复数复习讲义(一)(教师用)

复数复习一、知识导引：1、i的周期性：i4=1，所以，i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=12、复数的代数形式：，叫实部，叫虚部，实部和虚部都是实数。叫做复数集。NZQRC.3、复数相等：；4、复数的分类：虚数不能比拟大小，只有等与不等。即使是也没有大小。5、复数的模：假设向量表示复数z，那么称的模r为复数z的模，；积或商的模可利用模的性质〔1〕，〔2〕6、复数的几何意义：复数复平面内的点，7、复平面：这个建立了直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做复平面，其中x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数8、复数代数形式的加减运算复数z1与z2的和：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.复数z1与z2的差：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.复数的加法运算满足交换律和结合律数加法的几何意义：复数z1=a+bi，z2=c+di；=+=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)＝(a+c)+(b+d)i复数减法的几何意义：复数z1-z2的差(a－c)+(b－d)i对应由于，两个复数的差z－z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.9.特别地，zB－zA.，为两点间的距离。z对应的点的轨迹是线段的垂直平分线；，z对应的点的轨迹是一个圆；，z对应的点的轨迹是一个椭圆；，z对应的点的轨迹是双曲线。10、显然有公式：11、复数的乘除法运算：复数的乘法：z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。实数集R中正整数指数的运算律,在复数集C中仍然成立.即对z1,z2,z3∈C及m,n∈N*有:zmzn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=z1nz2n.复数的除法：(a+bi)(c+di)==，分母实数化是常规方法12、共轭复数：假设两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；特别地，虚部不为0的两个共轭复数也叫做共轭虚数；，两共轭复数所对应的点或向量关于实轴对称。，13、熟记常用算式：，，，，14、复数的代数式运算技巧：〔1〕①②③④〔2〕“1〞的立方根的性质：①②③④⑤15、实系数一元二次方程的根问题：〔1〕当时，方程有两个实根。〔2〕当时，方程有两个共轭虚根，其中。此时有且。注意两种题型：虚系数一元二次方程有实根问题：不能用判别式法，一般用两个复数相等求解。但仍然适用韦达定理。是实系数一元二次方程的两个根，求的方法：〔1〕当时，(2)当时，是实系数一元二次方程的两个根，求的方法：〔1〕当时，①即，那么②即，那么〔2〕当时，二、经典例题：例1．〔1〕复数eq\f((1+i)2,1－i)等于()A.1－iB.1+iC.－1+iD.－1－i解析:复数eq\f((1+i)2,1－i)=，选C．〔2〕假设复数同时满足－＝2，＝〔为虚数单位〕，那么＝．解：；〔3〕设a、b、c、d∈R，那么复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是A.ad－bc=0B.ac－bd=0C.ac+bd=0D.ad+bc=0解析：〔1〕复数=为实数，∴，选D；〔4〕〔〕(A)1+2i(B)1－2i(C)2+i(D)2－i解析：，由、是实数，得，∴，应选择C。〔5〕设为实数，且，那么。解析：，而所以，解得x＝－1，y＝5，所以x＋y＝4。点评：此题考查复数的运算及性质，根底题。例2：〔1〕计算：答案：〔2〕设复数z满足关系，求z；解：设z=a+bi〔a,b为实数〕，由可得由复数相等可得：，解得，所以设z=a+bi-x+yi〔a,b为实数〕复数问题实数化。〔3〕假设，解方程解：设x=a+bi(a,b∈R)代入条件得:,由复数相等的定义可得：,∴a=－4，b=3，∴x=－4+3i。例3：(1)复数z满足，那么z对应的点在复平面内表示的图形为〔A〕A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线解：令z=x+yi〔x，y∈R〕，那么x2+(y+1)2－[x2+(y－1)2]=1，∴y=1/4。应选A。〔2〕设复数z满足：，求|z|的最大值与最小值；解：|z|的最大值为，最小值为；〔3〕z∈C，|z－2|=1且复数z－2对应的点落在直线y=x上，求z。解：设z－2=a+ai，∵|z－2|=1，∴，∴或。【思维点拨】从整体出发利用条件，可简化运算，此题也可设z=a+bi再利用条件，但运算复杂。(4)设，那么复数，在复平面内对应的图形面积为_______。解：∵|u|=||•|1+i|=|z|，∴≤|u|≤2，故面积S=。【思维点拨】复数问题实数化是处理复数问题的常用方法。例4：z=1+i，a，b为实数，(1)假设ω=z2+3－4,求|ω|;(2)假设，求a，b的值。解：〔1〕ω=(1+i)2+3(1－i)－4=―1―i，∴。〔2〕由条件，∴，∴。【思维点拨】利用复数的充要条件解题。例5：设且是纯虚数，求的最大值。－1PO1/2xy解：令z=x+yi〔x，y∈R〕，那么，－1PO1/2xy∴，即，由数形结合可知此题是求圆上的点到A(0,－1)的最大距离。∴max=|PA|=。三、稳固练习：1．2．.A．0 B．2C． D．53.设复数ω＝－＋i，那么1＋ω＝C〔A〕–ω〔B〕ω2〔C〕〔D〕4.复数的共轭复数是〔B〕A． B． C． D．5.假设复数满足方程，那么DA.B.C.D.6.设、、、，假设为实数，那么(C)(A) (B) (C) (D)7.如果复数是实数，那么实数BA．B．C．D．8.〔〕AA．B．－C． D．－9.满足条件的复数z在复平面上对应点的轨迹是CA.一条直线B.两条直线C.圆D.椭圆10.11.C(A)1+2i(B)1-2i(C)2+i(D)2-i12、复数的虚部为〔A〕3〔B〕－3〔C〕2〔D〕－2解析:复数=,所以它的虚部为－2，选D.13、在复平面内，复数对应的点位于〔A〕第一象限 〔B〕第二象限〔C〕第三象限 〔D〕第四象限解：应选D；点评：复数的概念和性质是高考对复数局部的一个考点，属于比拟根本的题目，主要考察复数的的分类和几何性质。14、求满足条件:(i为虚数单位)的复数z[解]原方程化简为,设z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得x2+