2023届安徽省肥东圣泉中学高三第一次诊断考试数学试题理试题

2023届安徽省肥东圣泉中学高三第一次诊断考试数学试题理试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合（/=区，A={y|yN0},8={，y=«+l},则AaB=（）

A.[0,1）B.（0,+oo）C.D.[l,+oo）

2.已知向量。=（〃?/），b=（3,m—2）.则，〃=3是。//力的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.既不充分也不必要条件D.充要条件

3.中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13.1万公里，其中高铁营业里程2.9万公

里，超过世界高铁总里程的三分之二，下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图，以

下结论不正确的是（）

住，年份代身I-S分同时由年份201J20I&

A.每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著

B.从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年价正相关

C.2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上

D.从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列

4.为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度.某地区在2015年以前的年均脱贫率（脱

离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70%.2015年开始，全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其

中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占2019年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率

见下表:

实施项目种植业养殖业工厂就业服务业

参加用户比40%40%10%10%

脱贫率95%95%90%90%

那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的()

274748「7心

A.百倍B./倍C.。倍D.二倍

2835355

5.函数/⑴=人皿3“+夕3>。)的图象与'轴交点的横坐标构成一个公差为处的等差数列'要得到函数

g(x)=Acostwx的图象，只需将f(x)的图象()

A.向左平移二个单位B.向右平移N个单位

124

7T3兀

C.向左平移2个单位D.向右平移一个单位

44

6.已知函数/(x)=me""—lnx,当x>()时，/(x)>0恒成立，则，"的取值范围为()

A.g+8)B.ge)C.[1,4W)D.(-oo,e)

7.宁波古圣王阳明的《传习录》专门讲过易经八卦图，下图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦),

每一卦由三根线组成(“一”表示一根阳线，“——”表示一根阴线).从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有四根阴

线的概率为()

35

—B.—C.-；D.—

141428

8.设函数/(x)(xeA)满足/(—x)=/(x)"(x+2)=/(x),则y=/(x)的图像可能是

A.B.

C.

004

9.设”logo.08°,04,b=log030.2,c=O.3,则。、b、c的大小关系为（)

A.c>b>aB.a>b>cC.h>c>aD.h>a>c

10.若复数z=1+2-（i为虚数单位），则z的共粗复数的模为（）

14-/

A.叱B.4C.2D.J5

2

11.已知2〃=3"=6,则〃不可能满足的关系是O

A.a+h=ahB.〃+C.(«-1)2+(/?-1)2<2D.cr+b2>8

12.已知尸为圆C：（x—5/+丁=36上任意一点，A（-5,0）,若线段Q4的垂直平分线交直线PC于点。，则。点

的轨迹方程为（）

22

x2y2iX

A—+—=1y=1

916~916

22

二=1(x<0)D.---二=1(x>0)

916916

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

x>0

13.已知》,）‘满足约束条件<x+yNl,则z=3x+2），的最小值为.

2x+y<2

x2,x>0

14.已知〃X）=｛T2,X<0,若/（3a-2）>4"a）,则”的取值范围是

15.五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”.中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，如果

把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧，可排成种不

同的音序.

16.已知数列｛4｝满足4+2a2+3/+…+=2",则.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知点P（0,l）,直线y=x+r（r<0）与抛物线y2=2x交于不同两点A、B,直线Q4、PB与抛物线

的另一交点分别为两点C、D,连接CO,点P关于直线8的对称点为点。，连接AQ、BQ.

(1)证明：AB//CD,

（2）若AQAB的面积求f的取值范围.

22]

18.（12分）已知椭圆T：鼻+方=1（。>8>0）的离心率为不，直线/：x+y—几=0与以原点为圆心，以椭圆C

的短半轴长为半径的圆相切.A为左顶点，过点G（l,0）的直线交椭圆T于B,C两点，直线AB，AC分别交直线尤=4

于M，N两点.

（1）求椭圆T的方程；

（2）以线段MN为直径的圆是否过定点？若是，写出所有定点的坐标；若不是，请说明理由.

