中考数学重要考点题型精讲精练人教版：专题10 解直角三角形及其应用（热考题型）-解析版

专题10解直角三角形及其应用【思维导图】◎考点题型1解直角三角形一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．直角三角形五元素之间的关系：1.勾股定理（）2.∠A+∠B=90°3.sinA==4.cosA==5.tanA==例．（2022·广东深圳·二模）如图，点C在以AB为直径的圆上，则BC＝（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据圆周角定理得出∠ACB=90°，根据三角函数的定义求出BC即可．【详解】解：连接AC，∵AB是⊙的直径，∴∠ACB=90°，∵sinB=，cosB=，tanB=，∴AC=AB•sinB，BC=AB•cosB，AC=BC•tanB，观察四个选项，选项B正确，故选；B．【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．变式1．（2022·全国·九年级课时练习）如图，某校数学兴趣小组探究活动中要测量河的宽度，该小组同学在河岸一边上选定一点A，再在河岸另一边选定点P和点B，使（河的两岸平行）.若利用测量工具测得为m米，，根据测量数据可计算得到小河宽度为（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】在Rt△ABP中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．【详解】解：∵BP⊥AP，∴∠APB＝90°，在Rt△ABP中，PB＝m米，∠PBA＝α，∴PA＝PB•tanα＝mtanα（米），∴小河宽度PA为mtanα米，故选：C．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．变式2．（2022·全国·九年级课时练习）如图，一把梯子AB长4米，靠在垂直水平地面的墙上，若梯子与地面的夹角为，则梯子底端A到墙面的距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角函数的定义判断即可；【详解】解：∵∠ACB=90°，∴cosa=，∴AC=4cosa米，故选：A．【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握余弦三角函数的概念是解题关键．变式3．（2022·全国·九年级课时练习）在Rt△ABC中，C90，AB5，AC4．下列四个选项，正确的是（

）A．tanB B．cotB C．sinB D．cosB【答案】C【分析】由勾股定理求得BC的长，进而可求得相应的三角函数值，进而判断各个选项的正误得到答案．【详解】解：如图：∵C90，AB5，AC4∴∴，故选项A错误，不符合题意；，故选项B错误，不符合题意；，故选项C正确，符合题意；，故选项D错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查解直角三角形，熟练掌握相关知识是解题的关键．◎考点题型2解非直角三角形例．（2021·全国·九年级课时练习）如图在一笔直的海岸线l上有相距3km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是（

）A．km B．km C．km D．km【答案】C【分析】首先由题意可证△ACB是等腰三角形，即可求得BC的长，然后由在Rt△CBD中，CD=BC×sin60°，即可求得答案．【详解】解：过C作CD垂直于海岸线l交于D点，根据题意得∠CAD=90°-60°=30°，∠CBD=90°-30°=60°，∴∠ACB=∠CBD-∠CAD=30°，∴∠CAB=∠ACB，∴BC=AB=3km，在Rt△CBD中，CD=BC×sin60°=3×=(km)，故选择：C．【点睛】本题考查了等腰三角形，直角三角形以及特殊角的正弦值，应熟练运用图形的性质，熟记特殊角的正弦余弦正切值．变式1．（2022·广西河池·二模）如图，在A处的正东方向有一港口B．某巡艇从A处沿着北偏东60°方向巡逻，到达C处时接到命令，立刻在C处沿东南方向以20海里/小时的速度行驶3小时到达港口B．若取结果保留一位小数，则A，B间的距离为（）A．42.3海里 B．73.5海里 C．115.8海里 D．119.9海里【答案】C【分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据题意可得，∠ACD=60°，∠BCD=45°，BC=20×3=60，然后根据锐角三角函数即可求出A，B间的距离．【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，根据题意可知：∠ACD=60°，∠BCD=45°，BC=20×3=60，∴在Rt△BCD中，CD=BD=BC=，在Rt△ACD中，AD=CD•tan60°=，∴AB=AD+BD=≈115.8（海里）．