11.3.2多边形的内角和课件人教版数学八年级上册

多边形的内角和

2023—2024学年人教版数学八年级上册

1．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于______．

2．正方形、长方形的内角和都等于______．180°360°任意一个四边形的内角和是否也等于360°呢？你能利用三角形内角和定理证明四边形的内角和等于360°吗？思考ABDC4

证明：如图，在四边形ABCD中，连接对角线AC，则四边形ABCD被分为△ABC和△ACD两个三角形．由此可得∠DAB＋∠B＋∠BCD＋∠D＝∠1＋∠2＋∠B＋∠3＋∠4＋∠D＝(∠1＋∠B＋∠3)＋(∠2＋∠4＋∠D)．∵∠1＋∠B＋∠3＝180°，∠2＋∠4＋∠D＝180°，∴∠DAB＋∠B＋∠BCD＋∠D＝180°＋180°＝360°．即四边形的内角和等于360°．已知：四边形ABCD．求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°．ABDC213

证明：如图，在四边形内任取一点O，连接点O与各个顶点．此时，四边形变成有公共顶点的4

个三角形．∵这4个三角形的内角和是4×180°，以O为公共顶点的4个角的和是360°，∴四边形的内角和为

4×180°－360°＝360°．你还有其他方法能证明任意四边形的内角和等于360°吗？思考ABDCO你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少吗？问题从五边形的一个顶点出发，可以作____条对角线，它们将五边形分为____个三角形，五边形的内角和等于180°×____．从六边形的一个顶点出发，可以作____条对角线，它们将六边形分为____个三角形，六边形的内角和等于180°×____．233434通过以上过程，你能发现多边形的内角和与边数的关系吗？问题一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作______条对角线，它们将n边形分为______个三角形，n边形的内角和等于______________．这样就得出了多边形内角和公式：(n－3)(n－2)180°×(n－2)

n边形内角和等于(n－2)×180°．

1．如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？

解：如图，在四边形ABCD

中，∠A＋∠C＝180°．∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D

＝(4－2)×180°＝360°，∴∠B＋∠D＝360°－(∠A＋∠C)＝360°－180°＝180°．ABCD如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补．

2．如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？

分析：考虑以下问题：（1）任何一个外角同与它相邻的内角有什么关系？（2）六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和是多少？（3）上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系？6543ABCDEF216543

2．如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？

解：六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180°．因此六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和等于6×180°．这个总和就是六边形的外角和加上内角和．所以外角和等于总和减去内角和，即外角和等于

6×180°－(6－2)×180°＝2×180°＝360°．ABCDEF21如果将六边形换为n边形（n是不小于3的任意整数），可以得到同样结果吗？思考

解：可以，因为n

边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，它们的和是180°，所以n

边形内角和加外角和等于n·180°，所以n

边形的外角和为n·180°－(n－2)·180°＝360°．多边形的外角和等于360°．思考观察下面的动图，试着用另一种角度证明多边形的外角和等于360°．观察下面的动图，试着用另一种角度证明多边形的外角和等于360°．思考思考如图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发时的方向．在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和．由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°．观察下面的动图，试着用另一种角度证明多边形的外角和等于360°．A

例1

若一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形是正____边形，它的对角线的总条数是____．

解析：设此正多边形为正n

边形．根据题意，得

(n－2)×180°＝540°，解得n＝5．故这个正多边形对角线条数为

．五5归纳利用多边形的内角和列方程求边数已知多边形的内角和，确定多边形边数的问题，一般都是利用方程进行解决的，列方程的依据很简单，就是多边形内角和公式，所以牢记公式是关键．

例2

如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数．

分析：先将待求式中∠C，∠D，∠E转化到同一个多边形中，再将剩余的∠A，∠B，∠F，∠G转化为该多边形的内角，最后利用多边形的内角和公式求解．ACDEGBF

解：如图，连接BF．设GF与AB的交点为H，则∠A＋∠G＋∠AHG＝∠BHF＋∠ABF＋∠GFB．因为∠AHG＝∠BHF，所以∠A＋∠G＝∠ABF＋∠GFB．所以∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＝∠D＋∠C＋∠CBF＋∠BFE＋∠E＝(5－2)×180°＝540°．

例2

如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数．ACDEGBFH归纳求不规则多边形内角和的常用方法（1）连线：连接两点或连对角线化成三角形或四边形问题来解决；（2）化凸：非凸多边形的计算问题要将其转化为凸多边形的问题来解决．1080°

例3

一个多边形的每个外角都是45°，这个多边形是____边形，它的内角和是______．

解析：方法1：因为每个外角都是45°，且多边形外角和为360°，所以360°÷45°＝8，所以是八边形．根据内角和公式计算出内角和为

(n－2)×180°＝(8－2)×180°＝1080°．八

例3

一个多边形的每个外角都是45°，这个多边形是____边形，它的内角和是______．

解析：方法2：因为多边形的外角与相邻的内角互补，且该多边形的每个外角均为45°，所以此多边形的内角均为135°．设此多边形的边数为n．由内角和公式可得

(n－2)×180°＝n×135°，解得n＝8，其内角和为(8－2)×180°＝1080°．八1080°归纳巧用多边形的外角方便计算（1