专题21.9一元二次方程的应用：面积与几何问题（重难点培优）-【讲练课堂】2022-2023学年九年级数学上册尖子生同步培优题典（解析版）【人教版】

【讲练课堂】2022-2023学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题21.9一元二次方程的应用：面积与几何问题（重难点培优）【名师点睛】一、列一元二次方程解应用题的“六字诀”1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．4．解：准确求出方程的解．5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．6．答：写出答案．二、形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．【典例剖析】【例1】（2022春•西湖区校级月考）某花圃需要绿化的面积为52000米2，施工队在绿化了28000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？（2）该项绿化工程中，如图有长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料造了宽为1米的两个小门，此时花圃的面积刚好为45米2，求此时花圃的长和宽．【分析】（1）直接利用每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程，进而得出等式求出答案；（2）利用矩形绿地，它们的面积之和为45米2，进而得出等式求出答案．【解析】（1）设该项绿化工程原计划每天完成x米2，根据题意得：﹣＝4，解得：x＝2000，经检验，x＝2000是原方程的解，答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；（2）设花圃的宽度为x米，则BC＝22+2﹣3x＝24﹣3x，根据题意，得（24﹣3x）x＝45，解得：x1＝3，x2＝5．∵当x＝3时，24﹣3x＝15＞14，∴不符合题意，舍去．∴宽为5米，长为9米．答：花圃的长为9米，宽为5米．【变式】．（2020春•平桂区期中）如图，在△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从A沿AC边向C点以1cm/s的速度移动，在C点停止，点Q从C点开始沿CB边向点B以1.5cm/s的速度移动，在B点停止，点P，Q分别从A、C同时出发4秒钟后PQ＝2cm．（1）求证：∠ACB＝90°；（2）若点P、Q分别从A、C同时出发，经过几秒钟后PQ＝BQ．【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可求解；（2）PC＝（6﹣x）cm，CQ＝1.5xcm，BQ＝（8﹣1.5x）cm，利用勾股定理和PQ＝BQ列出方程，求出答案．【解析】（1）P、Q同时出发4秒钟后：PC2＝（6﹣4×1）2＝4，QC2＝（1.5×4）2＝36，∴PC2+QC2＝4+36＝40，∵PQ＝2cm，∴PQ2＝40，∴PC2+QC2＝PQ2，∴∠PCQ＝90°，即∠ACB＝90°；（2）设经过x秒钟后PQ＝BQ，则：PC＝AC﹣AP＝（6﹣x）cm，CQ＝1.5xcm，BQ＝（8﹣1.5x）cm，∵PQ＝BQ，∴PQ2＝BQ2．∵PQ2＝PC2+QC2＝（6﹣x）2+（1.5x）2，∴（6﹣x）2+（1.5x）2＝（8﹣1.5x）2，解得：x1＝2，x2＝﹣14（不合题意，舍去）．答：经过2秒钟后，PQ＝BQ．【满分训练】一．选择题（共10小题）1．（2022•桥西区校级模拟）如图，将边长为40cm的正方形硬纸板的四个角各剪掉一个同样大小的正方形，剩余部分折成一个无盖的盒子（纸板的厚度忽略不计）若该无盖盒子的底面积为900cm2，盒子的容积是（）A．3600cm3 B．4000cm3 C．4500cm3 D．9000cm3【分析】设剪掉的正方形的边长为xcm，则做成的无盖盒子的底面为长（40﹣2x）cm的正方形，根据该无盖盒子的底面积为900cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再利用盒子的容积＝该无盖盒子的底面积×盒子的高，即可求出结论．【解析】设剪掉的正方形的边长为xcm，则做成的无盖盒子的底面为长（40﹣2x）cm的正方形，依题意得：（40﹣2x）2＝900，解得：x1＝5，x2＝35（不合题意，舍去），∴盒子的容积为900×5＝4500（cm3）．故选：C．2．（2022•枣阳市模拟）如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为77m2，设道路的宽为xm，则根据题意，可列方程为（）A．