江苏省无锡市江阴市四校2023-2024学年高二上学期期中联考试题数学

2023—2024学年度秋学期四校期中联考试卷高二数学考生注意：客观题请用2B铅笔填涂在答题卡上，主观题用黑色的水笔书写在答题卷上。一．单项选择题：（本题包括8小题，每小题5分，共40分）1.已知直线l的方程为x+3y−A.−30°B.60°C.120°D.2.已知向量，若，则实数的值为（）A.8B.7C.D.143.若圆x2+y2=1与圆x−42+A.−3B.3C.3或−3D.5（题4图）4.国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式．在手工课上，张老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为12cm，则小椭圆的长轴长为（）cmA.12B.24C.10D.105．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（）A. B. C． D．6.若直线y＝x＋b与曲线恰有一个公共点，则b的取值范围是()A．B．C．D．7.设F是椭圆x24+y23=1上的右焦点，P是椭圆上的动点，AA．B．3C． D．8.长方体ABCD−A'B'C'D'中，AB=BC=2，AA'=3，上底面A'B'C'D'的中心为A.B.C. D.二、多项选择题：（本题包括4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分）．9．下列说法错误的是（

）A．过点且在两坐标轴上截距相等的直线l方程为B．直线在y轴上的截距为3C．若直线l的一个方向向量是，则直线l的斜率为D．过两点，的直线的方程都可以表示为下面四个结论正确的是（

）A．若A，B，C三点不共线，面ABC外任一点O，有OM=13OA+13OB+B．有两个不同的平面α，β的法向量分别为u，v，且u=(1,2,−2)，v=(−2,−4,−4)，则αC．已知向量a=(1,1,x)，b=(−3,x,9)，若x<3D．已知n为平面α的一个法向量，m为直线l的一个方向向量，若m,n=23π11．已知点P为圆C:(x−2)2+(y−3)2=1(C为圆心)上的动点，点Q为直线A．若直线l:kx−y−3k+5=0平分圆C的周长，则k=2B．点C到直线l的最大距离为5 C．若圆C上至少有三个点到直线l的距离为12，则D．若k=−1，过点Q作圆C的两条切线，切点为A，B，当QC⋅AB最小时，则直线AB12．如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，ΔABC是直角三角形，且AC=BC=1，AA1=3，E为B1C的中点，点A．三棱柱ABC−A1B．异面直线AB与B1CC．当点P是线段A1B的中点时，三棱锥P−D．PE+PF的最小值是2填空题：（本题包含4小题，每小题5分，共20分）．13．已知，若，则．14．已知圆M:(x−2)2+(y−2)2=5过点D(3,0)的直线l15．已知椭圆x2a2+y2b216．经过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F作倾斜角为60°的直线AB解答题：（本大题包含6大题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）．（本小题满分10分）已知∆ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x−y−5=0，AC边上的高BH所在直线方程为(1)求顶点C的坐标.（2）求直线BC的方程.（本小题满分12分）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，是椭圆上一动点，的最大面积为，.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于、B两点，、为椭圆上两点，且，求的最大值.（本小题满分12分）如图，在矩形和中，，，，，，，记.将用，，表示出来；当时求与夹角的余弦值；(2)是否存在使得平面？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.（本小题满分12分）已知圆C：，直线l：．（1）若直线l被圆C截得的弦为AB，求弦AB长度的最小值；（2）已知点P是圆C上任意一点，在直线上是否存在两个定点M，N，使得？若存在，分别求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，平面平面，∆ABC是以为斜边的等腰直角三角形，，，为中点，为内的动点（含边界）.(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)若平面，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.22．（本小题满分12分）已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，过点（1）求椭圆E的标准方程；（2）设过点P的动直线与椭圆E交于M，N两点，T为y轴上的一点，设直线MT和NT的斜率分别为k1和k2，若1k

2023—2024学年度秋学期四校期中联考答案高二数学单选多选填空题：2．14．x=3或3x+4y9=0..15．（答案不唯一）．16．277解答题：17.⑴∵边AC上的高BH所在直线方程为x∴kAC⋅kBH∵ΔABC的顶点A5,1，∴直线AC方程;y−与2x−y−5=0联立，&2x+y−11=0&2x−y⑵∵CM所在直线方程为2x−y−5=0∵M是AB中点，A5,1，∵B2m−5,4m−11∴2m−5−24m∴BC的方程为：y−3=218.解：（1）设椭圆的半焦距为，，，的最大面积为，，，....................................................2分，椭圆的方程为；................................4分（2）由题知，设直线的方程为，，，联立，消去并整理得：，∴，得，......................6分，，.................................................8分∴，设，，在上单调递增，在单调递减，∴当时，，故..............................................................12分19.解：（1）因为，，，记，所以，且，，由空间向量的线性运算法则，可得...........................................................................2分（2）当时，..............................................................................6分（3）假设存在使得平面，故，，由（1）知，,可得.................................................8分由，得............................................10分化简得，解得，满足条件.故存在，使得平面.................................................................................12分解：（1）因为直线l：，即，可知直线l过定点....1分且，即定点在圆C内，直线l与圆C相交，又因为圆C：，即，则圆心，半径，如图，易得．..................................................5分（2）满足题意的定点M，N存在，证明如下：设，，，因为，等式两边平方得．又因为，整理得．........................8分所以，解得或，所以满足题意的定点为，或，．.....................12分（本小题满分12分）（1）证明：因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面............................................................................................................3分（2）在三棱锥中，连接，因为为中点，是以为斜边的等腰直角三角形，则，由（1）知，平面，所以以为原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，由题意知，，又，则，则，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，取，则，，则，设平面的法向量为，则，取，则，，则，............................................................................5分设平面与平面夹角为，则，即平面与平面夹角的余弦值为.................................................................................6分（3）如（2）建系及图可知，平面的法向量为，平面的法向量为，，设，则，，因为平面，面，所以，解得，所以，又因为平面，所以是平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则，..................................8分又为内的动点（含边界），所以，解得，所以（），............................................................................9分令，则，（），所以==因为所以直线PH与平面ABC所成角的正弦值的取值范围为......................................12分22．（本小题满分12分）解：（1）由题意可得b＝1，且1a2+y2可得a2=4，所以椭圆的方程为：x（2）设T(0,t)，显然直线MN的斜率不