答：A，B间的距离约为115.8海里．故选：C．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方位角问题，解决本题的关键是掌握方位角定义．变式2．（2022·全国·九年级课时练习）在东西方向的海岸线上有，两个港口，甲货船从港沿东北方向以海里时的速度出发，同时乙货船从港口沿北偏西方向出发，后相遇在点处，如图所示．问港与港相距（）海里．A． B． C． D．【答案】B【分析】先作于点，根据甲货船从港沿东北的方向以5海里小时的速度出发，求出和，从而得出的值，得出的值，即可求出答案．【详解】解：作于点，甲货船从港沿东北的方向以5海里小时的速度出发，，，，乙货船从港沿西北方向出发，，，，答：港与港相距海里，故选：．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并利用解直角三角形的知识求解．本题要注意关键词：在东西方向的海岸线上有，两个港口.变式3．（2019·全国·九年级单元测试）今年，重庆被“抖音”抖成了“网红城市”，其中解放碑的游客数量明显高于去年同期，如图，小冉和小田决定用所学知识测量解放碑AB的高度，按照以下方式合作并记录所得数据：小冉从大厦DG的底端D点出发，沿直线步行10.2米到达E点，再沿坡度i=1：2.4的斜坡EF行走5.2米到达F点，最后沿直线步行30米到达解放碑底部B点，小田从大厦DG的底端乘直行电梯上行到离D点51.5米的顶端G点，从G点观测到解放碑顶端A点的俯角为26°，若A，B，C，D，E，F，G在同一平面内，且B，F和C，E，D分别在同一水平线上，则解放碑AB的高度约为（）米．（精确到0.1米，参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈.90，tan26°≈0.49）A．29.0 B．28.5 C．27.5 D．27.0【答案】C【分析】作GH⊥BA于H，FM⊥CD于M．想办法求出BC、AH即可解决问题；【详解】解：作GH⊥BA于H，FM⊥CD于M．则四边形BCMF，四边形CDGH是矩形．在Rt△FEM中，FM：EM=1：2.4，EF=5.2m，∴FM=BC=2m，EM=4.8m，CM=BF=30m，∴CD=CM+EM+DE=45m，∴GH=CD=45m，在Rt△AGH中，AH=GH•tan26°≈22.05m，∵CH=DG=51.5m，∴AB=CH﹣BC﹣AH=51.5﹣2﹣22.05≈27.5（m），故选C．【点睛】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．◎考点题型3构造直角三角形求不规则图形的边长或面积例．（2021·全国·九年级专题练习）利用计算机可以辅助数学学习，如图是小明利用几何画板软件，绘制的他家（点）到两个景点，的示意图，景点位于他家的东南（即南偏东）方向，景点位于他家的正南方向，并测得，，则景点位于景点的（

）A．南偏东方向 B．北偏东方向 C．北偏东方向 D．南偏东方向【答案】B【分析】过B作BD⊥AC于D，在Rt△ADB中，，∠DAB=45º利用三角函数求BD=AD=cos∠DAB•AB，然后求出CD，再利用三角函数求出∠C=30º，景点B在景点C的方向就知道了【详解】过B作BD⊥AC于D，在Rt△ADB中，，∠DAB=45º，∴BD=AD=cos∠DAB•AB=，∵，∴CD=AC-AD=km，在Rt△CDB中，∵BD=1km，CD=km，∴tan∠C=，∵tan30º=，∴∠C=30º，景点B在景点C北偏东30º方向，故选择：B．【点睛】本题考查利用解直角三角形确定方位角问题，掌握解直角三角形的方法，方位角的表示方法是解题关键．变式1．（2021·全国·九年级专题练习）如图1是一个小区入口的双翼闸机，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为8cm（如图2），双翼的边缘AC＝BD＝60cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（）A．608 B．608 C．64 D．68【答案】D【分析】过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F，在Rt△AEC中，AC＝60cm，∠PCA＝30°，可求AE，由对称性可知：BF＝AE，通过闸机的物体最大宽度为2AE+AB即可．【详解】过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F，∵AC＝60cm，∠PCA＝30°，∴AEAC＝30（cm），由对称性可知：BF＝AE，∴通过闸机的物体最大宽度为2AE+AB＝60+8＝68（cm）．故选择：D．【点睛】本题考查闸机的最大宽度，关键抓住两翼可以三角形处理，利用30°三角形解决问题．变式2．（2020·浙江·宁波市惠贞书院八年级期末）如图（1）是一个六角星的纸板，其中六个锐角都为60°，六个钝角都为120°，每条边都相等，现将该纸板按图（2）切割，并无缝隙无重叠地拼成矩形ABCD．若六角星纸板的面积为9cm2，则矩形ABCD的周长为（