12×8﹣12x﹣8x+2x2＝77 B．12×8﹣12x﹣2×8x＝77 C．（12﹣x）（8﹣x）＝77 D．（8﹣x）（12﹣2x）＝77【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．【解析】∵道路的宽应为x米，∴由题意得，（12﹣x）（8﹣x）＝77，故选：C．3．（2022•浦江县模拟）取一张长与宽之比为5：2的长方形纸板，剪去四个边长为5cm的小正方形（如图）．并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒，要使包装盒的容积为200cm3（纸板的厚度略去不计）．这张长方形纸板的长为多少厘米？（）A．24cm B．30cm C．32cm D．36cm【分析】设这张长方形纸板的长为5x厘米，宽为2x厘米，根据包装盒的容积为200cm3，得5（5x﹣10）•（2x﹣10）＝200，解方程即可．【解析】设这张长方形纸板的长为5x厘米，宽为2x厘米，根据题意，得5（5x﹣10）•（2x﹣10）＝200，解方程，得x1＝1（不合题意，舍去），x2＝6，∴这张长方形纸板的长为30厘米，故选：B．4．（2022•侯马市模拟）如图是某公园在一长35m，宽23m的矩形湖面上修建的等宽的人行观景曲桥，它的面积恰好为原矩形湖面面积的，求人行观景曲桥的宽．若设人行观景曲桥的宽为xm，则x满足的方程为（）A． B．（35﹣x）（23﹣x）+2x2＝23×35 C． D．（35﹣x）（23﹣x）＝23×35【分析】分别表示出长和宽，根据矩形的面积公式列方程即可．【解析】若设人行观景曲桥的宽为xm，、根据题意得：，故选：C．5．（2022•嘉兴一模）如图，一块长方形绿地长90米，宽60米．在绿地中开辟两条道路，使得的a：b＝2：3，开辟道路后剩余绿地面积为5046平方米，则b的值为（）A．1米 B．2米 C．3米 D．4米【分析】剩余部分可合成长为（90﹣a），宽为（60﹣b）的长方形，结合a：b＝2：3且剩余绿地面积为5046平方米，即可得出关于b的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【解析】依题意得：（90﹣b）（60﹣a）＝5046，即（90﹣b）（60﹣b）＝5046，整理得：b2﹣180b+531＝0，解得：b1＝3，b2＝177（不合题意，舍去）．故选：C．6．（2022•海珠区一模）某小区原有一块长为30米，宽为20米的矩形康乐健身区域，现计划在这一场地四周（场内）筑一条宽度相等的健走步道，其步道面积为214平方米，设这条步道的宽度为x米，可以列出方程是（）A．（30﹣2x）（20﹣2x）＝214 B．（30﹣x）（20﹣x）＝30×20﹣214 C．（30﹣2x）（20﹣2x）＝30×20﹣214 D．（30+2x）（20+2x）＝30×20﹣214【分析】设出健走步道的宽度，然后根据面积间的关系列出方程求解即可．【解析】设健走步道的宽度为x米，根据题意得：（30﹣2x）（20﹣2x）＝30×20﹣214，故选：C．7．（2022春•温州期中）《代数学》中记载，形如x2+8x＝33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+6x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为19，则该方程的正数解为（）A．5 B． C． D．【分析】根据题意先求出空白的小正方形的边长，再表示出大正方形的面积，根据大正方形的边长减去2个空白小正方形的边长即为方程的正数解．【解析】根据题意，可知以正方形的边长为一边向外构造的一个矩形的面积为x，∴四个空白的小正方形的边长为，∴大正方形的面积为19+4×＝19+9＝28，∴该方程的正数解为﹣3，故选：B．8．（2022•北碚区校级模拟）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（）A．x2+62＝102 B．（10﹣x）2+62＝x2 C．x2+（10﹣x）2＝62 D．x2+62＝（10﹣x）2【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，利用勾股定理列出方程即可．【解析】设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，根据勾股定理得：x2+62＝（10﹣x）2．故选D．9．