八年级数学复习备考高分秘籍（人教版）：与三角形有关的线段大题专练（解析版）

专题-2022-2023学年八年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】专题2.1与三角形有关的线段大题专练（培优强化30题）一、解答题1．（2021·重庆梁平·八年级期中）已知三角形两边的长分别是4cm和9cm(1)求第三边的取值范围；(2)若第三边的长是偶数，求第三边的长；(3)求周长的取值范围（第三边的长是整数）．【答案】(1)第三边的取值范围是5cm<X<13cm(2)第三边的长为6cm，8cm，10cm，12cm．(3)18cm<周长<26cm【分析】（1）根据三角形两边之和大于第三边和三角形两边之差小于第三边即可得到解答；（2）根据第三边的取值范围选出偶数即可；（3）利用第三边的取值范围再加上已知的三角形两边长即可求得．（1）设第三边长为xcm，9-4=5（cm），9+4=13（cm），∴第三边的取值范围是5cm<x<13cm；（2）由题意可知，其中偶数为6，8，10，12，∴第三边的长为6cm，8cm，10cm，12cm．（3）周长=4+9+第三边，∵5cm<第三边<13cm，∴18cm<周长<26cm．【点睛】本题考查了三角形三边的三边关系，解决此题的关键是掌握第三边的范围：大于已知两边的差，小于两边的和．2．（2019·四川泸州·八年级期中）已知a，b，c是ΔABC(1)若a，b，c满足|a−b|+|b−c|=0，试判断ΔABC(2)化简：|a−b−c|+|b−c−a|+|c−a−b|．【答案】(1)等边三角形(2)a+b+c【分析】（1）根据非负数的性质，可得出a＝b＝c，进而得出结论；（2）利用三角形的三边关系得到a−b−c＜0，b−c−a＜0，c−a−b＜0，然后去绝对值符号后化简即可．（1）∵|a−b|+|b−c|=0，∴a−b=0且b−c=0，∴a=b=c，∴Δ（2）∵a，b，c是ΔABC的三边长，∴a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，∴a−b−c<0，b−c−a<0，c−a−b<0，∴原式=b+c−a+a+c−b+a+b−c=a+b+c【点睛】此题考查绝对值非负性的应用、三角形的三边关系和三角形分类，利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，建立不等式解决问题．3．（2021·安徽·马鞍山八中八年级期中）已知a，b，c分别为△ABC的三边，且满足a+b=3c−2，a−b=2c−6．(1)求c的取值范围；(2)若△ABC的周长为12，求c的值．【答案】(1)2<c<6(2)3.5【分析】（1）根据三角形任意两边之和大于第三边得出3c-2＞c，任意两边之差小于第三边得出|2c-6|＜c，列不等式组求解即可；（2）由△ABC的周长为12，a+b=3c-2，4c-2=12，解方程得出答案即可．（1）∵a，b，c分别为△ABC的三边，a+b=3c-2，a-b=2c-6，∴3c−2>c2c−6<c，解得：2<c<6．故c的取值范围为2<c（2）∵△ABC的周长为12，a+b=3c-2，∴a+b+c=4c-2=12，解得c=3.5．故c的值是3.5．【点睛】此题考查三角形的三边关系，利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，建立不等式解决问题．4．（2021·广西南宁·八年级期中）已知a，b，（1）若a，b，c满足，（2）化简：|b−c−a|+|a−b+c|−|a−b−c|【答案】（1）△ABC是等边三角形；（2）3a−3b+c【分析】（1）由性质可得a=b，b=c，故△ABC为等边三角形．（2）根据三角形任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边判定正负，再由绝对值性质去绝对值计算即可．【详解】（1）∵(a−b)∴(a−b)2=0∴a=b=c∴△ABC是等边三角形．（2）∵a，b，∴b-c-a<0,a-b+c>0,a-b-c<0原式=|−(a+c−b)|+(a−b+c)−|−(b+c−a)|=a+c−b+a−b+c−b−c+a=3a−3b+c【点睛】本题考查了三角形三条边的关系以及绝对值化简，根据三角形任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边判定绝对值内数值正负是解题的关键．5．（2021·安徽淮南·八年级期中）若a、b、c是△ABC的三边，化简：|a﹣b+c|﹣2|c﹣a﹣b|+3|a+b+c|的值．【答案】2a+6c．【分析】先根据三角形的三边关系判断出a﹣b+c，c﹣a﹣b及a+b+c的符号，再去绝对值符号，合并同类项即可．