专题03 方程与方程组（真题5个考点模拟23个考点） （解析版）

专题03方程与方程组（真题5个考点模拟23个考点）一．一元一次方程的应用（共2小题）1．（2020•安徽）某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比，该超市2020年4月份销售总额增长10%，其中线上销售额增长43%，线下销售额增长4%．（1）设2019年4月份的销售总额为a元，线上销售额为x元，请用含a，x的代数式表示2020年4月份的线下销售额（直接在表格中填写结果）；时间销售总额（元）线上销售额（元）线下销售额（元）2019年4月份axa﹣x2020年4月份1.1a1.43x1.04（a﹣x）（2）求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值．【分析】（1）由线下销售额的增长率，即可用含a，x的代数式表示出2020年4月份的线下销售额；（2）根据2020年4月份的销售总额＝线上销售额+线下销售额，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值（用含a的代数式表示），再将其代入中即可求出结论．【解答】解：（1）∵与2019年4月份相比，该超市2020年4月份线下销售额增长4%，∴该超市2020年4月份线下销售额为1.04（a﹣x）元．故答案为：1.04（a﹣x）．（2）依题意，得：1.1a＝1.43x+1.04（a﹣x），解得：x＝a，∴＝＝＝0.2．答：2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值为0.2．【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．2．（2019•安徽）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？【分析】设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x﹣2）米．根据“甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米”列出方程，然后求工作时间．【解答】解：设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x﹣2）米，由题意，得2x+（x+x﹣2）＝26，解得x＝7，所以乙工程队每天掘进5米，（天）答：甲乙两个工程队还需联合工作10天．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意得出两队的工效，进而得出等量关系是解题关键．二．二元一次方程组的应用（共2小题）3．（2023•安徽）根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元．已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，求调整前甲、乙两地该商品的销售单价．【分析】设调整前甲地该商品的销售单价为x元，乙地该商品的销售单价为y元，根据销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，列出二元一次方程组，解方程组即可．【解答】解：设调整前甲地该商品的销售单价为x元，乙地该商品的销售单价为y元，由题意得：，解得：，答：调整前甲地该商品的销售单价40元，乙地该商品的销售单价为50元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．4．（2022•安徽）某地区2020年进出口总额为520亿元，2021年进出口总额比2020年有所增加，其中进口额增加了25%，出口额增加了30%．注：进出口总额＝进口额+出口额．（1）设2020年进口额为x亿元，出口额为y亿元，请用含x，y的代数式填表：年份进口额/亿元出口额/亿元进出口总额/亿元2020xy52020211.25x1.3y1.25x+1.3y（2）已知2021年进出口总额比2020年增加了140亿元，求2021年进口额和出口额分别是多少亿元？【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以用含x、y的代数式表示出2021年进出口总额；（2）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程组，然后求解即可．【解答】解：（1）由表格可得，2021年进出口总额为：1.25x+1.3y，故答案为：1.25x+1.3y；（2）由题意可得，，解得，∴1.25x＝400，1.3y＝260，答：2021年进口额是400亿元，出口额是260亿元．【点评】本题考查二元一次方程组的应用、列代数式，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组．三．解一元二次方程-直接开平方法（共1小题）5．（2019•安徽）解方程：（x﹣1）2＝4．【分析】利用直接开平方法，方程两边直接开平方即可．