类桁架连续体材料的多工况优化设计

类桁架连续体材料的多工况优化设计

根据材料模型，投影优化方法可分为三种类型。进化结构优化方法、水平集方法和ICM方法采用各向同性材料;自由材料优化属于各向异性材料;均匀化方法宏观上是各向异性材料,在微观上是各向同性[7―8]。理论上,拓扑优化结构是各向异性类桁架连续体[9―10],所以不可能用各向同性材料表示。各向异性材料有更大的设计空间,但是难以制造,与实际结构缺乏对应关系[11―12]。由于类桁架连续体具有无限多的杆件,也存在无法制造的问题。但是,一些研究表明,用有限数量的杆件代替无限数量的杆件引起的误差并不显著[13―14]。所以可以采用类桁架离散化的方法解决其应用上的困难,笔者的前期工作已经在一定程度上解决了该问题。类桁架连续体的另一个困难是求解问题,目前也仅得到有限的十几个解答。本文就是研究有限元方法求解类桁架连续体的数值方法。Michell桁架是最早研究的类桁架连续体问题。它研究单工况应力约束体积最小问题。其绝大部分区域可以用两向正交杆件连续体材料模型描述。笔者也用两向正交材料模型研究了多工况类格栅和平面问题[16―17]优化。但是在多工况情况下,杆件一般不限于两个方向,也并非正交。因此有必要建立新的类桁架材料模型。1三杆结构材料模型1.1杆件应力的局部校正假设在弱的基材料内沿3个方向嵌入致密的杆件。其中基材料的内力忽略不计,内力主要由杆件承担。将微元面dA内的杆件横截面面积dA1与微元面面积dA之比定义为杆件密度:微元内的应力定义为名义应力,显然它不同于杆件的实际应力σ。由平衡关系有:假设杆件为线弹性材料:式中:E是杆件弹性模量;ε为应变。由,建立局部正交坐标系,其中轴沿杆件方向。在局部坐标系上的应力关系为:式中,D(t,0)是局部坐标系下的弹性矩阵:建立整体坐标系xoy,如果杆件在x坐标轴逆时针α方向,则整体坐标系方向的弹性矩阵可以写为:式中:T(α)应变坐标转换矩阵,如果结点j位置有三组密度为tj=[t1j,t2j,t3j],方向为αj=[α1j,α2j,α3j]的杆件,则弹性矩阵为:单元e内任一点(ξ,η)的弹性矩阵可以由属于单元e的结点位置弹性矩阵插值得到:式中:Nj是j点形函数;Se是属于单元e的结点集合。1.2设计变量间相关关系单元刚度矩阵可以表示为:式中,B是几何矩阵。将式(12)代入式(13)得:式中:是与设计变量无关的常数矩阵。将所有单元刚度矩阵累加得到结构刚度矩阵:刚度矩阵式(16)关于设计变量求导:由于杆件密度在单元内连续变化,需要积分计算体积:式中Sj是结点j周围的单元集合,且:2限元刚度方程本文研究的柔度优化问题等效于外力功,可以写作:式中:wl为各工况柔度加权值,本文算例中各工况取相同值;Ul和Fl分别是工况l下的结点位移和结点力列向量,满足有限元刚度方程:式(21)中的目标函数关于设计变量求导:式中:利用式(23)和式(24)给出的目标函数导数信息,在每个迭代中,分别依次沿密度和方向的梯度方向等步长寻优。当目标函数值增加时步长减半。当步长减少到10-2时停止迭代。密度初始值为0.4,初始步长最大分量为当前最大密度。3个角度初始值均匀分布,分别为0,±π/3,初始步长为π/20。为了保持体积不变,密度梯度向等体积面投影,所以实际步长要小一些。步长是根据经验选取,过小会增加迭代步数,过大会增加每步迭代中试算的次数。3单元内部折线合作图1(a)给出了例1的力学模型。F1和F2(=F1)是两个不同的工况。由于优化结果与具体尺寸和荷载大小没有关系,文中没有给出它们的单位。采用32×20个四结点矩形单元。图1(b)给出了杆件的分布场,其中线段长度和角度分别表示杆件的密度和角度。从图1中可以看到,绝大部分的区域杆件仍然是二向杆件但是以明显不再正交。选择密度最大的结点和方向,沿杆件方向在单元内画直线与单元边界相交。根据相交单元边界两端结点位置杆件密度和方向插值得到交点位置的杆件密度和方向。以此为起点在下一个单元内画直线。如此反复,直到设计域边界,或当杆件密度足够小(本文取最大密度的10-3)完成一折线。在剩余的结点内再选择最大杆件密度的结点和方向作下一折线。当折线总数达到事先指定的值为止。该指定值的大小取决于我们的预期的目标结构杆件数量。结果如图1(c)所示,它更直观表示了杆件分布。由于有限元数值计算的误差,这里的折线组成的图形还不能直接作为结构使用。借助结构力学的基本概念,删除重叠或接近的线段,合并接近的结点,就可以近似形成图1(d)所示的杆系结构。实际上,拓扑优化结构中杆件一般是密布在设计域的。例1由于上下边界附近的杆件曲率接近零,由平衡条件可以知道,在这些位置与边界相交的杆件密度接近于零。但是由于数值计算误差问题导致这些位置仍存在少量杆件,在最后的处理中将其删除了。类似地,图2给出了例2的力学模型和优化过程。由于对称性图2(b)、图2(c)只给出了一半结构。共30×20个四结点矩形单元。图3给出文献方法计算出的拓扑优化结构。与本文的单元数相同,本文给出了更多的细节。4拓扑优化杆系结构的数值稳定性分析采用3杆类桁架材料模型研究了多工况下连续体柔度最小化问题。通过直接优化类桁架材料分布场,而不是优化单元的“有”和“无”,是建立拓扑优化杆系结构的有效方法。不仅克服了类桁架连续体拓扑优化的困难,而且克服了无限多杆件在工程上应用的困难。完全避免了数值不稳定问题。在本文例1图1(