【详解】解：∵a、b、c是△ABC的三边，∴a﹣b+c＞0，c﹣a﹣b＜0，a+b+c＞0，∴原式＝a﹣b+c+2（c﹣a﹣b）+3a+3b+3c＝a﹣b+c+2c﹣2a﹣2b+3a+3b+3c＝2a+6c．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系和化简绝对值，熟知三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解答此题的关键．6．（2021·黑龙江·巴彦县第一中学八年级期中）已知a，b，c为△ABC的三边长，化简a−b−c−【答案】-a+b+c【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负值，然后去绝对值进行计算即可．【详解】解：由三角形三边关系可得：a-b-c＜0，b-c+a＞0，a+b-c＞0，∴原式=-(a-b-c)-(b-c+a)+(a+b-c)=-a+b+c-b+c-a+a+b-c=-a+b+c．【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，以及绝对值的性质，关键是掌握三角形三角形两边之和大于第三边．7．（2021·湖北·沙市实验中学八年级期中）已知，△ABC的三边长为4，9，x．（1）求x的取值范围．（2）当△ABC的周长为偶数时，求x．【答案】（1）5＜x＜13；（2）7，9或11【分析】（1）直接根据三角形的三边关系即可得出结论；（2）根据周长为偶数，结合（1）确定周长的值，从而确定x的值．【详解】解：（1）∵三角形的三边长分别为4，9，x，∴9−4＜x＜9＋4，即5＜x＜13；（2）∵5＜x＜13，∴9＋4＋5＜△ABC的周长＜9＋4＋13，即：18＜△ABC的周长＜26；∵△ABC的周长是偶数，∴△ABC的周长可以是20，22或24，∴x的值为7，9或11．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．8．（2019·安徽合肥·八年级期中）已知△ABC的三边长分别为a，b，c．（1）若a，b，c满足（a﹣b）2＋（b﹣c）2＝0，试判断△ABC的形状；（2）若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长的最大值及最小值．【答案】（1）等边三角形；（2）最大值13，最小值11【分析】（1）根据完全平方式的非负性即可得出结果；（2）根据三角形三边关系即可得出答案．【详解】解：（1）∵（a﹣b）2＋（b﹣c）2＝0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形；（2）∵a＝5，b＝2，且c为整数，∴5﹣2＜c＜5＋2，即3＜c＜7，∴c＝4，5，6，∴当c＝4时，△ABC周长的最小值＝5＋2＋4＝11；当c＝6时，△ABC周长的最大值＝5＋2＋6＝13．【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，三角形三边关系等知识点，熟知相关知识是解题的关键．9．（2021·北京市海淀外国语实验学校八年级期中）若三边均不相等的三角形三边a、b、c满足a−b>b−c（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为7−5>5−4，所以这个三角形为“不均衡三角形”．（1）以下4组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的为________（填序号）①4cm，2cm，1cm②13cm，18cm，9cm③19cm，20cm，19cm④9cm，8cm，6cm（2）已知“不均衡三角形”三边分别为2x+2，16，2x−6（x为整数）求x的值．【答案】（1）②；（2）10、12、13或14．【分析】（1）根据“不均衡三角形”的定义及三角形三边关系逐一判断即可得答案；（2）分别讨论2x+2>16>2x−6，16>2x+2>2x−6，2x+2>2x−6>16三种情况；利用“不均衡三角形”的定义列不等式可求出x的取值范围，结合x为整数即可得答案．【详解】（1）①∵1+2<4，∴不能组成三角形，不符合题意，②∵18-13>13-9，∴能组成“不均衡三角形”，符合题意，③∵有两条相等的边，∴不能组成“不均衡三角形”，不符合题意，④∵9-8<8-6，∴不能组成“不均衡三角形”，不符合题意，故答案为：②（2）当2x+2>16>2x−6，即7<x<11时，∵“不均衡三角形”三边分别为2x+2，16，2x−6，∴2x+2−16>16−(2x−6)2x−6+16>2x+2解得：x>9，∴9<x<11，∵x为整数，∴x=10，当16>2x+2>2x−6，即x<7时，∵“不均衡三角形”三边分别为2x+2，16，2x−6，∴16−(2x+2)>2x+2−(2x−6)2x+2+2x−6>16，即x<3∴此不等式组无解，∴此种情况不存在，当2x+2>2x−6>16，即x>11时，2x+2−(2x−6)>2x−6−162x−6+16>2x+2解得：x<15，∴11<x<15，∵x为整数，∴x的值为12或13或14，综上所述：x的值为10、12、13或14．