）A．18cm B．cm C．（+6）cm D．（+6）cm【答案】D【分析】过点E作EF⊥AB于点F，设AE=xcm，则AD=3x,则,然后利用AB•AD=求出x的值，即可得到AD,AB的长度，则周长可求．【详解】解：如图，过点E作EF⊥AB于点F，

∵六个锐角都为60°，六个钝角都为120°，∴设AE=xcm，则AD=3x，∵∠AEB=120°，∴∠EAB=30°，∴AB=2AF=，∵六角星纸板的面积为cm2

，∴AB•AD=，即，解得x=，∴AD=，AB=3，∴矩形ABCD的周长=cm．故选:D．【点睛】本题主要考查解直角三角形和一元二次方程的应用，掌握特殊角的三角函数值，利用方程的思想是解题的关键．变式3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】过B、D两点分别作AC的垂线，利用∠AOD=60°，可推出DG=DO，BH=BO，再利用四边形ABCD的面积等于△ACD的面积加上△ABC的面积，即可求出；【详解】如图，过点D作DG⊥AC于点G，过点B作BH⊥AC于点H，∵∠AOD=60°，∴∠AOD=∠BOC=60°，∴DG=DO，同理可得：BH=BO，S四边形ABCD=×AC×DG+×AC×BH=×AC××（DO+BO）=，故选：C．【点睛】本题考查含30°的直角三角形的性质和四边形面积的计算，熟练掌握含30°直角三角形的性质和不规则四边形面积的计算是解决本题的关键．◎考点题型4仰俯角问题例．（2022·山东枣庄·中考真题）为传承运河文明，弘扬民族精神，枣庄市政府重建了台儿庄古城．某校“综合与实践”小组开展了测量台儿庄古城城门楼（如图①）高度的实践活动，请你帮他们完成下面的实践报告．测量台儿庄古城城门楼高度的实践报告活动课题测量台儿庄古城城门楼高度活动目的运用三角函数知识解决实际问题活动工具测角仪、皮尺等测量工具方案示意图测量步骤如图②（1）利用测角仪站在B处测得城门楼最高点P的仰角为39°；（2）前进了10米到达A处（选择测点A，B与O在同一水平线上，A，B两点之间的距离可直接测得，测角仪高度忽略不计），在A处测得P点的仰角为56°．参考数据sin39°≈0.6，cos39°≈0.8，tan39°≈0.8，sin56°≈0.8，cos56°≈0.6，tan56°≈1.5．计算城门楼PO的高度（结果保留整数）【答案】台儿庄古城城门楼的高度约为17米【分析】设OA＝x米，则OB＝（x+10）米，在Rt△AOP中，利用锐角三角函数可得OP≈1.5OA＝1.5x米，在Rt△BOP中，利用锐角三角函数可得OP≈0.8OB＝0.8（x+10）米，然后列出方程，即可求解．【详解】解：设OA＝x米，则OB＝（x+10）米，在Rt△AOP中，tan∠OAP＝＝tan56°≈1.5，∴OP≈1.5OA＝1.5x米，在Rt△BOP中，tan∠OBP＝＝tan39°≈0.8，∴OP≈0.8OB＝0.8（x+10）米，∴1.5x＝0.8（x+10），解得：x＝，∴OP≈1.5x＝1.5×≈17米，答：台儿庄古城城门楼的高度约为17米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．变式1．（2022·全国·九年级课时练习）某学校九年级的学生去参加社会实践，在风景区看到一棵古松，不知这棵古松有多高，下面是他们的一段对话：甲：我站在此处看树顶仰角为45°.乙：我站在此处看树顶仰角为30°.甲：我们的身高都是1.5m．乙：我们俩相距20m．请你根据两位同学的对话，计算这棵古松DE的高度．（结果保留根号）．【答案】（m）【分析】先在Rt△DBC中，∠DBC=45°，可得，再在Rt△ADC中，∠DAC=30°，可得，即有，再根据，即可求解．【详解】根据题意有：∠DCA=90°，∠DAC=30°，∠DBC=45°，AB=20m，CE=1.5m，∵在Rt△DBC中，∠DBC=45°，∴，∵在Rt△ADC中，∠DAC=30°，∴，∴，∵AB=20，∴，∴，∵CE=1.5m，∴（m），即古松的高度DE为m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，理解仰角的含义是解答本题的基础．变式2．（2022·河南驻马店·九年级期末）驻马店新一代天气雷达楼位于驻马店市天中广场东南角，东临乐山大路，南临通达路．建筑造型采用简洁现代的建筑风格，在结构上通过层层退台的裙房处理及塔楼6个方向曲面变化，利用雷达独特的球形造型，充分体现了驻马店市腾飞的精神面貌，寓意驻马店市像一颗正在冉冉升起的“天中明珠”，屹立于中原大地．