【解答】解：两边直接开平方得：x﹣1＝±2，∴x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，解得：x1＝3，x2＝﹣1．【点评】此题主要考查了直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．四．根的判别式（共2小题）6．（2020•安徽）下列方程中，有两个相等实数根的是（）A．x2﹣2x＝3 B．x2+1＝0 C．x2+1＝2x D．x2﹣2x＝0【分析】分别计算四个方程的根的判别式，然后根据判别式的意义对各方程的根的情况进行判断，从而得到正确选项．【解答】解：A．原方程化为x2﹣2x﹣3＝0，Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，方程有两个不相等的实数解，所以A选项不符合题意；B．Δ＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，方程没有实数解，所以B选项不符合题意；C．原方程化为x2﹣2x+1＝0，Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，方程有两个相等的实数解，所以C选项符合题意；D．Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞，方程有两个不相等的实数解，所以D选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解决问题的关键．7．（2022•安徽）若一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝2．【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝16﹣8m＝0，解之即可得出结论．【解答】解：∵一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝16﹣8m＝0，解得：m＝2．∴m＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等实数根”是解题的关键．一．解一元一次方程（共2小题）1．（2023•怀远县二模）方程＝1去分母正确的是（）A．2（3x﹣1）﹣3（2x+1）＝6 B．3（3x﹣1）﹣2（2x+1）＝1 C．9x﹣3﹣4x+2＝6 D．3（3x﹣1）﹣2（2x+1）＝6【分析】根据等式的性质，方程两边同时乘以6，去括号，选出正确的选项即可．【解答】解：﹣＝1，方程两边同时乘以6得：3（3x﹣1）﹣2（2x+1）＝6，去括号得：9x﹣3﹣4x﹣2＝6，故选：D．【点评】本题考查了解一元一次方程，正确掌握等式的性质是解题的关键．2．（2023•六安三模）关于x的一元一次方程的解为x＝﹣1．【分析】方程去分母，移项即可求出解．【解答】解：去分母得：x+1＝0，移项得：x＝﹣1．故答案为：x＝﹣1．【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键．二．由实际问题抽象出一元一次方程（共3小题）3．（2023•花山区一模）受疫情影响，某景区2020年上半年游客较少，随着国内疫情逐步得到控制，2020年下半年游客人数比2020年上半年增加了40%，预计2021年上半年游客人数将达到2020年上半年的2倍，设2021年上半年，与2020年下半年相比游客人数的增长率为x，则下列关系正确的是（）A．（1+40%）（1+x）＝2 B．（1+40%）（1+x）2＝2 C．1+40%+x＝2 D．1+40%（1+x）＝2【分析】利用2021年上半年游客人数＝2020年下半年游客人数×（1+增长率），即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【解答】解：依题意得：（1+40%）（1+x）＝2．故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．4．（2023•固镇县一模）本人三年前存了一份3000元的教育储蓄，今年到期时的本利和为3243元，请你帮我算一算这种储蓄的年利率．若年利率为x%，则可列方程3000+3000×3×x%＝3243．（年存储利息＝本金×年利率×年数，不计利息税）【分析】本利和＝本金+利息＝本金+本金×年利率×年数，把相关数值代入即可．【解答】解：∵本金为3000元，年利率为x%，存了3年．∴利息为3000×x%×3，∴可列方程为3000+3000×3×x%＝3243，故答案为：3000+3000×3×x%＝3243．【点评】本题考查了列一元一次方程解决实际问题，明确关系式：本利和＝本金+利息是解题的关键．5．（2023•蒙城县三模）小刚从家出发去上学，若跑步去学校，每小时跑10km会迟到5分钟：若同一时刻沿着同一路线，骑自行车去学校，每小时骑15km则可早到12分钟，设他家到学校的路程是xkm，则根据题意列出方程是（）A． B． C． D．【分析】设他家到学校的路程是xkm，根据时间＝路程÷速度结合上课时间不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【解答】解：设他家到学校的路程是xkm，依题意，得：﹣＝+．