19.（12分）据《人民网》报道，美国国家航空航天局（NASA）发文称，相比20年前世界变得更绿色了，卫星资料

显示中国和印度的行动主导了地球变绿.据统计，中国新增绿化面积的42%来自于植树造林，下表是中国十个地区在

去年植树造林的相关数据.（造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和）

单位：公顷

地区造林总面造林方式

积新封山育退化林修

人工造林飞播造林人工更新

林复

内蒙61848431105274094136006903826950

河北5833613456253333313507656533643

河南14900297647134292241715376133

重庆2263331006006240063333

陕西297642184108336026386516067

甘肃325580260144574387998

新疆2639031181056264126647107962091

青海178414160511597342629

宁夏91531589602293882981335

北京1906410012400039991053

(1)请根据上述数据分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区；

(2)在这十个地区中，任选一个地区，求该地区新封山育林面积占造林总面积的比值超过50%的概率；

(3)在这十个地区中，从退化林修复面积超过一万公顷的地区中，任选两个地区，记X为这两个地区中退化林修复

面积超过六万公顷的地区的个数，求X的分布列及数学期望.

2

20.(12分)在极坐标系6中，曲线。的极坐标方程为-----=J5+Qsin。，直线/的极坐标方程为

42-psinO

Q(cose-sine)=l,设/与C交于A、B两点,45中点为“，A3的垂直平分线交C于E、尸.以。为坐标原点,

极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系xOy.

(1)求C的直角坐标方程与点”的直角坐标；

(2)求证：|M4HMM=|"£卜|〃耳.

21.(12分)如图，在四棱锥P—A8C。中，四边形A8CO为平行四边形，BDLDC,APCD为正三角形，平面尸。_1_

ABCD,E为尸C的中点.

p

(1)证明：AP〃平面EBD；

(2)证明：BELPC.

22.(10分)已知抛物线。：产=2*(〃>0)的焦点为/,直线/交C于A,8两点(异于坐标原点O).

(1)若直线/过点F,Q4OB=-12，求C的方程；

(2)当0406=0时，判断直线/是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

求得集合8中函数的值域，由此求得gB,进而求得AcaI.

【详解】

由y=4+121,得3=[1,­)，所以28=(—,1),所以AI率B=[0,l).

故选：A

【点睛】

本小题主要考查函数值域的求法，考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题.

2、A

【解析】

向量1=(m,1),力=(3,m-2)>a1lb>则3=m(相一2),即苏一2机一3=0，机=3或者-1,判断出即可.

【详解】

解:向量a=(m,D，b=(3,m-2)t

ailb，则3=m(m—2)，即/n?—2/〃一3=0，

m=3或者-1,

所以加=3是机=3或者m=-1的充分不必要条件，

故选：A.

【点睛】

本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量平行的坐标表示，属于基础题.

3、D

【解析】

由折线图逐项分析即可求解

【详解】

选项A,3显然正确；

对于C,2・9-L6〉08,选项。正确；

1.6

1.6,1.922,2.5,2.9不是等差数列，故。错.

故选：D

【点睛】

本题考查统计的知识，考查数据处理能力和应用意识，是基础题

4、B

【解析】

设贫困户总数为明利用表中数据可得脱贫率P=2X40%X95%+2XI0%X90%,进而可求解.

【详解】

设贫困户总数为“，脱贫率P=2x40%x95%a+2xl0%x90%a=94%>

a

94%47

所以

70%35

故2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的—倍.

35

故选：B

【点睛】

本题考查了概率与统计，考查了学生的数据处理能力，属于基础题.

5、A

【解析】

27r2兀(TTA

依题意有/(x)的周期为T==7,刃=3,f(x)=Asin[3x+1J.而

tc兀兀].,JITT

g(x)=Asin(3x+]=Asin3xd----F—=Asin+—故应左移士.

I44j4

6、A

【解析】

分析可得m>0,显然me〃如-Inx>0在(0,1］上恒成立，只需讨论x>1时的情况即

可,/(x)>0o〃沿网>lnx=3位>e『nx,然后构造函数由幻=9。>0),结合85)的单调性,不等式等价于

/我>111%,进而求得"？的取值范围即可.

【详解】

由题意，若mV0,显然/(%)不是恒大于零，故m>0.

机>0,则〃/e""-Inx>0在(0』］上恒成立；

当x>1时,/(x)>0等价于me™>lnx,

因为x>1,所以/wce,nv>elnvlnx.