【点睛】本题考查三角形的三边关系及解一元一次不等式组，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；根据“不均衡三角形”的定义及三角形三边关系列出不等式组并灵活运用分类讨论的思想是解题关键．10．（2020·江西·上饶市广信区第七中学八年级期中）已知一个三角形的三条边的长分别为n+2，n+6，3n．（1）n+2________n+6；（填“＞”，“＝”或“＜”）（2）若这个三角形是等腰三角形，求它的三边的长；（3）若这个三角形的三条边都不相等，且n为正整数，直接写出n的最大值．【答案】（1）<；（2）5，9，9；（3）7【分析】（1）根据作差法比较即可；（2）根据等腰三角形的性质分类讨论；（3）根据三角形三边关系讨论即可．【详解】（1）∵(n+2)−(n+6)=−4<0∴n+2<n+6；（2）①若n+2=3n，则n=1，此时三边为3，3，7，不能构成三角形，舍去；②若n+6=3n，则n=3，此时三边为5，9，9，能构成三角形，符合题意，故这个三角形是等腰三角形时，三边为5，9，9；（3）由三角形三边关系得；(n+2)−(n+6)<3n<(n+2)+(n+6)，解得43∵n为正整数，∴n的最大值是7．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系，熟练掌握三角形成立的条件及三边关系是解决问题的关键．11．（2021·云南省个旧市第二中学八年级期中）如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC=8cm【答案】2【分析】根据D是边BC的中点，可得S△ABD=S△ACD=12S△ABC=4cm2．再由【详解】解：∵D是边BC的中点，∴S△ABD∵E是AD的中点，∴S△BDE=1∴S△BEC又∵F是CE的中点，∴S阴影【点睛】本题主要考查了三角形面积及三角形面积的等积变换，熟练掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解题的关键．12．（2021·广西贺州·八年级期中）如图，已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，△ABE的面积为12cm2，AD＝4.8cm，∠CAB＝90°，AB＝6cm．求：(1)BC的长；(2)△ABC的周长．【答案】(1)10cm(2)24cm【分析】（1）根据等面积法求得BE，进而根据AE是三角形的中线，即可求解；（2）根据等面积法求得AC=8cm，进而根据三角形的周长公式计算即可求解．（1）∵△ABE的面积为12cm2，AD是△ABC的高，AD＝4.8cm，∴BE＝S∆ABE12AD＝5cm，∵AE是△ABC（2）∵AD是△ABC的高，AD＝4.8cm，BC＝10cm∴△ABC的面积：12BC⋅AD＝24cm2，∵在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝6cm，∴△ABC的面积：12AB⋅AC＝24cm2∴AC＝8cm，∴△ABC的周长：AC＋【点睛】本题考查了三角形的中线，三角形的高线的相关计算，等面积法计算求得三角形的高是解题的关键．13．（2021·广西·靖西市教学研究室八年级期中）如图，在△ABC中，CD，CE，CF分别为△ABC的高线、角平分线和中线．(1)写出图中所有相等的角和相等的线段，说明理由；(2)当BF＝4cm，CD＝5cm时，求△ABC的面积．【答案】(1)图中所有相等的角：∠BCE＝∠ACE，∠CDB＝∠ADC＝90°相等的线段为：BF＝AF．理由见解析(2)20cm2【分析】（1）根据角平分线定义、三角形的高线和三角形的中线定义解决问题即可；（2）根据三角形的面积公式列式求解即可．(1)解：图中所有相等的角：∠BCE＝∠ACE，∠CDB＝∠ADC＝90°，相等的线段为：BF＝AF．∵CE是△ABC的角平分线，∴∠BCE＝∠ACE．∵CD是△ABC的高，∴∠CDB＝∠ADC＝90°．∵CF是△ABC的中线，∴BF＝AF．(2)解：∵BF＝AF，BF＝4cm，CD＝5cm，∴BA＝2BF＝2×4＝8cm，.∴S△ABC＝12BA•C＝12＝20cm2．【点睛】此题考查了三角形的角平分线、中线和高线，三角形的面积等知识，熟记概念是解题的关键．14．（2021·安徽·马鞍山八中八年级期中）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上一点，将△ABC沿DE折叠，使点A落在边BC上．