故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．三．一元一次方程的应用（共7小题）6．（2023•合肥三模）为保障蔬菜基地种植用水，需要修建若干米灌溉水渠，某施工队计划8天完成任务，在完成一半任务后，遭遇了持续的恶劣天气，每天比原来少修建20米，最后完成任务共用了10天，问施工队共需完成修建灌溉水渠多少米？【分析】设施工队共需完成修建灌溉水渠x米，利用工作效率＝工作效率÷工作时间，结合“在完成一半任务后，遭遇了持续的恶劣天气，每天比原来少修建20米”，即可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设施工队共需完成修建灌溉水渠x米，根据题意得：﹣＝20，解得：x＝480．答：施工队共需完成修建灌溉水渠480米．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．7．（2023•淮南二模）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关：初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，求此人第一和第六这两天共走的路程．【分析】设此人第六天走的路程为x里，则前五天走的路程分别为2x，4x，8x，16x，32x里，由此人六天一共走了378里，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【解答】解：设此人第六天走的路程为x里，则前五天走的路程分别为2x，4x，8x，16x，32x里，依题意，得：x+2x+4x+8x+16x+32x＝378．解得：x＝6，32x＝192，答：此人第六天走的路程为6里，第一天走的路程为192里．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．8．（2023•瑶海区二模）列方程或方程组解应用题：2022年卡塔尔世界杯小组赛中，A组四个球队之间进行单循环比赛，每个队都要赛3场，本小组一共赛6场，各队胜负场数及得分如表（不完整）：注：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．球队名称胜场平场负场数积分荷兰07塞内加尔1厄瓜多尔1114卡塔尔0030根据以上信息，求：（1）荷兰队胜场数、平场数各是多少？（2）塞内加尔队最后的积分是多少？【分析】（1）设荷兰队胜场数为x，平场数为3﹣x，根据题目可列出一元一次方程，解方程即可得到结论；（2）根据各队的平场数可推出塞内加尔也没有平场，从而得到塞内加尔队胜2场、平0场，从而计算得塞内加尔队最后的积分是6．【解答】解：（1）设荷兰队胜场数为x，平场数为3﹣x，根据题意，3x+3﹣x＝7，解得，x＝2，3﹣x＝1，答：荷兰队胜场数为2，平场数为1．（2）∵每个队都要赛3场，本小组一共赛6场，∴由荷兰和厄瓜多尔各自平1场，卡塔尔没有平场可知，塞内加尔也没有平场，而已知塞内加尔输了1场，每队均赛3场，故塞内加尔赢了2场，∴塞内加尔队最后的积分是3×2+1×0+0×1＝6（分）．答：塞内加尔队最后的积分是6分．【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确列出方程是解题的关键．9．（2023•萧县三模）《九章算术》是中国古代《算经十书》最重要的一部，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系，其中有一道阐述“盈不足数”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．其意思可以理解为现在有一些人共同买一个物品，如果每人出8钱，还多出3钱；如果每人出7钱，则还差4钱．（1）若共同买这一物品的人数为x人，则根据每人出8钱，还多出3钱，表示该物品的价格为（8x﹣3）钱（用含x的式子表示）；（2）计算购买3个该物品所需的钱数．【分析】（1）利用物品的钱数＝每人出的钱数×人数﹣3，即可用含x的代数式表示出物品的价格；（2）根据物品的价格不变，可得出关于x的一元一次方程，解之可求出x的值，将其代入（8x﹣3）中，可求出物品的价格，再×3，即可求出购买3个该物品所需的钱数．【解答】解：（1）根据题意得：该物品的价格为（8x﹣3）钱．故答案为：（8x﹣3）；（2）根据题意得：8x﹣3＝7x+4，解得：x＝7，∴8x﹣3＝8×7﹣3＝56﹣3＝53，∴53×3＝159（钱）．答：购买3个该物晶需159钱．【点评】本题考查了一元一次方程的应用、数学常识以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出物品的价格；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．10．（2023•蚌山区三模）在举办“智慧大阅读”的某一项比赛现场，组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共12个，若桌子腿数与凳子腿数的和为40条，则每个比赛场地有几张桌子和几条凳子？