设g(x)=xe'(x>0),由g'O)=e"(l+x),显然g(x)在(0,+8)上单调递增，

］nx

因为"a>0,Inx>0,所以>,nvInx等价于g(f^c)>^(lnx),gpmx>\nx，则加>——・

ex

设/X)=l竺(x>0),则A(x)=上用。>0).

XX

令〃'(x)=0,解得％=e，易得/z(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+»)上单调递减，

从而〃(x)1rax=々(e)=,，故/〃>,.

ee

故选:A.

【点睛】

本题考查了不等式恒成立问题,利用函数单调性是解决本题的关键，考查了学生的推理能力,属于基础题.

7、B

【解析】

根据古典概型的概率求法，先得到从八卦中任取两卦基本事件的总数，再找出这两卦的六根线中恰有四根阴线的基本

事件数，代入公式求解.

【详解】

从八卦中任取两卦基本事件的总数〃=C；=28种，

这两卦的六根线中恰有四根阴线的基本事件数有6种，

分别是(巽，坤)，(兑，坤)，(离，坤)，(震，艮)，(震，坎)，(坎，艮)，

所以这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率是〃=(=言.

故选：B

【点睛】

本题主要考查古典概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

8、B

【解析】

根据题意，确定函数y=/(x)的性质，再判断哪一个图像具有这些性质.

由/(—%)=/(%)得y=f(x)是偶函数，所以函数y=f(x)的图象关于)'轴对称，可知B,D符合；由/(x+2)=/(%)

得y=/(x)是周期为2的周期函数，选项D的图像的最小正周期是4,不符合，选项B的图像的最小正周期是2,符

合，故选B.

9,D

【解析】

因为a=log0080.04=210go08°?=log痛02>log厩1=0,b=log030.2>log031=0,

所以g=log。？y/O08,j=log020.3且y=log02x在(0,+力)上单调递减，且血衣<0.3

所以!〉?，所以h>a,

ab

又因为。=log师0.2〉log而获=C=().301M<0.3°=1,所以a>c,

所以方>a>c.

故选：D.

【点睛】

本题考查利用指对数函数的单调性比较指对数的大小，难度一般.除了可以直接利用单调性比较大小，还可以根据中间

值“0,1”比较大小.

10、D

【解析】

由复数的综合运算求出z,再写出其共扼复数，然后由模的定义计算模.

【详解】

2z2z(l-z)_._,,

z=l+----=1+7-----------=2+i,：.z-2-i,：.\z\-\/5r.

1+z(l+z)(l-z)11

故选：D.

【点睛】

本题考查复数的运算，考查共辄复数与模的定义，属于基础题.

11、C

【解析】

根据2"=3'=6即可得出。=1+1423,Z?=l+log32,根据噫3」幅2=1,log32+log32>2,即可判断出结

果.

【详解】

•••2"=3"=6;

:.a-log,6=1+log,3,b=log36=1+log32；

/.a+/?=2+log23+log32>4,=2+log,3+log32>4,故A,8正确；

2222

(a-l)+(^-l)=(log23)+(log32)>21og23-log,2=2,故C错误；

2222

'：a+b=2+2(log23+Iog32)+(log23)+(log32)

>2+4^/log；,3-log32+2log23-Iog32=8,故D正确

故C.

【点睛】

本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：a+822而和不等式出，的应用，

属于中档题

12、B

【解析】

如图所示：连接QA,根据垂直平分线知。4=。。，|依。|-依川=6<10,故轨迹为双曲线，计算得到答案.

【详解】

如图所示：连接QA,根据垂直平分线知QA=QP,

故||℃|一|例|=||耍|一代用=|尸。|=6<10,故轨迹为双曲线,

2a=6,<7=3,c—5)故b=4,故轨迹方程为——=1.

916

本题考查了轨迹方程，确定轨迹方程为双曲线是解题的关键.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、2

【解析】

作出可行域，平移基准直线3x+2y=0至！j(O,l)处，求得二的最小值.

【详解】

画出可行域如下图所示，由图可知平移基准直线3x+2y=0至40,1)处时，z取得最小值为2.

故答案为：2

本小题主要考查线性规划求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.

14、（2,+co）

【解析】

函数/（力等价为/（x）=x|x|,由二次函数的单调性可得/（x）在尺上递增，/（3。-2）>4/（。）即为

/（3«-2）>/（2«）,可得a的不等式，解不等式即可得到所求范围.

