专题12.8一次函数关系式的常见类型（知识梳理与考点分类讲解）-八年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（沪科版）

专题12.8一次函数关系式的常见类型（知识梳理与考点分类讲解）【常见类型】【类型1】定义型【类型2】一点型【类型3】两点型【类型4】图象型【类型5】斜截型【类型6】应用型【类型7】面积型【类型8】平移型【类型9】对称型【考点一】定义型【例1】（2023秋·八年级课时练习）已知函数．（1）当为何值时，是的一次函数，并写出关系式；（2）当为何值时，是的正比例函数，并写出关系式．【答案】（1）当m=2，n为任意实数时，是的一次函数，关系式为；（2）当m=2，n=4时，是的正比例函数，关系式为【分析】（1）根据一次函数的定义即可求出结论；（2）根据正比例函数的定义即可求出结论．解：（1）由题意可得，n可以取任意实数解得：m=2∴∴当m=2，n为任意实数时，是的一次函数，关系式为；（2）由题意可得，解得：∴∴当m=2，n=4时，是的正比例函数，关系式为．【点拨】此题考查的是根据一次函数和正比例函数的定义，求参数问题，掌握一次函数和正比例函数的定义是解题关键．【举一反三】【变式1】（2022秋·八年级单元测试）在平面直角坐标系中，若一个正比例函数的图象经过A（5，b），B（a，4）两点，则a，b一定满足的关系式为（

）A．a﹣b＝1 B．a＋b＝9 C．a•b＝20 D．＝【答案】C【分析】设该正比例函数是y＝kx（k≠0），将A、B两点的坐标分别代入，通过整理求得a，b一定满足的关系式．解：设该正比例函数是y＝kx（k≠0），则b＝5k，4＝ak．∴＝，∴ab＝20.故选：C．【点拨】本题考查了正比例函数的概念，关键是清楚图象经过点，则点的坐标满足函数解析式．【变式2】（2022秋·安徽蚌埠·八年级校考阶段练习）已知与成正比,且当时,，则y与x的关系式是.【答案】y=2x4【分析】由与成正比例可设=k（）（k≠0），代入时,即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论．解：∵与成正比，∴设=k（k≠0）．∵当时,，∴62=k（1+3），解得：，∴∴y与x的关系式为y=2x4故答案为y=2x4.【点拨】本题考查了正比例的意义，根据正比例的定义正确设未知数是解题关键．【考点二】一点型【例2】（2023春·福建莆田·八年级校考期中）已知直线上l：经过点．（1）求直线l的解析式；（2）判断点是否在直线l上，请说明理由．【答案】（1）；（2）在直线l上，理由见详解【分析】（1）根据待定系数法可求解函数解析式；（2）把代入（1）中解析式进行求解即可．（1）解：把点代入解析式得：，解得：，∴直线l的解析式为；（2）解：由题意可把代入得：，∴点在直线l上．【点拨】本题主要考一次函数的图象与性质，熟练掌握利用待定系数法求解函数解析式是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2021秋·广西梧州·八年级统考期中）已知一次函数的图象经过，则k的值是（

）A．3 B． C．6 D．【答案】A【分析】把代入一次函数求出k的值即可．解：把代入一次函数得：，解得：，故A正确．故选：A．【点拨】本题主要考查了求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法．【变式2】（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考阶段练习）已知一次函数与的图象都经过，且与y轴分别交于B，C，则的面积为．【答案】【分析】利用待定系数法求得a、b的值，求得点B，C的坐标，再利用三角形的面积公式计算即可．解：∵一次函数与的图象都经过，把代入得，，∴，∴一次函数解析式为，∴，把得，，∴，∴一次函数解析式为，∴，∴，∴，故答案为：6．【点拨】本题考查两直线的交点问题、一次函数的图象上点的特征，通过已知点的坐标求函数解析式是解题的关键．【考点三】两点型【例3】（2023春·吉林长春·八年级校考期中）已知某一次函数的图像经过点，，求这个一次函数的解析式．【答案】【分析】将，代入求出k、b的值，再将k、b的值反回代入中，即可得到一次函数的解析式．解：将，代入，得，解得，∴一次函数的解析式为．【点拨】本题主要考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2023春·安徽池州·八年级统考开学考试）若弹簧的总长度是所挂重物x（千克）的一次函数图象如图，则不挂重物时，弹簧的长度是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用待定系数法求一次函数解析式，再令，进行求解即可．解：设一次函数解析式为，∵点、点在一次函数图象上，∴，解得，∴一次函数解析式为，当时，，∴不挂重物时，弹簧的长度是，故选：B．【点拨】本题考查利用待定系数法求一次函数解析式、求函数值，熟练利用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．【变式2】（2023春·安徽宿州·八年级校考开学考试）如图，直线与轴、轴交于点、，、分别是、的中点，点是轴上一个动点，则的最小值为，此时点的坐标为．【答案】【分析】如图，作点关于轴对称的点，连接，由，可知当点P在上时，的值最小，当时，，即；当时，，解得，即，由、分别是、的中点，可得，，，即，进而可得的最小值，待定系数法求得直线的表达式为，当时，，即点的坐标为．解：如图，作点关于轴对称的点，连接，∵，∴当点P在上时，的值最小，当时，，即；当时，，解得，即，∵、分别是、的中点，∴，，∴，∴，∴的最小值为，设直线的表达式为，将，代入得，解得，∴直线的表达式为，当时，，∴点的坐标为，故答案为：，．【点拨】本题考查了一次函数解析式，对称的性质，勾股定理求两点之间的距离．解题的关键在于明确线段和最小的情况．【考点四】图像型【例4】（2023秋·贵州遵义·九年级校考阶段练习）如图，直线的解析式为，且与轴交于点D，直线经过点A、B，直线、交于点C．