【分析】首先根据题意，设有x张桌子，则有（12﹣x）条凳子，然后根据：桌子腿数+凳子腿数＝40，列出方程，求出桌子的数量，进而求出凳子的数量即可．【解答】解：设有x张桌子，则有（12﹣x）条凳子，依题意得：4x+3（12﹣x）＝40，解得：x＝4，∴12﹣x＝12﹣4＝8，答：每个比赛场地有4张桌子和8条凳子．【点评】本题考查一元一次方程的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解题的关键．11．（2023•庐江县三模）受连日暴雨影响，某地甲乙两个村庄穴发泥石流灾害，急需从市中心东．西两个储备仓库调运救灾物资．已知这两个储备仓库均有救灾物资15吨，其中A村需要18吨，B村需要12吨．从东仓库运往A、B两村的运费分别为60元/吨和20元/吨，从西仓库运往A、B两村的运费分别为40元/吨和30元/吨．（1）设从东仓调运x吨救灾物资去A村，完成下列表格：运往A村的物资/吨运往B村的物资/吨东仓库x15﹣x西仓库18﹣xx﹣3（2）调运结束之后，结算运费时发现，支付给东西两个仓库的运费相差220元，求x的值．【分析】（1）根据已知填表即可；（2）求出东西两个仓库的运费，分两种情况列方程可解得答案．【解答】解：（1）填表如下：运往A村的物资/吨运往B村的物资/吨东仓库x15﹣x西仓库18﹣xx﹣3故答案为：15﹣x，18﹣x，x﹣3；（2）由题意知：支付给东仓库的运费为：60x+20（15﹣x）＝40x+300，支付给西仓库的运费为：40（18﹣x）+30（x﹣3）＝630﹣10x，若40x+300﹣（630﹣10x）＝220，解得x＝11，若630﹣10x﹣（40x+300）＝220，解得：x＝2.2＜3，不符合题意，舍去．答：x的值为11．【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出相关的代数式和方程解决问题．12．（2023•砀山县一模）A，B两个超市同时促销某款笔记本，已知两个超市的标价都是每本10元，A超市的优惠条件是：不超过10本按标价销售，从第11本开始每本按标价的70%销售；B超市的优惠条件是：每本均按标价的80%销售．（1）小明要购买x本（x＞10）笔记本时，到A超市需要付款（7x+30）元，到B超市需要付款8x元；（2）购买多少本时，两个超市付款一样多？【分析】（1）根据题意，可以分别写出到两家超市的付款情况；（2）根据到两个超市付款一样多和（1）中的结果，可以列出相应的方程，然后求解即可．【解答】解：（1）由题意可得，小明要购买x本（x＞10）练习本时，到甲超市需要付款10×10+（x﹣10）×10×70%＝（7x+30）元，到乙超市需要付款10×80%x＝8x（元），故答案为：（7x+30），8x；（2）由题意可得，7x+30＝8x，解得x＝30，答：购买30本时，两个超市付款一样多．【点评】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程和代数式．四．二元一次方程的定义（共1小题）13．（2023•禹会区二模）若方程7x|m|+（m+1）y＝6是关于x，y的二元一次方程，则m的值为1．【分析】根据二元一次方程的定义即可得到答案．【解答】解：根据二元一次方程的定义，方程中只含有2个未知数且未知数的次数为1，得，解得m＝1，故答案为：1．【点评】此题考查的是二元一次方程的定义及绝对值，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．五．解二元一次方程组（共1小题）14．（2023•庐阳区校级模拟）方程组的解为．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：，①+②得：4x＝8，解得：x＝2，把x＝2代入①得：y＝1，则方程组的解为．故答案为：．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．六．由实际问题抽象出二元一次方程组（共2小题）15．（2023•包河区三模）2022年某地区参加养老保险的妇女人数共165万人，比2010年增加120万人，其中参加城镇职工养老保险和城乡居民养老保险的人数分别是2010年的1.5倍和8倍，设2022年参加城镇职工养老保险和城乡居民养老保险的人数分别为x万人和y万人，则（）A． B． C． D．【分析】根据2022年某地区参加养老保险的妇女人数及2010年该地区参加养老保险的妇女人数间的关系，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：∵2022年某地区参加养老保险的妇女人数共165万人，∴x+y＝165；∵2022年某地区参加养老保险的妇女人数比2010年增加120万人，且2022年参加城镇职工养老保险和城乡居民养老保险的人数分别是2010年的1.5倍和8倍，∴+＝162﹣120．∴根据题意可列方程组．故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．16．（2023•雨山区校级模拟）《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人闲坐恼心肠，画地算了半晌．