某数学活动小组到天中广场测量雷达楼的高度，如图，他们在测量点A处测得雷达楼球形天线罩顶端B的仰角是28°，然后沿水平方向前进100米到达C点，此时测得雷达楼球形天线罩顶端B的仰角是45°；雷达楼底部D和A、C两点在同一水平线上．(1)求雷达楼BD的高度（结果精确到1米，参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）；(2)雷达楼BD的实际高度是110米，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减少误差的合理化建议．【答案】(1)雷达楼的高度约为113米(2)误差为3米，可多次测量，取测量数据的平均值【分析】(1)先设BD=x米；根据题意分析图形，本题涉及到两个直角三角形，Rt△ADB和等腰Rt∆CDB，应利用其公共边BD以及等腰三角形的性质构造等量关系，解三角形可求得DB的值，即可求出答案；(2)计算(1)求得的结果与实际高度的差即可，建议多次测量，去测量数据的平均值．（1）设BD=x米；由题意得：．∴∴∴=x在中，即∴所以雷达楼的高度约为113米．（2）误差为：（米）减少误差的建议：可多次测量，取测量数据的平均值．【点睛】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．变式3．（2022·安徽合肥·九年级期末）如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋大楼顶部的仰角为30°，看这栋大楼底部上方3m处点E的俯角为60°，热气球与大楼的水平距离为80m，求这栋大楼的高度（结果保留整数）．（参考数据：，）【答案】这栋大楼的高度约为188m【分析】在直角三角形ADB中和直角三角形ACD中，根据锐角三角函数中的正切可以分别求得BD和CD的长，从而可以求得BC的长．【详解】解：，，．，．．答：这株大楼的高度约为188m．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是掌握仰角俯角定义，属于中考常考题型．◎考点题型5方位角问题例．（2022·辽宁丹东·中考真题）如图，我国某海域有A，B，C三个港口，B港口在C港口正西方向33.2nmile（nmile是单位“海里”的符号）处，A港口在B港口北偏西50°方向且距离B港口40nmile处，在A港口北偏东53°方向且位于C港口正北方向的点D处有一艘货船，求货船与A港口之间的距离．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）【答案】货船与A港口之间的距离约为80海里【分析】过点A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥AE，垂足为F，根据题意得：EF=BC=33.2海里，AG∥DC，从而可得∠ADC=53°，然后在Rt△AEF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而求出AE的长，最后在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，进行计算即可解答．【详解】解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥AE，垂足为F，由题意得：EF=BC=33.2海里，AG∥DC，∴∠GAD=∠ADC=53°，在Rt△ABF中，∠ABF=50°，AB=40海里，∴AF=AB•sin50°≈40×0.77=30.8（海里），∴AE=AF+EF=64（海里），在Rt△ADE中，AD=≈=80（海里），∴货船与A港口之间的距离约为80海里．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．变式1．（2022·广西梧州·九年级期末）如图，一艘轮船在海面上由南向北航行，当该轮船行驶到B处时，发现灯塔C在它的北偏东34°方向上，轮船继续向北航行，30分钟后到达A处，此时发现灯塔C在它的东北方向上，已知轮船航行的速度是每小时40海里．求此时轮船与灯塔C的距离AC．(结果保留整数，参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67，)【答案】57海里【分析】过点C作CE⊥BD于点E，根据题意求得,在Rt△ACE中,∠CAD=45°设，则,在Rt△BCE中,根据，建立方程，解方程即可求解．【详解】解：过点C作CE⊥BD于点E.由题意知，AB(海里)在Rt△ACE中,∠CAD=45°∴设，则在Rt△BCE中,∴∴，经检验是原方程的根，∴(海里)答:此时轮船与灯塔C的距离AC为57海里【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．变式2．（2022·湖北湖北·九年级专题练习）如图一艘轮船以50海里/小时速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔在北偏东30°方向上．