第四章-地球椭球数学变换9节课件

15.1.2高斯投影描述想象有一个椭圆柱面横套在地球椭球体外面，并与某一条子午线(此子午线称为中央子午线或轴子午线)相切，椭圆柱的中心轴通过椭球体中心，然后用一定投影方法，将中央子午线两侧各一定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成为投影面。我国规定按经差6°和3°进行投影分带。2023/12/61FundationofGeodesy工程测量控制网也可采用１.5°带或任意带，但为了测量成果的通用，需同国家6°或3°带相联系。高斯投影6°带，自0°子午线起每隔经差6°自西向东分带，依次编号1，2，3，…。我国6°带中央子午线的经度，由69°起每隔6°而至135°，共计12带，带号用n表示，中央子午线的经度用Ｌ０表示，它们的关系是Ｌ０＝６ｎ－３高斯投影3°带，L＝３ｎ‘

2023/12/62FundationofGeodesy2023/12/63FundationofGeodesy在投影面上，中央子午线和赤道的投影都是直线，并且以中央子午线和赤道的交点O作为坐标原点，以中央子午线的投影为纵坐标轴，以赤道的投影为横坐标轴

2023/12/64FundationofGeodesy在我国x坐标都是正的，y坐标的最大值(在赤道上)约为330km。为了避免出现负的横坐标，可在横坐标上加上500000m。此外还应在坐标前面再冠以带号。这种坐标称为国家统一坐标。

Y=19123456.789m，该点位在19带内，其相对于中央子午线而言的横坐标则是：首先去掉带号，再减去500000m，最后得y=-376543.211m。

2023/12/65FundationofGeodesy高斯投影由于是正形投影，故保证了投影的角度的不变性，图形的相似性以及在某点各方向上的长度比的同一性。由于采用了同样法则的分带投影，这既限制了长度变形，又保证了在不同投影带中采用相同的简便公式和数表进行由于变形引起的各项改正的计算，并且带与带间的互相换算也能用相同的公式和方法进行。

2023/12/66FundationofGeodesy15.1.3椭球面元素化算到高斯投影面

椭球面三角形投影后变为边长si＞Ｓｉ的曲线三角形，且这些曲线都凹向纵坐标轴

2023/12/67FundationofGeodesy将椭球面三角系归算到高斯投影面

1)将起始点P的大地坐标(L，B)归算为高斯平面直角坐标x,y；为了检核还应进行反算，亦即根据x,y反算B，L，这项工作统称为高斯投影坐标计算。2)将椭球面上起算边大地方位角归算到高斯平面上相应边P’K’的坐标方位角，这是通过计算该点的子午线收敛角γ及方向改化δ实现的。2023/12/68FundationofGeodesy3)将椭球面上各三角形内角归算到高斯平面上的由相应直线组成的三角形内角。这是通过计算各方向的曲率改化即方向改化来实现的。4)将椭球面上起算边PK的长度S归算到高斯平面上的直线长度s。这是通过计算距离改化Δｓ实现的。2023/12/69FundationofGeodesy要将椭球面三角系归算到平面上，包括坐标、曲率改化、距离改化和子午线收敛角等项计算工作。

当控制网跨越两个相邻投影带，以及为将各投影带联成统一的整体，还需要进行平面坐标的邻带换算。

2023/12/610FundationofGeodesy15.2正形投影的一般条件

在正形投影中长度比与方向无关

15.2.1长度比的通用公式

2023/12/611FundationofGeodesy2023/12/612FundationofGeodesy2023/12/613FundationofGeodesy15.2.2柯西.黎曼条件

2023/12/614FundationofGeodesy2023/12/615FundationofGeodesy2023/12/616FundationofGeodesy2023/12/617FundationofGeodesy15.3高斯投影坐标正反算公式

15.3.1高斯投影坐标正算公式高斯投影必须满足以下三个条件：(1)中央子午线投影后为直线；(2)中央子午线投影后长度不变；(3)投影具有正形性质，即正形投影条件。2023/12/618FundationofGeodesy由第一个条件可知，由于地球椭球体是一个旋转椭球体，所以高斯投影必然有这样一个性质，即中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线。x为l的偶函数，而y则为l的奇函数。第三个条件

2023/12/619FundationofGeodesym0=?由第二条件可知，位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标x应该等于投影前从赤道量至该点的子午弧长，即当l=0时，

2023/12/620FundationofGeodesy2023/12/621FundationofGeodesy2023/12/622FundationofGeodesy15.3.2高斯投影坐标反算公式

在高斯投影坐标反算时，原面是高斯平面，投影面是椭球面，已知的是平面坐标(x,y)，要求的是大地坐标(B，L)，相应地有如下投影方程同正算一样，对投影函数提出三个条件：(1)x坐标轴投影成中央子午线，是投影的对称轴(2)x轴上的长度投影保持不变；(3)正形投影条件。