这个题目的意思是：甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（）A． B． C． D．【分析】根据“甲+9＝2（乙﹣9）”、“乙+9＝甲﹣9”可以列出相应的方程组，本题得以解决．【解答】解：设甲有x只羊，乙有y只羊，根号题意得，．故选：B．【点评】此题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答此题的关键是弄清题意，设出未知数，再根据数量关系列出方程组解决问题．七．二元一次方程组的应用（共4小题）17．（2023•庐阳区校级三模）在某学校食堂为学生提供的400克早餐套餐中，蛋白质总含量为10%，包括一个谷物面包，一盒牛奶和一个去壳鸡蛋（一个去壳鸡蛋的质量约为50克，其中蛋白质含量为11克：谷物面包和牛奶的部分主要营养成分如图所示）．项目面包（含量）牛奶（含量）蛋白质10%7%脂肪30%3.4%碳水化合物45%5.8%设该份早餐中谷物面包为x克，牛奶为y克．（1）请补全表格（用含有x，y的代数式表示）；谷物面包牛奶去壳鸡蛋总量质量/克xy50400蛋白质含量/克10%x7%y11400×10%（2）求出x，y的值．【分析】（1）根据谷物面包、牛奶的质量及两种食物中蛋白质的含量，即可用含x（y）的代数式表示出该食物中蛋白质的含量；（2）根据“早餐套装的总质量为400克，且蛋白质总含量为10%”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意得：谷物面包中蛋白质的含量为10%x克，牛奶中蛋白质的含量为7%y克．故答案为：10%x；7%y；（2）根据题意得：，解得：．答：x的值为150，y的值为200．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．18．（2023•合肥模拟）国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋，已知购买5支毛笔和12副围棋共花费315元，购买8支毛笔和6副围棋共花费240元，求每支毛笔和每副围棋的单价各多少元．【分析】设每副围棋的单价是y元，每支毛笔的单价是x元，由题意：购买5支毛笔和12副围棋共花费315元，购买8支毛笔和6副围棋共花费240元，即可列出关于x、y的二元一次方程组，解二元一次方程组即可得出结论．【解答】解：设每副围棋的单价是y元，每支毛笔的单价是x元，依题意得：，解得：，答：每支毛笔的单价是15元，每副围棋的单价是20元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．19．（2023•宿州模拟）为了丰富同学们的课余生活、拓展同学们的视野，学校书店准备购进甲、乙两类中学生书刊，已知甲类书刊比乙类书刊每本贵2元，若购买500本甲类书刊和400本乙类书刊共需要8200元，其中甲、乙两类书刊的进价和售价如表：甲乙进价/（元/本）xy售价/（元/本）2013（1）求x，y的值；（2）第二次学校书店购进了1000本甲书刊和500本乙书刊，为了扩大销量，小卖部准备对甲书刊进行打折出售，乙书刊价格不变，全部售完后总利润为8500元，求甲书刊打了几折？【分析】（1）由题意：甲类书刊比乙类书刊每本贵2元，若购买500本甲类书刊和400本乙类书刊共需要8200元，列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）设甲书刊打了m折，由题意：全部售完后总利润为8500元，列出一元一次方程，解方程即可．【解答】（1）由题意得：，解得：，答：x＝10，y＝8；（2）由题意得：两类书刊进价共为（1000×10+500×8）＝14000（元），设甲书刊打了m折，则两类书刊售价为：1000×20×0.1m+500×13＝2000m+6500（元），由题意得：2000m+6500﹣14000＝8500，解得：m＝8，答：甲书刊打了8折．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．20．（2023•安徽模拟）某工厂安排100名工人生产A、B、C三种产品，每人每天可以生产1件A产品或2件B产品或1件C产品，生产1件A产品可获利50元，生产1件B产品可获利30元，要求每天生产的B产品数和C产品数相等，且生产A产品的获利比生产B产品的获利多800元，则应安排多少人生产B产品？【分析】设应安排x人生产A产品，y人生产B产品，则应安排（100﹣x﹣y）人生产C产品，由题意：每天生产的B产品数和C产品数相等，且生产A产品的获利比生产B产品的获利多800元，列出二元一次方程组，解方程组即可．【解答】解：设应安排x人生产A产品，y人生产B产品，则应安排（100﹣x﹣y）人生产C产品，由题意得：，解得：，答：应安排20人生产B产品．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．八．一元二次方程的定义（共2小题）21．（2023•庐江县模拟）下列方程是一元二次方程的是（）A．2x+y＝1 B．x＝3x3﹣2 C．x2﹣2＝0 D．3x＝1【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解．