若∠A=55°，求∠1+∠2+∠3+∠4四个角和的度数？【答案】235°【分析】依据三角形内角和定理，可得△ABC中，∠B+∠C=125°，即可得出∠1+∠2+∠3+∠4的度数．【详解】解：∵∠A=55°，∴△ABC中，∠B+∠C=125°，又∵∠1+∠2+∠B=180°，∠3+∠4+∠C=180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°-（∠B+∠C）=360°-125°=235°．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，综合运用各定理是解答此题的关键．15．（2021·云南昭通·八年级期中）如图所示，AD，CE是△ABC的两条高，AB＝6cm，BC＝12cm，CE＝9cm．（1）求△ABC的面积；（2）求AD的长．【答案】（1）27；（2）4.5【分析】（1）根据三角形面积公式进行求解即可；（2）利用面积法进行求解即可．【详解】解：（1）由题意得：S△ABC（2）∵S△ABC∴27=1解得AD=4.5cm【点睛】本题主要考查了与三角形高有关的面积求解，解题的关键在于能够熟练掌握三角形面积公式．16．（2021·安徽省六安皋城中学八年级期中）如图，AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=5，AC=3．（1）边BC的取值范围是；（2）△ABD与△ACD的周长之差为；（3）在△ABC中，若AB边上的高为2，求AC边上的高．【答案】（1）2<BC<8；（2）2；（3）ℎ=10【分析】（1）直接根据三角形三边关系进行解答即可；（2）根据三角形中线将△ABD与△ACD的周长之差转换为AB和AC的差即可得出答案；（3）设AC边上的高为ℎ，根据三角形面积公式列出方程求解即可．【详解】解：（1）∵△ABC中AB=5，AC=3，∴5−3<BC<5+3即2<BC<8，故答案为：2<BC<8；（2）∵△ABD的周长为AB+AD+BD，△ACD的周长为AC+AD+CD，∵AD是△ABC的边BC上的中线，∴BD=CD，∴AB+AD+BD-(AC+AD+CD)=AB−AC=5−3=2，故答案为：2；（3）设AC边上的高为ℎ，根据题意得：12即12解得ℎ=10【点睛】本题考查了三角形三边关系，三角形的中线，三角形的高等知识点，熟练掌握基础知识是解本题的关键．17．（2021·安徽·六安市轻工中学八年级期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长少6cm，AB与AC的和为18cm，求AC的长【答案】AC=6【分析】根据中线的定义知CD=BD，结合三角形周长公式知AB−AC=6；因为AB与AC的和为18cm，则可求出AC的长度．【详解】解：∵AD是BC边上的中线，∴D是BC的中点，CD=BD，∵△ADC的周长比△ABD的周长少6cm，即：AB+BD+AD−(AC+AD+DC)=6cm，∴AB−AC=6①，∵AB与AC的和为18cm，即：AB+AC=18②，②－①得：AC=6cm．【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形中线．18．（2021·四川自贡·八年级期中）如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，CE是AB边上的中线，AB＝12cm，BC＝20cm，AC＝16cm，求：（1）AD的长；（2）△BCE的面积．【答案】（1）485【分析】（1）利用面积法得到12AD•BC＝12AB•AC，然后把AB＝12cm，BC＝20cm，AC＝16cm代入可求出（2）由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，所以S△BCE＝12S△ABC【详解】解：（1）∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，∴12AD•BC＝12AB•∴AD＝12×1620＝48（2）∵CE是AB边上的中线，∴S△BCE＝12S△ABC＝12×12【点睛】本题考查三角形中线的性质，涉及等积法，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．19．（2021·湖北孝感·八年级期中）如图，已知△ABC中，AB＝15，BC＝20（1）画出△ABC的高AD和CE；（2）若AD＝5，求CE的长．【答案】（1）见解析；（2）20【分析】（1）根据三角形高的定义画图；（2）利用面积法进行计算，即可得到答案；【详解】解：（1）如图：