（2020•衡阳）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（）A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600 B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600 C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600 D．（35﹣x）（20﹣2x）＝600【分析】若设小道的宽为x米，则阴影部分可合成长为（35﹣2x）米，宽为（20﹣x）米的矩形，利用矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解析】依题意，得：（35﹣2x）（20﹣x）＝600．故选：C．10．（2020•平顶山模拟）如图所示，把四个长和宽分别为x+2和x的矩形拼接成大正方形．若四个矩形和中间小正方形的面积和为4×35+22，则根据题意能列出的方程是（）A．x2+2x﹣35＝0 B．x2+2x+35＝0 C．x2+2x﹣4＝0 D．x2+2x+4＝0【分析】根据正方形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，变形后即可得出结论．【解析】依题意，得：（x+x+2）2＝4×35+22，即x2+2x﹣35＝0．故选：A．二．填空题（共6小题）11．（2022春•西湖区校级期中）如图，在宽为25m，长为40m的长方形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干块，作为小麦试验田，假设试验田面积为912m2，求道路的宽为多少？设道路的宽为xm，可列出的方程是x2﹣45x+44＝0．（化为一般形式）【分析】设道路的宽为xm，则种植小麦的部分可合成长为（40﹣2x）m，宽为（25﹣x）m的矩形，根据试验田面积为912m2，即可得出关于x的一元二次方程，化简后即可得出结论．【解析】设道路的宽为xm，则种植小麦的部分可合成长为（40﹣2x）m，宽为（25﹣x）m的矩形，依题意得：（40﹣2x）（25﹣x）＝912，化简得：x2﹣45x+44＝0．故答案为：x2﹣45x+44＝0．12．（2022春•鄞州区期中）一张长方形照片长21cm，宽10cm，配一个镜框，镜框的四条边宽度都相等，且镜框的面积是照片本身面积的四分之一，求镜框的宽度．设镜框的宽度为xcm，依题意可列方程为8x2+124x﹣105＝0（化为一般式）【分析】根据镜框所占面积是照片本身面积的四分之一，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解析】设镜框的宽度为xcm，依题意，得：21×10＝4[（21+2x）（10+2x）﹣21×10]，整理，得：8x2+124x﹣105＝0．故答案为：8x2+124x﹣105＝0．13．（2022•山西模拟）如图是一张长6cm，宽5cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形（阴影部分），剩余部分可制成底面积是6cm2的有盖的长方体铁盒．若设剪去的正方形的边长为xcm，则根据题意可列方程（3﹣x）（5﹣2x）＝6．【分析】根据底面矩形的面积公式可得答案．【解析】设剪去的正方形的边长为xcm．则列出的方程是（3﹣x）（5﹣2x）＝6，故答案为：（3﹣x）（5﹣2x）＝6．14．（2021秋•朝阳县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝8cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动，则2或3秒时，△BPQ的面积是6cm2．【分析】设运动时间为t秒，则PB＝（10﹣2t）cm，BQ＝tcm，利用三角形的面积计算公式，结合△BPQ的面积是6cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论．【解析】设运动时间为t秒，则PB＝（10﹣2t）cm，BQ＝tcm，依题意得：（10﹣2t）t＝6，整理得：t2﹣5t+6＝0，解得：t1＝2，t2＝3．∴2或3秒时，△BPQ的面积是6cm2．故答案为：2或3．15．（2022春•庆元县校级月考）某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠现有墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两面用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．若饲养场的面积为180平方米，则饲养场（矩形ABCD）的一边AB的长为10米．