（1）求的面积；（2）在直线上存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等，请求出点P的坐标．【答案】（1）；（2）【分析】（1）已知的解析式，令求出x的值即可求出，设的解析式为，由图联立方程组求出k，b的值，即可得直线的解析表达式为；联立方程组，求出交点C的坐标，继而可求出；（2）与底边都是，面积相等所以高相等，高就是点C到的距离．解：（1）由，令，得，∴，∴；设直线的解析表达式为，由图象知：，，代入表达式，∴，∴，∴直线的解析表达式为；由，解得，∴，∵，∴；（2）与底边都是，面积相等所以高相等，高就是点C到直线的距离，即C纵坐标的绝对值，则P到距离，∴P纵坐标的绝对值，点P不是点C，∴点P纵坐标是3，∵，，即．【点拨】本题考查的是一次函数的图象与性质，二元一次方程组，以及三角形面积的计算等有关知识，难度中等．掌握一次函数的图象与性质，是解答本题的关键．【举一反三】【变式1】（2023·河南郑州·河南省实验中学校考模拟预测）如图是y关于x的一个函数图象，根据图象，下列说法正确的是（

）A．该函数的最小值为 B．当时，y随x的增大而增大C．当时，对应的函数值 D．当和时，对应的函数值相等【答案】C【分析】分别求出和时的函数解析式，结合图象，逐一进行判断即可．解：A、由图象可知，函数的最小值为；故该选项错误；B、当时，y随x的增大而增大，故该选项错误；C、设时，函数的解析式为，由图可知，点，在直线上，∴，解得：，∴，∴当时，，故该选项正确；D、当时，，设时，函数的解析式为，由图可知，点在直线上，∴，解得：，∴，∴当时，；∴当和时，对应的函数值不相等；故该选项错误；故选C．【点拨】本题考查一次函数的图象和性质，解题的关键是正确的求出函数的解析式，利用数形结合的思想进行求解．【变式2】（2023秋·山东泰安·七年级统考期末）如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，点，有下列结论：①图象经过点；②关于的方程的解为；③当时，．其是正确的是．【答案】②③【分析】待定系数法求出函数解析式，根据图象法解方程，增减性判断函数值的变化情况，逐一进行判断即可．解：∵一次函数的图象与轴，轴分别交于点，点，∴，解得：，∴，当时，，；∴图象不经过点；故①错误；一次函数的图象与轴交于点，∴关于的方程的解为；故②正确；由图象可知，随的增大而减小，∴当时，；故③正确；故答案为：②③【点拨】本题考查一次函数的图象和性质，待定系数法求出函数解析式，利用函数的性质和图象法求解，是解题的关键．【考点五】斜截型【例5】（2019秋·安徽合肥·八年级校联考阶段练习）已知一次函数的图象平行于y＝﹣x，且截距为1．（1）求这个函数的解析式；（2）判断点P（﹣2，）是否在这个函数的图象上．【答案】（1）y＝﹣x+1；（2）不在．【分析】（1）根据两平行直线的解析式的k值相等可求出k，再由截距为1求出b值，即可得解；（2）把点代入函数解析式检验即可.解：（1）设这个函数的解析式为，∵一次函数的图象平行于，且截距为1，∴这个函数的解析式为；（2）当时，，故点不在这个函数的图象上.【点拨】本题考查了一次函数的定义和性质，如果两条直线平行，则他们的函数解析式的k值相等，这条性质常常用来解题，需熟记.【举一反三】【变式1】（2021秋·安徽六安·八年级校考阶段练习）若y关于x的一次函数y=（2m+1）xm+3，y随x的增大而增大，且截距不大于1，则m的取值范围是（