（2）∵S△ABC=12AD•BC=12CE•∴CE=20×515【点睛】本题考查了作图-基本作图，熟练掌握基本作图是解决问题的关键．也考查了三角形的面积．20．（2021·江西·上饶市第四中学八年级期中）如图，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中点，E点在边AB上．（1）若三角形BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，求线段AE的长．（2）若三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2cm，求线段AE的长．【答案】（1）2cm；（2）1cm或3cm．【分析】（1）由图可知三角形BDE的周长=BE+BD+DE，四边形ACDE的周长=AE+AC+DC+DE，BD=DC，所以BE=AE+AC，则可解得AE=2cm；（2）由三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2，可得方程①BE=AE+AC+2或②BE=AE+AC−2．解得AE=1cm或2cm．【详解】解：（1）由图可知三角形BDE的周长=BE+BD+DE，四边形ACDE的周长=AE+AC+DC+DE，又三角形BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，D为BC中点，∴BD=DC，BE+BD+DE=AE+AC+DC+DE，即BE=AE+AC，又∵AB=10cm，AC=6cm，BE=AB−AE，∴10−AE=AE+6，∴AE=2cm．（2）由三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2，可得方程①当BE=AE+AC+2时，即：10−AE=AE+6+2，解得：AE=1cm，②当BE=AE+AC−2时．即：10−AE=AE+6−2，解得AE=3cm．故AE长为1cm或3cm．【点睛】本题考查了三角形中线性质，三角形周长的计算，关键是要学会分类讨论的思想思考问题．21．（2021·贵州黔东南·八年级期中）如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，连接EB，EC，CF⊥BE于点F．若BE＝9，CF＝8，求△ACE的面积．【答案】18【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分的知识进行解答即可．【详解】解：∵CF⊥BE于点F．BE＝9，CF＝8，∴S△BCE＝12BE⋅CF＝12∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∴S△EBD＝S△ECD＝12S△EBC＝18∵点E是AD的中点，∴S△ACE＝S△ECD＝18，答：△ACE的面积18．【点睛】本题主要考查了三角形面积及三角形中线的性质，解题关键是明确三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．22．（2021·福建省福州杨桥中学八年级期中）如图，AD为△ABC中线，AB＝12cm，AC＝9cm，△ACD的周长为27cm，求△ABD的周长．【答案】△ABD的周长为30cm【分析】利用中线定义可得BD=CD，进而可得AD+DC=AD+BD，然后再求△ABD的周长即可．【详解】解：∵△ACD的周长为27cm，∴AC+DC+AD=27cm，∵AC=9cm，∴AD+CD=18cm，∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∴AD+BD=18cm，∵AB=12cm，∴AB+AD+BD=30cm，∴△ABD的周长为30cm．【点睛】此题主要考查了三角形的中线，关键是掌握三角形的中线定义．23．（2021·吉林长春·八年级期中）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，并保留作图痕迹．（1）在图①中的边BC上找到格点D，并连结AD，使AD平分△ABC的面积．（2）在图②中的边AC上找到一个点E，连结BE，使BE平分△ABC的面积．（3）在图③中的边AB上找到一个点F，连结CF，使CF平分△ABC的面积．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）找到BC中点连接起来即可；（2）找到AC中点连接即可；（3）根据矩形的性质找出AB中点即可；【详解】（1）点D如图①所示；（2）点E如图②所示；（3）点F如图③所示．【点睛】本题主要考查了方格作图和三角形中线的性质，准确作图是解题的关键．24．（2021·全国·八年级期中）如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接AD．