2023/12/623FundationofGeodesy2023/12/624FundationofGeodesy2023/12/625FundationofGeodesy2023/12/626FundationofGeodesy2023/12/627FundationofGeodesy15.3.3高斯投影正反算公式的几何解释

2023/12/628FundationofGeodesy2023/12/629FundationofGeodesy高斯投影的特点

(1)当l等于常数时，随着B的增加x值增大，y值减小；又因，所以无论B值为正或负，y值不变。这就是说，椭球面上除中央子午线外，其他子午线投影后，均向中央子午线弯曲，并向两极收敛，同时还对称于中央子午线和赤道。

2023/12/630FundationofGeodesy(2)当B等于常数时，随着l的增加，x值和y值都增大。所以在椭球面上对称于赤道的纬圈，投影后仍成为对称的曲线，同时与子午线的投影曲线互相垂直凹向两极。(3)距中央子午线愈远的子午线，投影后弯曲愈厉害，长度变形也愈大。2023/12/631FundationofGeodesy15.4高斯投影坐标计算的实用公式及算例

1.高斯投影正算公式

2023/12/632FundationofGeodesy2.高斯投影反算公式

2023/12/633FundationofGeodesy3.算例A00122o15’58”.98294111o28’52”.15387L0=111oWGS84(6378137,298.257223563)A0012463376.650249592.0721GDZ80(6378140,298.257)A0012463377.797349592.0955BJ54(6378245,298.3)A0012463420.565749592.90842023/12/634FundationofGeodesy15.5平面子午线收敛角公式

15.5.1平面子午线收敛角的定义

2023/12/635FundationofGeodesy15.5.2公式推导

1.由大地坐标L、B计算平面子午线收敛角γ的公式

2023/12/636FundationofGeodesy2023/12/637FundationofGeodesy(1)γ为l的奇函数，而且l愈大，γ也愈大；(2)γ有正负，当描写点在中央子午线以东时，γ为正；在西时，γ为负；

(3)当l不变时，则γ随纬度增加而增大。2023/12/638FundationofGeodesy2.由平面坐标x,y计算平面子午线收敛角γ的公式

2023/12/639FundationofGeodesy15.6方向改化公式

2023/12/640FundationofGeodesy15.6.1方向改化近似公式的推导在球面上四边形ABED的内角之和等于360°+ε由于是等角投影，所以这两个四边形内角之和应该相等，即2023/12/641FundationofGeodesy2023/12/642FundationofGeodesy2023/12/643FundationofGeodesy15.6.2方向改化较精密公式

2023/12/644FundationofGeodesy首先为计算方向改正的数值，必须预先知道点的平面坐标。然而要精确知道点的平面坐标，却又要先算出方向改正值，所以这是一个矛盾。解决这个矛盾的办法，就要采用逐次趋近计算。2023/12/645FundationofGeodesy令Δδ″＝0.1″，并设ｙ＝350km，x2-x1=10km，则得ΔＰ≈0.1km。概略坐标计算至0.1km，即可满足三等方向改化计算精度的要求2023/12/646FundationofGeodesy2023/12/647FundationofGeodesy15.7距离改化公式

2023/12/648FundationofGeodesy15.7.1s与D的关系

2023/12/649FundationofGeodesy当δ取最大40″，s=50km时，代入上式得。因此，用D代替s在最不利情况下，误差也不会超过1mm。而实际上，边长要比50km短得多，此时误差将会更小。所以在应用上，完全可以认为大地线的平面投影曲线的长度s等于其弦线长度D。

2023/12/650FundationofGeodesy15.7.2长度比和长度变形

1.用大地坐标(B,l)表示的长度比m的公式

2023/12/651FundationofGeodesy2.用平面坐标(x,y)表示的长度比m的公式

2023/12/652FundationofGeodesy(1)长度比m只与点的位置(B，l)或(x,y)有关(2)中央子午线投影后长度不变

(3)当y≠0(或l≠０)时，m恒大于1(4)长度变形(m-1)与y２（或l２）成比例地增大,而对某一条子午线来说，在赤道处有最大的变形

2023/12/653FundationofGeodesy15.7.3距离改化公式将椭球面上大地线长度S描写在高斯投影面上，变为平面长度D

2023/12/654FundationofGeodesy15.8高斯投影的邻带坐标换算

(1)位于两个相邻带边缘地区并跨越两个投影带(东、西带)的控制网

2023/12/655FundationofGeodesy(2)在分界子午线附近地区测图时，往往需要用到另一带的三角点作为控制，因此必须将这些点的坐标换算到同一带中

(3)当大比例尺(1∶10000或更大)测图时，特别是在工程测量中，要求采用3°带、1.5°带或任意带，而国家控制点通常只有6°带坐标，这时就产生了6°带同3°带(或1.5°带、任意带)之间的相互坐标换算问题。

2023/12/656FundationofGeodesy用高斯投影正、反算公式进行邻带换算

利用高斯投影正反算公式进行邻带坐标换算的实质是把椭球面上的