华东师大数学分析课件14

§3泰勒公式前页后页返回多项式函数是最简单的函数.用多项式来逼近一般的函数是近似计算的重要内容,也是数学的研究课题之一.一、带有佩亚诺型余项的泰勒公式二、带有拉格朗日型余项的泰勒公式三、在近似计算中的应用在处可导,由有限增量公式当充分小时,可以由一次多项式一、带有佩亚诺型余项的泰勒公式近似地代替,

其误差为

.

在许多情况下,误差仅为

是不够的,

所以要考虑用较高次的多项式来逼近

f

,

使得误差更小.前页后页返回问题:是否存在一个n次多项式使得答案:当f

(x)在点x0

有n

阶导数时,这样的n

次多项式是存在的.现在来分析这样的多项式与f

(x)有什么关系？设则前页后页返回即上式表明Pn(x)的各项系数是由其在点x0

的各阶导数所确定的.设f

(x)在x0

处n

阶可导，如果前页后页返回即则不难得到:这时有前页后页返回式称为

f

(x)

在点

x0

的

n

阶泰勒多项式,

记为称

为泰勒系数.下面的泰勒定理表明,

确实是我们所需要的.定理

6.8设

f

(x)

在

x

=

x0

处有n

阶导数，则即前页后页返回则当连续使用n

–1次洛必塔法则,得到证设只需证因为由（1）式，前页后页返回式称为在点处的带有佩亚诺型余项的n阶泰勒公式.注1附近满足前页后页返回也不能说明一定是f

(x)的n

阶泰勒多项式.处满足(4)

但是当

n1

时,

不是比如前页后页返回f

(x)

在点 的

n

阶泰勒多项式,

原因是

f

(x)在点x=0的高阶导数(二阶和二阶以上)都不存在,所以无法构造n

阶多项式.存在注3

可以证明对任意一个n

次多项式使得这也就是说,是逼近的最佳n

次多项式.前页后页返回注2

若

f

(x)

在点

x0

有n

阶导数,

则只有惟一的多项式(

泰勒多项式

Tn(x)

)

满足:此式称为(带有佩亚诺型余项)的马克劳林公式.前页后页返回在以后的应用中,公式(3)中的x0

常被取作0,形式变为泰勒(Taylor,B.1685-1731,英国)马克劳林(Maclaurin,C.1698-1746,苏格兰)前页后页返回例1

验证下列公式前页后页返回以上这些公式均为最基本的泰勒公式(马克劳林公式),请务必牢记.前页后页返回于是

n

阶马克劳林公式为证这里仅验证

1

和

6,

其余请读者自己验证.验证

1

因为

所以验证

6

设则前页后页返回故前页后页返回例2

求的马克劳林公式,并求解

由例1那么由定理6.8的注2,可知上式就是马克劳林公前页后页返回式,由泰勒系数公式可知于是得到求在点的泰勒公式.例3解前页后页返回下面这个例题是说明如何利用泰勒公式来求极限.例4

求解

因为前页后页返回本题虽然可用洛必塔法则来求,但上面的方法比所以较简单.前页后页返回二、带有拉格朗日型余项的泰勒公式前页后页返回前面讲的带有佩亚诺型余项的泰勒公式实际上是有限增量公式的一个推广,它只是定性地的告诉我们用泰勒多项式去替代函数,其误差为下面是一个定量形式的泰勒公式.定理6.9(泰勒定理)

若函数

上存在直到n

阶连续导函数,在(a,b)内存在(n+1)导数,则对存在

使或者前页后页返回其中阶泰勒多项式.证

设上连续,在不妨设上可导,且前页后页返回由柯西中值定理,得因为所以所以前页后页返回于是就得到我们称为f(x)在点x0

的n

阶拉格朗日型余项,公式(5)称为f(x)在点x0

的带有拉格朗日型余项的n

阶泰勒公式.注请比较公式(5)与拉格朗日中值定理.前页后页返回因为使得之间,所以存在正数所以

又可以写成当时,公式(5)可写成前页后页返回公式

(6)

称为带有拉格朗日型余项的马克劳林前页后页返回公式.公式(3)与公式(5)都是泰勒公式,

并且前面部分均为泰勒多项式,

而不同的是

Rn(x)的表达形式不一样.请读者根据不同的情况灵活应用.例1中的六个公式其余项均为佩亚诺型的,现在将它们改写为带有拉格朗日型余项的公式.例5前页后页返回前页后页返回解

我们仅对公式(3)进行验证,

其它5个公式请读者验证.设则前页后页返回从而有前页后页返回例6计算e的值,使其误差不超过证明e是无理数.解由例5可知三、泰勒公式在近似计算中的应用前页后页返回于是下证

e

是无理数.因为的误差不超过.前页后页返回整数

整数

=

整数,矛盾.

所以e

是一个无理数.(

同样可证明

都不是有理数.)例

7

计算ln2

的值,

使其误差不超过10

-4.解

我们自然会想到利用例

5

的公式(4)，此时若用

x

=

1

代入，它的余项是那么不是整数.而由(7)式得到前页后页返回法.考虑函数此计算量太大,必须寻找新的方前页后页返回前页后页返回而于是前页后页返回可取

n