,2))1＋2x－x＋2＝(eq\f(1,2))3＋x＝2－3－x＝eq\f(1,8)·(eq\f(1,2))x，所以此时函数为减函数．当x≥2时，因为y＝(eq\f(1,2))1＋2x＋x－2＝(eq\f(1,2))3x－1＝21－3x＝2·(eq\f(1,8))x，所以此时函数为减函数．当x1∈[－eq\f(1,2)，2)，x2∈[2，＋∞)时，因为2·(eq\f(1,8))x2－eq\f(1,8)·(eq\f(1,2))x1＝2·2－3x2－2－3·2－x1＝21－3x2－2－3－x1，又因为1－3x2－(－3－x1)＝4－3x2＋x1＝4＋x1－3x2<0，所以1－3x2<－3－x1，即2·(eq\f(1,8))x2<eq\f(1,8)·(eq\f(1,2))x1.所以此时函数为减函数．综上所述，函数f(x)在(－∞，－eq\f(1,2)]上单调递增，在[－eq\f(1,2)，＋∞)上单调递减．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(拓展提升))设m<1，f(x)＝eq\f(4x,4x＋2)，若0<a<1，试求：(1)f(a)＋f(1－a)的值；(2)f(eq\f(1,1001))＋f(eq\f(2,1001))＋f(eq\f(3,1001))＋…＋f(eq\f(1000,1001))的值．活动：学生思考，观察，教师提示学生注意式子的特点，做这种题目，一定要有预见性，即第(2)问要用到第(1)问的结果，联系函数的知识解决．解：(1)f(a)＋f(1－a)＝eq\f(4a,4a＋2)＋eq\f(41－a,41－a＋2)＝eq\f(4a,4a＋2)＋eq\f(\f(4,4a),\f(4,4a)＋2)＝eq\f(4a,4a＋2)＋eq\f(4,4＋2·4a)＝eq\f(4a,4a＋2)＋eq\f(2,2＋4a)＝eq\f(4a＋2,4a＋2)＝1.(2)f(eq\f(1,1001))＋f(eq\f(2,1001))＋f(eq\f(3,1001))＋…＋f(eq\f(1000,1001))＝[f(eq\f(1,1001))＋f(eq\f(1000,1001))]＋[f(eq\f(2,1001))＋f(eq\f(999,1001))]＋…＋[f(eq\f(500,1001))＋f(eq\f(501,1001))]＝500×1＝500.点评：第(2)问是第(1)问的继续，第(1)问是第(2)问的基础，两个问题是衔接的，利用前一个问题解决后一个问题是我们经常遇到的情形，要注意问题与问题之间的联系．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(课堂小结))本节课复习了指数函数的性质，借助指数函数的性质的运用，我们对函数的单调性和奇偶性又进行了复习巩固，利用单调性和奇偶性解决了一些问题，对常考的函数图象的变换进行了学习，要高度重视，在不断学习中升华提高．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(作业))课本习题2.1B组2.eq\o(\s\up7(),\s\do5(设计感想))指数函数作为一类基本的初等函数，它虽然不具有函数通性中的奇偶性，但是它与其他函数复合构成具有比较复杂的单调性的函数，同时也可以复合出比较特殊的奇函数和偶函数，判断复合函数的单调性和奇偶性要十分小心，严格按规定的要求，有时借助数形结合可帮我们找到解题思路，本堂课是在以前基础上的提高与深化，同时又兼顾了高考常考的内容，因此涉及面广，容量大，要集中精力，加快速度，高质量完成教学任务．eq\o(\s\up7(),\s\do5(备课资料))富兰克林的遗嘱与拿破仑的诺言富兰克林利用放风筝而感受到电击，从而发明了避雷针．这位美国著名的科学家死后留下了一份有趣的遗嘱：“……一千英镑赠给波士顿的居民，如果他们接受了这一千英镑，那么这笔钱应该托付给一些挑选出来的公民，他们得把这些钱按每年5%的利率借给一些年轻的手工业者去生息．这些钱过了100年增加到131000英镑．我希望那时候用100000英镑来建立一所公共建筑物，剩下的31000英镑拿去继续生息100年．在第二个100年末了，这笔钱增加到4061000英镑，其中1061000英镑还是由波士顿的居民来支配，而其余的3000000英镑让马萨诸塞州的公众来管理．过此之后，我可不敢主张了！”你可曾想过：区区的1000英镑遗产，竟立下几百万英镑财产分配的遗嘱，是“信口开河”，还是“言而有据”呢？事实上，只要借助于复利公式，同学们完全可以通过计算而作出自己的判断．yn＝m(1＋a)n就是复利公式，其中m为本金，a为年利率，yn为n年后本金与利息的总和．在第一个100年末富兰克林的财产应增加到：y100＝1000(1＋5%)100≈131501(英镑)，比遗嘱中写的还多出约501英镑．在第二个100年末，遗产就更多了：y100′＝31501(1＋5%)100≈4142421(