【详解】

x2,^>0

=<-x2,x<0,等价为/（x）=xW，

且了<0时，=递增，%>0时,/（x）=%2递增，

且/（0）=0,在x=0处函数连续，

可得“X）在R上递增，

“3。-2）>4/（a）即为/（3a-2）>〃2）"a）=/（2a）,可得3a-2>2a,解得a>2,

即a的取值范围是（2,+8）.

故答案为：（2,+00）.

【点睛】

本题考查分段函数的单调性的判断和运用：解不等式，考查转化思想和运算能力，属于中档题.

15、1

【解析】

按照“角”的位置分类，分“角”在两端，在中间，以及在第二个或第四个位置上，即可求出.

【详解】

①若“角”在两端，则宫、羽两音阶一定在角音阶同侧，此时有2x3x反x8=24种；

②若“角”在中间，则不可能出现宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧；

③若“角”在第二个或第四个位置上，则有2否用=8种；

综上，共有24+8=32种.

故答案为：1.

【点睛】

本题主要考查利用排列知识解决实际问题，涉及分步计数乘法原理和分类计数加法原理的应用，意在考查学生分类讨论

思想的应用和综合运用知识的能力，属于基础题.

2,〃二1

16、

------------2

、n

【解析】

项和转化可得叫=T-2"T=(»>2),讨论〃=1是否满足，分段表示即得解

【详解】

当〃=1时，由已知，可得q=2i=2,

q+22+3%+…+几=2",①

故a1+2生+3々3+••・+(〃—1)“〃一1=2"।之2),②

由①•②得“二2〃—2〃T=2〃T,

n

显然当〃时不满足上式,

2,n=1

n]

故答案为：an=]2-

----,〃之2

、n

【点睛】

本题考查了利用S“求凡,考查了学生综合分析，转化划归，数学运算，分类讨论的能力，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)见解析；(2).

【解析】

/2\/2\

(1)设点A乌,弘、B与,必，求出直线94、P3的方程，与抛物线的方程联立，求出点C、。的坐标，利

UJU2)

用直线A3、8的斜率相等证明出A8〃CD；

(2)设点P到直线A3、CO的距离分别为4、d2,求出耳，利用相似得出出，可得出AQAB的边A3上的高，

并利用弦长公式计算出|A8|,即可得出S关于/的表达式，结合不等式可解出实数/的取值范围.

【详解】

(V.2)[yl)2(y-1)

(1)设点A今，乂、B与，必，则的二t，

V2JV2；K

直线PA的方程为:----------y

2(y.-l)----2(y,-l)

由12他一1))‘-2(弘—1),消去x并整理得二=o,

2c乂-1y一1

\y=2x

由韦达定理可知，儿%=为乂="二，二先=」

必一1%一

代入直线AP的方程，得入=「'八2，解得C/》不，士

同理，可得。

2(%一炉’y2T

%__

.k-y2TX_l_2丁2f=2=]

"8一.「一,।「Jg国-对M+%

2

2(%-2(y)-i)y2T

k=2=2=2(*-l)

.,.»+%=2,：.%=2-y代入得CD—2f।y一了—+厂2y,-2

(2_y)-ly—Iy]-1

因此，ABHCD；

(2)设点p到直线AB、C£>的距离分别为4、d2,则4=7

d1=\P^\PB\

由(1)知ABHCD,

d2\PC\\PD\d；\PC\\PD\

：.\PA\=yll+k^-xA，|PC|=J1+除A•%，，园=藁=(乂一])一，

.|PB|(\2(二丫

同理‘得回|一%1'-1)(%-1)了=[=-(%+%)+1]

a2

y=x-\-te

由<\c，整理得y2—2y+2r=0,由韦达定理得y+%=2,弘%=2乙

y=2x

得仁百E

设点Q到直线AB的高为h,贝!|力=|4-24|=V)'I2Z+”，

.-.S=^|AB|-/?=^x2V2-Vl-2rx^_^+=.|2z+l|>l-r,

3(3

V/<0,解得，4一8,因此，实数/的取值范围是一8,一不

2\2

【点睛】

本题考查直线与直线平行的证明，考查实数的取值范围的求法，考查抛物线、直线方程、韦达定理、弦长公式、直线

的斜率等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是难题.