(1)求的度数；(2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问轮船继续向正东方向航行是否安全？【答案】(1)∠APB=30°；(2)轮船继续向正东方向航行是安全的【分析】（1）作PH⊥AB于H．根据平行线的性质求出∠APH，∠BPH，即可求出∠APB的度数；（2）解直角三角形求出PH的值即可判定．（1）解：作PH⊥AB于H．则AC∥PH∥BD，∴∠APH=∠CAP=60°，∠BPH=∠DBP=30°，∴∠APB=∠APH-∠BPH=30°；（2）解：∵∠BAP=∠BPA=30°，∴BA=BP=50海里，在Rt△PBH中，∠PBH=180°-90°-30°=60°，∴PH=PB•sin60°=50×=25（海里），∵25＞25，∴轮船继续向正东方向航行是安全的．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．变式3．（2022·山东德州·二模）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，A在B的正东方向，AB=8km．有一艘小船在点P处，从A处测得小船P在北偏西60的方向，从B处测得小船P在北偏东45°的方向．(1)求点P到海岸线的距离（结果保留根号）；(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．（结果精确到0.1km，，）【答案】(1)(2)点C与点B之间的距离约为5.6km．【分析】（1）过点P作PD⊥AB于点D，设PD=xkm，先字BD=PD=xkm．再求出AD=PD=xkm，然后由BD+AD=AB，列出关于x的方程，解方程即可；（2）过点B作BF⊥AC于点F，先解Rt△ABF，得出BF=AB=2km，再解Rt△BCF，得出BC=BF，即可求解．（1）解：如图，过点P作PD⊥AB于点D．设PD=xkm．在Rt△PBD中，∠BDP=90°，∠PBD=90°-45°=45°，∴BD=PD=xkm．在Rt△PAD中，∠ADP=90°，∠PAD=90°-60°=30°，∴AD=PD=x（km），∵BD+AD=AB，∴x+x=8，解得：x=4-4，答：点P到海岸线l的距离为（4-4）km；（2）解：如图，过点B作BF⊥AC于点F．根据题意得：∠ABC=90°+15°=105°，在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠BAF=30°，∴BF=AB=4（km），在△ABC中，∴∠C=180°-∠BAC-∠ABC=45°．在Rt△BCF中，∠BFC=90°，∠C=45°，∴BC=BF=4≈5.6（km），答：点C与点B之间的距离约为5.6km．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．◎考点题型6坡度比问题例．（2022·浙江宁波·八年级开学考试）如图，扶梯AB的坡比为4：3，滑梯CD的坡比为1：2．设AE=30dm，BC=50dm，一女孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，她经过的总路程是多少（结果保留根号）？【答案】（100+40）dm【分析】首先在直角三角形ABE中求得AB和BE，然后就可以知道CF的长，然后在直角三角形CFD中求得CD的长即可．【详解】解：∵扶梯AB的坡比（BE与AE长度之比）为4：3，AE=30dm，∴BE=40dm，∴AB===50（dm），∵CF=BE=40dm，CD的坡比（CF与DF长度之比）为1：2，∴FD=2CF=2×40=80（dm），∴CD===40（dm），∴她经过的总路程为：AB+BC+CD=50+50+40=（100+40）dm．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟知坡比的定义．变式1．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为i=1：2.4的斜坡AP攀行了26米到达点A，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．(1)求坡顶A到地面PQ的距离；(2)计算古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4）【答案】(1)米(2)约19米【分析】（1）过点A作AH⊥PQ于H，根据斜坡AP的坡度为i=1：2.4，得出，设AH=5k，则PH=12k，，求出k值即可求解．（2）延长BC交PQ于D，根据，AC∥PQ可得，从而得出四边形AHDC是矩形，再根据，得出，利用中，即可求解．（1）解：过点A作AH⊥PQ于H，如图所示：∵斜坡AP的坡度为i=1：2.4，∴，设AH=5k，则PH=12k，则，，解得，，坡顶A到地面PQ的距离为米．