）A．m> B．m≥4 C．＜m≤2 D．m≥2【答案】D【分析】根据题意，可得一次函数的，，据此列出不等式组，即可求得m的取值范围．解：依题意，解得故选D．【点拨】本题考查了一次函数的性质，解一元一次不等式组，掌握一次函数的性质是解题的关键．【变式2】（2023春·上海闵行·八年级统考期末）直线在y轴上的截距为，且平行于：，那么直线的表达式为．【答案】/【分析】根据互相平行的直线的解析式k的值相等确定出k，根据“在y轴上的截距是”求出b值，即可得解．解：∵直线平行于直线，∴．又∵直线在y轴上的截距是，∴，∴这条直线的解析式是．故答案为：．【点拨】本题考查了两直线平行的问题，熟记并利用平行直线的解析式的k值相等是解题的关键．【考点六】应用型【例6】（2022春·湖南怀化·八年级统考期末）一辆轿车在高速公路上匀速行驶，油箱存油量Q（升）与行驶的路程S（km）成一次函数关系．若行驶100km时，油箱存油43.5升，当行驶300km时，油箱存油30.5升，请求出这个一次函数关系式，并写出自变量S的取值范围．【答案】，自变量S的取值范围为【分析】根据题目意思设出函数关系式，根据已知条件用待定系数法解出函数关系式中的参数，可得函数关系式，当时，此时的S为最大值，最小值为0，即可写出S的取值范围．解：设：，根据题意的方程组，解得，则该一次函数解析式为：，当时，，∴，∴自变量S的取值范围为．【点拨】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法确定函数解析式，注意函数自变量的取值范围应符合实际问题有意义是解答本题的关键．【举一反三】【变式1】（2023春·全国·八年级专题练习）某商场为了增加销售额，推出“七月销售大酬宾”活动，其活动内容为：“凡七月份在该商场一次性购物超过100元以上者，超过100元的部分按9折优惠．”在大酬宾活动中，小王到该商场为单位购买单价为60元的办公用品x件（x＞2），则应付货款y（元）与商品件数x的函数关系式是（