22

18、(1)亍+1_=1；(2)是，定点坐标为(7,0)或(1,0)

【解析】

(1)根据相切得到b=JJ，根据离心率得到a=2,得到椭圆方程.

(2)设直线BC的方程为x=<y+l，点B、C的坐标分别为(玉,)]),(工2，%)，联立方程得到乂+%=-吊鼻，

%%=一：7工，计算点”的坐标为4,,点N的坐标为4,半；，圆的方程可化为

3r+4X.+2

(x—4)@-4)+/+6。，-9=0,得到答案.

【详解】

(1)根据题意：6」°+°二闽=5因为2=/叱=立，所以。=2,

V2a2

22

所以椭圆T的方程为土+匕=1.

43

⑵设直线8C的方程为犬=9+1,点8、C的坐标分别为(X，x),伍,必)，

把直线BC的方程代入椭圆方程化简得到(3产+4)V+6)—9=0,

g”6f9

所以2=一谑着，X…淳着’

4-12产8

所以玉工2=/,%+/（弘+>2）+1=

3/+43产+4

因为直线AB的斜率L,所以直线AB的方程1检(、+2),

,同理，点的坐标为包、

所以点"的坐标为N4,

I%+2J

故以MN为直径的圆的方程为(x—4)(x-4)+0,

又因为——=__________________=一生2

（玉+2）（々+2）玉/+2（玉+々）+436

6y+6%=6)1+6y2=12》—+18(x+%)=_6/

%j+2x2+2/y,4-3(y2+3/%%+3/(%+为)+9

所以圆的方程可化为(％-4)(%-4)+9+69-9=0,令y=0,则有(％—4)2=9,

所以定点坐标为(7,0)或(1,0).

【点睛】

本题考查了椭圆方程，圆过定点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

19、(1)人工造林面积与总面积比最大的地区为甘肃省，人工造林面积与总面积比最小的地区为青海省；(2)4；(3)

分布列见详解，数学期望为1

【解析】

(1)通过数据的观察以及计算人工造林面积与造林总面积比值，可得结果.

(2)通过数据的观察以及计算新封山育林面积与造林总面积比值，得出比值超过50%的地区个数，然后可得结果.

(3)计算退化林修复面积超过一万公顷的地区中选两个地区总数C：,退化林修复面积超过六万公顷的地区的个数为

3,列出X所有取值并计算相应概率，然后可得结果.

【详解】

(1)人工造林面积与总面积比最大的地区为甘肃省，

人工造林面积与总面积比最小的地区为青海省.

(2)记事件A：在这十个地区中，任选一个地区，该地区

新封山育林面积占总面积的比值超过50%

根据数据可知：青海地区人工造林面积占总面积比超过50%,

则P(A)4

(3)退化林修复面积超过一万公顷有6个地区：

内蒙、河北、河南、重庆、陕西、新疆，

其中退化林修复面积超过六万公顷有3个地区：

内蒙、河北、重庆，

所以X的取值为0,1,2

所以p(x=0)*=序P(x=l)=岩弋，

C23

唳=2)=木石

随机变量X的分布列如下：

X012

P-3--9--3-

’151515

393

£（X）=Ox—+lx—+2x—=1

''151515

【点睛】

本题考查数据的处理以及离散型随机变量的分布列与数学期望，审清题意，细心计算，属基础题.

20、（1）C：y+y2=l,（2）见解析.

【解析】

222

7[n=%-f-V

（1）将曲线。的极坐标方程变形为。2+（「411夕）-=2,再由1.八.可将曲线C的极坐标方程化为直角坐标

方程，将直线/的方程与曲线。的方程联立，求出点A、3的坐标，即可得出线段A5的中点M的坐标；

（2）求得手，写出直线旅的参数方程，将直线所的参数方程与曲线C的普通方程联立，利用韦

达定理求得目的值，进而可得出结论.

【详解】

（1）曲线C的极坐标方程可化为02=2-（°sine）2,即夕2+（°sine）2=2,

’222

将'=：+'代入曲线C的方程得Y+2/=2,

psind=y

所以，曲线C的直角坐标方程为C:工+y2=l.

2

将直线/的极坐标方程化为普通方程得x-y=l,

x-y=irx=

%=0则点A（O,T）、8仁,1

联立，得《或

—+V2=1y=_l_135J

2片

因此，线段A8的中点为

（2）由（1）得私4="回=3