高中数学培优讲义练习（选择性必修一）：椭圆及其标准方程-重难点题型精讲（学生版）

专题3.1椭圆及其标准方程-重难点题型精讲1．椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点,的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距.

(2)椭圆定义的集合表示P={,2a>}.2．椭圆的标准方程椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：3．椭圆方程的求解(1)用定义法求椭圆的标准方程

根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.(2)用待定系数法求椭圆的标准方程

①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）.②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答.4．椭圆的焦点三角形(1)焦点三角形的概念

设M是椭圆上一点，,为椭圆的焦点，当点M,,不在同一条直线上时，它们构成一个三角形——焦点三角形，如图所示.(2)焦点三角形的常用公式

①焦点三角形的周长L=2a+2c.

②在中，由余弦定理可得.

③设，，则.【题型1曲线方程与椭圆】【方法点拨】根据所给曲线方程表示椭圆，结合椭圆的标椎方程进行求解，即可得出所求.【例1】（2022·湖北·高三期末）已知曲线C:x24a+y23a+2A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【变式1-1】（2021·全国·高二专题练习）“1<m<5”是“方程x2m−1+A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式1-2】（2022·全国·高二课时练习）已知方程x225−m+y2m+9=1A．−9<m<25 B．−8<m<25C．9<m<25 D．8<m<25【变式1-3】（2022·全国·高二课时练习）若方程x225−k+y2k−9=1A．9,25 B．−∞,9∪25,+【题型2椭圆的定义】【方法点拨】利用椭圆的定义解决涉及焦点相关问题的计算：一般地，遇到有关焦点问题时，首先应考虑用定义来解题，如题目中有椭圆上的点到两焦点的距离可考虑用定义解题，另外，对定义的应用也应有深刻理解，知道何时应用、怎样应用.【例2】（2023·全国·高三专题练习）点P为椭圆4x2+y2=16上一点，F1，FA．13 B．1 C．7 D．5【变式2-1】（2022·全国·高二课时练习）设P为椭圆C:x216+y212=1上的点，F1，FA．32 B．2 C．56【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）已知F1，F2是椭圆C:x29+y23A．13 B．12 C．9 D．6【变式2-3】（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆x29+y22=1的左、右焦点分别为F1,A．30° B．60° C．120° D．150°【题型3椭圆方程的求解】 【方法点拨】(1)用定义法求椭圆的标准方程根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.(2)用待定系数法求椭圆的标准方程根据所给条件设出椭圆的标准方程，代入点，即可得解.【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的两个焦点为F1(−5,0)，F2(5,0)，A．x27+y22=1 B．【变式3-1】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆的两个焦点的坐标分别是−22,0和22,0，且椭圆经过点A．x216+C．x224+【变式3-2】（2022·宁夏二模（文））已知椭圆C的一个焦点F（0，-5），P为C上一点，满足|OP|=|OF|,|PF|=4则椭圆C的标准方程为（）A．y215+C．y212+【变式3-3】（2021·全国·高二课时练习）椭圆的焦点坐标为(﹣5，0)和(5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为（

）A．x2169+y2144＝1 B．x2144+y2169＝1 C．【题型4动点轨迹方程的求法】【方法点拨】解椭圆有关的动点轨迹问题主要有以下两种思路：(1)直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系“翻译”成含x,y的等式就得到曲线的轨迹方程.(2)定义法：若动点的轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量.【例4】（2021·全国·高二课时练习）已知A(0，－1)，B(0，1)两点，△ABC的周长为6，则△ABC的顶点C的轨迹方程是（

）A．x24+B．y24+C．x24+D．y24+【变式4-1】（2021·全国·高二课前预习）若动点Mx,y始终满足关系式x2+(y+2)2A．x216+y212=1 B．【变式4-2】（2022·江苏·高二开学考试）已知圆C的方程为x−12+y2=16，B−1,0，A为圆C上任意一点，若点P为线段AB的垂直平分线与直线A．x216+y29=1 B．【变式4-3】（2022·全国·高二专题练习）已知△ABC的周长等于10，BC=4，通过建立适当的平面直角坐标系，顶点A的轨迹方程可以是（

A．x29+C．x236+【题型5椭圆中的焦点三角形问题】【方法点拨】①关于椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出=2a，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法.②在椭圆中，焦点三角形引出的问题很多，在处理这些问题时，经常利用定义结合正弦定理、余弦定理及勾股定理等来解决，还经常用到配方法、解方程及把看成一个整体等.【例5】（2022·全国·高二课时练习）已知点P在椭圆x216+y24=1上，F1与A．43 B．63 C．83【变式5-1】（2022·全国·高三专题练习）若F为椭圆C：x225+y216=1的右焦点，A，B为A．4 B．8 C．10 D．20【变式5-2】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆x24+y23=1的两个焦点为F1，F2，过FA．2 B．4 C．6 D．8【变式5-3】（2022·全国·高二专题练习）设P为椭圆x225+y216=1上一点，FA．△PF1F2为锐角三角形C．△PF1F2为直角三角形 D．P，【题型6椭圆中的最值问题】【例6】（2022·全国·高二课时练习）已知F是椭圆C:x24+y23=1的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点A．3 B．5 C．41 D．13【变式6-1】（2022·全国·高二课时练习）F1，F2分别为椭圆x24+y23=1的左､A．4−102 B．2−1