【分析】设饲养场（矩形ABCD）的一边AB长为x米，则饲养场另一边BC＝（总长+3个1米的门的宽度）﹣3x米＝（48﹣3x）（米），根据矩形的面积公式列出方程，解得即可．【解析】设饲养场（矩形ABCD）的一边AB长为x米，则饲养场另一边BC＝（总长+3个1米的门的宽度）﹣3x米＝（45+3）﹣3x＝（48﹣3x）（米），根据题意得：x（48﹣3x）＝180，解得x1＝6，x2＝10，0≤48﹣3x≤27，0≤x≤15，∴7≤x≤15，∴x＝10，答：饲养场（矩形ABCD）的一边AB的长为10米，故答案为：10．16．（2020•山西）如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为2cm．【分析】根据题意找到等量关系列出方程组，转化为一元二次方程求解即可．【解析】设底面长为acm，宽为bcm，正方形的边长为xcm，根据题意得：，解得a＝10﹣2x，b＝6﹣x，代入ab＝24中，得：（10﹣2x）（6﹣x）＝24，整理得：x2﹣11x+18＝0，解得x＝2或x＝9（舍去），答：剪去的正方形的边长为2cm．故答案为：2．三．解答题（共4小题）17．（2022春•长兴县期中）某牧场准备利用现成的一堵“7”字形的墙面（粗线A﹣B﹣C表示墙面）建饲养场，已知AB⊥BC，AB＝3米，BC＝15米，现计划用总长为38米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场BDEF，并在每个区域开一个宽2米的门，如图（细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆GH隔开），点F可能在线段BC上，也可能在线段BC的延长线上．（1）如图1，当点F在线段BC上时，①设EF的长为x米，则DE＝（45﹣3x）米；（用含x的代数式表示）②若围成的饲养场BDEF的面积为132平方米，求饲养场的宽EF的长；（2）如图2，当点F在线段BC延长线上，所围成的饲养场BDEF的面积能否为156平方米？如果能达到，求出EF的长；如果不能，请说明理由．【分析】（1）①根据各边之间的关系，即可用含x的代数式表示出DE的长；②利用矩形的面积计算公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合DE不超过15米，即可得出饲养场的宽EF的长为11米；（2）不能达到，设EF的长为y米，则DE＝米，利用矩形的面积计算公式，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣16＜0，可得出该方程没有实数根，即不能达到．【解析】（1）①设EF的长为x米，则DE＝38+2+2﹣（3x﹣3）＝（45﹣3x）（米）．故答案为：（45﹣3x）．②依题意得：x（45﹣3x）＝132，整理得：x2﹣15x+44＝0，解得：x1＝4，x2＝11．当x＝4时，45﹣3x＝45﹣3×4＝33＞15，不合题意，舍去；当x＝11时，45﹣3x＝45﹣3×11＝12＜15，符合题意．答：饲养场的宽EF的长为11米．（2）不能达到，理由如下：设EF的长为y米，则DE＝＝米，依题意得：y•＝156，整理得：y2﹣20y+104＝0，∵Δ＝（﹣20）2﹣4×1×104＝﹣16＜0，∴该方程没有实数根，即当点F在线段BC延长线上，所围成的饲养场BDEF的面积不能达到156平方米．18．（2022•大同二模）如图，某中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地面积的一半区域种花，其余部分硬化．小亮同学设计了一个宽度相同的“U”形区域，求花带的宽度．【分析】设花带的宽度为xm，则硬化的部分长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m，根据硬化部分的面积为空地面积的一半，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合（30﹣2x）为正值，即可得出花带的宽度为5m．【解析】设花带的宽度为xm，则硬化的部分长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m，依题意得：（30﹣2x）（20﹣x）＝30×20×，整理得：x2﹣35x+150＝0，解得：x1＝5，x2＝30．当x＝5时，30﹣2x＝30﹣2×5＝20＞0，符合题意；当x＝30时，30﹣2x＝30﹣2×30＝﹣30＜0，不符合题意，舍去．答：花带的宽度为5m．19．（2020秋•同心县期末）“疫情”期间，某小区准备搭建一个面积为12平方米的矩形临时隔离点ABCD，如图所示，矩形一边利用一段已有的围墙（可利用的围墙长度仅有5米