）A．y＝54x（x＞2） B．y＝54x＋10（x＞2）C．y＝54x＋90（x＞2） D．y＝54x＋100（x＞2）【答案】B【分析】由题意得，则销售价超过100元，超过的部分为60x−100，即可得．解：∵，∴销售价超过100元，超过部分为60x﹣100，∴y＝100+（60x﹣100）＝54x+10（，且x为整数），故选：B．【点拨】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系．【变式2】（2023春·湖南永州·八年级统考期末）小胜参加2023年的高考，到达考点时发现没有带身份证，求助交警后，交警驱车载小胜迅速回到离考点2千米的家取身份证，并立即返回考场，小胜离考点行驶路程y（米）与时间x（分钟）之间的变化关系如右图所示，根据图像中的数据，写出与之间的函数表达式．【答案】【分析】根据待定系数法求解析式即可求解．解：设与之间的函数表达式为，将点代入得，，解得：，∴与之间的函数表达式为，故答案为：．【点拨】本题考查了待定系数法求解析式，数形结合是解题的关键．【考点七】面积型【例7】（2023春·八年级单元测试）如图1，在四边形中，，，，．若动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿着的路线向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，图2是点P出发t秒后，的面积S与t的函数图像．（1）a=______，b=______；（2）求MN所在直线对应的函数表达式；（3）运动几秒后，的面积为14？【答案】（1），7；（2）；（3）秒或秒【分析】（1）结合四边形的形状、S与t的函数图像，判断出，，时，点P的位置，利用时间、速度、路程的关系即可求解；（2）求出点M，N的坐标，利用待定系数法求解；（3）的面积为14时，对应的点在线段或上，将代入对应直线的函数解析式即可求解．（1）解：由图可知，当时，点P运动到点C，当时，点P运动到点D，当时，点P运动到点A，，由图可知，点P运动到点C时，，，解得，，，，，故答案为：，7；（2）解：由（1）知点M的坐标为，当时，点P运动到点D，当时，，点M的坐标为，设所在直线对应的函数表达式为，将，代入，得：，解得，；（3）解：由题意知，的面积为14时，对应的点在线段或上，当对应的点在线段上时，设的函数解析式为，将代入，得：，解得，的函数解析式为，当时，；当对应的点在线段上时，当时，，解得，综上可知，运动秒或秒后，的面积为14．【点拨】本题考查一次函数的实际应用，涉及三角形面积公式、求一次函数解析式及自变量的值等，解题的关键是根据图形判断出不同时间段内点P的位置．【举一反三】【变式1】（2023春·河南商丘·八年级统考期末）如图，已知直线与坐标轴分别交于、两点，那么过原点且将的面积平分的直线的解析式为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据直线与坐标轴的交点坐标求法得到、两点坐标，再由的面积被中线平分得到中点坐标，利用待定系数法即可求出过原点且将的面积平分的直线的解析式．解：直线与坐标轴分别交于、两点，当时，，即；当时，，解得，即；由三角形中线平分三角形面积可知，过原点且将的面积平分的直线过中点，中点为，即，设直线的解析式为，将代入得到，则，故选：B．【点拨】本题考查待定系数法求直线解析式，涉及求直线与坐标轴交点坐标、中线平分三角形面积、中点坐标求法等知识，熟练掌握一次函数图像与性质是解决问题的关键．【变式2】（2023春·上海·八年级专题练习）已知直线与坐标轴围成的三角形面积是，且经过，则这条直线的表达式是．【答案】或【分析】先根据面积求出三角形在轴上边的长度，再分正半轴和负半轴两种情况讨论求解．解：根据题意，设与轴交点坐标为则，解得，，当时，与轴交点为∴，解得，函数解析式为；当时，与轴的交点为∴解得，函数解析式为．这个一次函数的解析式是或．故答案为：或．【点拨】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，先根据三角形面积求出与轴的交点，再利用待定系数法求函数解析式，本题需要注意有两种情况．【考点八】平移型【例8】（2022春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）已知直线经过、．（1）求直线的解析式及与坐标轴围成的图形的面积；（2）将向下平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到直线，直接写出的解析式______．【答案】（1）；3；（2）【分析】（1）用待定系数法求出直线的解析式，根据三角形面积公式求出与坐标轴围成的图形的面积即可；（2）根据平移的规律求出直线的解析式即可．（1）解：设直线的解析式为，把、代入得：，解得：，∴直线的解析式为；直线与坐标轴围成的图形的面积为．（2）解：将向下平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度后得出的直线的解析式为：，即，故答案为：．【点拨】本题主要考查了求一次函数解析式，直线与坐标轴围成的图形面积，一次函数的平移，解题的关键是熟练掌握待定系数法和平移规律．【举一反三】【变式1】（2023春·云南昆明·八年级统考期末）把直线向上平移后得到直线，若直线经过点，且，则直线的表达式为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设向上平移d个单位，则平移后的直线的解析式为，根据题意直线经过点，得出，结合已知条件，即可求解．解：设向上平移d个单位，则平移后的直线的解析式为，∵直线经过点，∴，即，又，∴，∴直线的解析式为，故选：D．【点拨】本题考查了一次函数的平移，熟练掌握一次函数的平移规律是解题的关键．【变式2】（2022·江苏苏州·统考一模）如图，已知为直线上一点，先将点A向下平移a个单位长度，再向右平移4个单位长度至点B，再将点B向下平移a个单位长度至点C．若点C恰好落在直线l上，则a的值为．【答案】4【分析】先将点A代入y=2x+b求得b的值，得到直线的解析式，然后用含有a的式子表示点C，再将点C的坐标代入直线的解析式求得a的值．解：点A（1，6）代入y=2x+b得，2×1+b=6，解得：b=8，∴直线l的解析式为y=2x+8，∵点A向下平移a个单位长度，再向右平移4个单位长度至点B，再将点B向下平移a个单位长度至点C，∴点C的坐标为（5，62a），将点C的坐标代入直线的解析式y=2x+8得，2×5+8=62a，解得：a=4，故答案为：4．【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键用待定系数法求得一次函数的解析式．【考点九】对称型【例9】（2023春·河南洛阳·八年级统考期末）如图，在矩形中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是，与关于直线对称，且点E在对角线上．

（1）求线段的长；（2）求点D的坐标及直线的函数表达式．【答案】（1）10；；（2），．【分析】（1）根据点B的坐标，利用勾股定理直接计算出长；（2）设，则，，，利用勾股定理可求出长，点的坐标可求，根据B、D坐标，待定系数法可求直线解析式．解：（1）∵点B的坐标是，∴，，在中，由勾股定理得：；（2）∵与关于直线对称，∴，，，在中，设，则，，，由勾股定理得得，，解得，∴，∴，设的解析式为，∵在直线上，∴，∴，∴的解析式为．【点拨】本题考查了坐标与图形的性质，勾股定理，轴对称的性质，待定系数法求函数解析式，根据条件灵活设解析式便于简化计算．【举一反三】【变式1】（2023秋·全国·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，直线与直线关于直线对称，则k，b的值分别为（