（1）当AD为边BC上的中线时，若AE=6，△ABC的面积为30，求CD的长；（2）当AD为∠BAC的角平分线时，若∠C=66°，∠B=36°，求∠DAE的度数．【答案】（1）5；（2）15°【分析】（1）利用三角形的面积公式求出BC即可解决问题；（2）先根据三角形内角和求得∠BAC的度数，再根据AD平分∠BAC，AE⊥BC，求得∠BAE，∠BAD的度数，最后根据∠DAE=∠BAE-∠BAD计算即可．【详解】解：（1）∵AE⊥BC，AE=6，△ABC的面积为30，∴12×BC×AE∴12×BC∴BC=10，∵AD是△ABC的中线，∴CD=12BC（2）∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-36°-66°=78°∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC∵AE⊥BC，∴∠AEB=90°，∴∠BAE=90°-∠B=54°，∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=54°-39°=15°．【点睛】本题考查三角形的面积，三角形的中线与高等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中基础题．25．（2021·河北石家庄·八年级期中）如图，△ABC的面积为30，AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，EF⊥BC于点F．（1）求△BDE的面积．（2）若EF=5，求CD的长．【答案】（1）152【分析】（1）由中线性质可得S△ABD=12S△ABC，S△BED=12S△（2）由三角形面积公式S△BDE=12BD•EF，即152=52BD，可得【详解】解：（1）∵AD是△ABC的中线，∴SΔABD∵BE是△ABD的中线，∴SΔBDE（2）∵EF⊥BC，∴SΔBDE=1∴BD=3．∵AD是△ABC的中线，∴CD=BD=3．【点睛】本题考查了三角形的中线性质，三角形面积计算，掌握中线的性质以及三角形面积计算公式是解题关键．26．（2020·广西柳州·八年级期中）如图，AD为△ABC的中线，AB=12cm，△ABD和△ADC的周长差是4cm，求△ABC的边AC的长(AC<AB)．【答案】8cm【分析】由三角形中线的定义得到BD=CD，根据△ABD和△ADC的周长差是4cm即可求得结论．【详解】解：∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵△ABD和△ADC的周长差是4cm，∴AB+AD+BD–(AC+AD+CD)=AB+AD+BD–AC–AD–BD=AB–AC=4cm，∵AB=12cm，∴AC=AB–4cm=8cm．【点睛】本题主要考查了三角形中线的定义，根据三角形中线的定义得到BD=CD是解决问题的关键．27．（2019·广东·广州市白云区六中珠江学校八年级期中）如图，四边形ABCD中，∠ABC和∠BCD的平分线交于点O．（1）如果∠A=130°，∠D=110°，求∠BOC的度数；（2）请直接写出∠BOC与∠A+∠D的数量关系．【答案】（1）120°；（2）∠BOC=【分析】（1）先由四边形内角和定理求出∠ABC+∠DCB=120°，再由角平分线定义得出∠OBC+∠OCB=60°，最后根据三角形内角和定理求出∠O=120°即可；（2）方法同（1）【详解】解：（1）∵∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360°，且∠A+∠D=130°+110°=240°，∴∠ABC+∠BCD=360°-（∠A+∠D）=360°-240°=120°，∵OB，OC分别是∠ABC和∠BCD的平分线，∴∠OBC+∠OCB=12∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-60°=120°；（2）∠BOC=1证明：在四边形ABCD中，∠A+∠B+∠C+∠D=360°∴∠ABC+∠DCB=360°−(∠A+∠D)∵OB，OC分别是∠ABC和∠BCD的平分线，∴∠OBC+∠OCB=1∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=【点睛】此题主要考查了四边形内角和定理，三角形的内角和定理以及角平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°；一个角的角平分线把这个角分成两个大小相等的角．28．（2021·山东临沂·八年级期中）如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB=3cm，AC=4cm，BC=5cm，∠CAB=90°．(1)求AD的长．(2)求△ABE的面积．【答案】（1）125cm；（2）3c