（2）延长BC交PQ于D，如图所示：，，，四边形AHDC是矩形，CD=AH=10，AC=DH，，，设BC=x，则，，在中，，即，解得，古塔BC的高度约19米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、锐角三角函数、坡角与坡度、矩形的判定及性质，解题的关键根据题意作出辅助线，构造直角三角形，利用锐角三角函数求解．变式2．（2022·江苏·靖江市教师发展中心二模）如图，是一垂直于水平面的建筑物，一位同学从建筑物底端出发，沿水平方向向左行走11.6米到达点，再经过一段坡路，米，坡面的坡度（即），然后再沿水平方向向左行走4米到达点，在处测得建筑物顶端的仰角37°．(1)求点到建筑物的水平距离；(2)求建筑物的高度．（参考数据：，，，，，，，，均在同一平面内．）【答案】(1)18米；(2)约为14.5米．【分析】（1）延长EC交直线AB于M，则EM⊥AB，过C作CN⊥BF于N，则四边形BMCN是矩形，首先根据CD的坡度求出CN和ND，进而可得EM的值；（2）在Rt△AEM中，根据37°的正切可得AM，再根据AB＝AM+BM可得答案．（1）解：延长EC交直线AB于M，则EM⊥AB，过C作CN⊥BF于N，如图所示：则四边形BMCN是矩形，在Rt△CDN中，∵tan∠CDF＝，∴设CN＝5a，则ND＝12a，∴CD＝＝13a＝2.6，解得a＝0.2，∴CN＝1米，ND＝2.4米，∴EM＝EC+ND+BN＝4+2.4+11.6＝18（米），答：点E到建筑物AB的水平距离是18米；（2）解：在Rt△AEM中，∵AM＝EM•tan37°≈18×0.75=13.5（米），∴AB＝AM+BM＝13.5+1≈14.5（米）．答：建筑物AB的高度约为14.5米．【点睛】本题考查的是矩形的性质、解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．变式3．（2022·海南三亚·一模）如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房方向继续行走10米到达E处测得楼房顶部A的仰角为，已知坡面米，山坡的坡度（坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）．(1)填空：_______度；(2)求楼房AB高度（结果保留根号）．【答案】(1)30(2)楼房AB高度为米．【分析】（1）根据坡度的定义可知，即得出；（2）过D作DG⊥AB于G，DF⊥BM于F，根据∠DCF=30°及CD的长，可求出DF和CF，在两个直角三角形中，分别用AB表示BE、DG，建立方程求解即可．（1）∵，∴，∴．故答案为：；（2）如图，过D作DG⊥AB于G，DF⊥BM于F，则DG=FB，DF=GB．根据题意可知米．∵CD=10米，∠DCF=30°，∴GB=DF=CD=5米，∴CF=DF=米．∵在Rt△ABE中，∠ABE=90°，∠AEB=60°，，∴AB=BE，设BE=x米，则米，AB=x米，AG=AB−BG=(x−5)米．∵在Rt△ADG中，∠AGD=90°，∠ADG=30°，，∴DG=AG．∴，解得：，∴米．答：楼房AB高度为米．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用．正确的作出辅助线是解题关键．◎考点题型7其它问题例．（2022·四川遂宁·九年级专题练习）某中学九年级数学课外学习小组某天下午实践活动课时，测量朝西教学楼前的旗杆的高度．如图所示，当阳光从正西方向照射过来时，旗杆的顶端A的影子落在教学楼前的草坪地C处，测得影长，，，与地面的夹角，在同一时刻，测得一根长为0.5m的直立竹竿的影长恰为1m．根据这些数据求旗杆的高度．【答案】旗杆的高度为（12+2）米【分析】延长CE交AB于H，过E作EG⊥BF于G，则四边形BGEH是矩形，得到EH=BG，BH=EG，利用三角函数求出DG，EG，得到BH，CH，根据同一时刻物高与影长成正比列式求出AH即可．【详解】解：延长CE交AB于H，过E作EG⊥BF于G，则四边形BGEH是矩形，∴EH=BG，BH=EG，在Rt△DEG中，DE=4，∠EDG=60°，∴DG=ED∙cos60°=2，EG=ED∙sin60°=2，∵BD=16，CE=6，∴CH=EH+CE=16+2+6=24，∵在同一时刻，测得一根长为0.5m的直立竹竿的影长恰为1m．∴，即，∴AH=12，∴AB=AH+BH=12+2，答：旗杆的高度为（12+2）米．【点睛】此题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意构造直角三角形是解题的关键．变式1．（2022·吉林·中考真题）动感单车是一种新型的运动器械．图1是一辆动感单车的实物图，图2是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，