【解答】解：A、2x+y＝1，是二元一次方程，故本选项不符合题意；B、x＝3x3﹣2，是一元三次方程，故本选项不符合题意；C、x2﹣2＝0，是一元二次方程，故本选项符合题意；D、此方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义的内容是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，叫一元二次方程．22．（2023•砀山县一模）方程+（5+m）x+3＝0是关于x的一元二次方程，则m＝﹣2．【分析】根据一元二次方程的定义知，m2﹣2＝2，且m﹣2≠0，据此可以求得m的值．【解答】解：∵方程+（5+m）x+3＝0是关于x的一元二次方程，∴m2﹣2＝2，且m﹣2≠0，解得m＝﹣2；故答案是：﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．九．一元二次方程的解（共3小题）23．（2023•定远县校级模拟）已知x2﹣3x+1＝0，求x2+的值．【分析】把方程x2﹣3x+1＝0两边除以x可得到x+＝3，则利用完全平方公式得到x2+＝（x+）2﹣2，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵x2﹣3x+1＝0，∴x﹣3+＝0，∴x+＝3，∴x2+＝（x+）2﹣2＝32﹣2＝7．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．解决本题的关键是把方程x2﹣3x+1＝0变形得到x+＝3．24．（2023•阜阳三模）若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的一个根为0，则m的值为（）A．3 B．0 C．﹣3 D．﹣3或3【分析】利用一元二次方程根的定义，确定出m的值即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的一个根为0，∴m﹣3≠0且m2﹣9＝0，解得：m＝﹣3．故选：C．【点评】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数且a≠0）．25．（2023•萧县三模）若x＝2是关于x的一元二次方程x2﹣2kx+3k﹣2＝0的解，则k＝2．【分析】直接把x＝2代入一元二次方程得到4﹣4k+3k﹣2＝0，然后解关于k的方程即可．【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣2kx+3k﹣2＝0得4﹣4k+3k﹣2＝0，解得k＝2，即k的值为2．故答案为：2．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．一十．解一元二次方程-直接开平方法（共1小题）26．（2023•庐江县模拟）解方程：2（x﹣1）2﹣18＝0【分析】根据直接开方法即可求出答案．【解答】解：∵2（x﹣1）2﹣18＝0，∴（x﹣1）2＝9，∴x﹣1＝±3，∴x＝4或x＝﹣2；【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．一十一．解一元二次方程-配方法（共2小题）27．（2023•芜湖模拟）若一元二次方程x2+bx+5＝0配方后为（x﹣3）2＝k，则b，k的值分别为（）A．0，4 B．0，5 C．﹣6，5 D．﹣6，4【分析】先把（x﹣3）2＝k化成x2﹣6x+9﹣k＝0，再根据一元二次方程x2+bx+5＝0得出b＝﹣6，9﹣k＝5，然后求解即可．【解答】解：∵（x﹣3）2＝k，∴x2﹣6x+9﹣k＝0，∵一元二次方程x2+bx+5＝0配方后为（x﹣3）2＝k，∴b＝﹣6，9﹣k＝5，∴k＝4，∴b，k的值分别为﹣6、4；故选：D．【点评】此题考查了一元二次方程的解法，掌握配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．28．（2023•庐阳区校级三模）解方程：x（x﹣6）＝6．【分析】根据单项式乘多项式的运算法则把原方程变形，利用配方法解出方程．【解答】解：原方程变形为：x2﹣6x＝6，则x2﹣6x+9＝6+9，即（x﹣3）2＝15，∴x﹣3＝±，∴x1＝3+，x2＝3﹣．【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．一十二．解一元二次方程-因式分解法（共2小题）29．（2023•芜湖模拟）解方程：x2﹣6x﹣7＝0．【分析】观察原方程，可运用二次三项式的因式分解法进行求解．【解答】解：原方程可化为：（x﹣7）（x+1）＝0，x﹣7＝0或x+1＝0；解得：x1＝7，x2＝﹣1．【点评】本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．30．（2023•庐江县一模）等腰三角形的两边长为方程x2﹣4x+3＝0的两根，则这个等腰三角形的周长为7．【分析】先利用因式分解法求出方程的两个根，从而可得等腰三角形的两边长，再根据等腰三角形的定义、三角形的三边关系定理可得这个等腰三角形的三边长，然后利用三角形的周长公式即可得．【解答】解：x2﹣4x+3＝0，因式分解，得（x﹣1）（x﹣3）＝0，解得x1＝1，x2＝3，∵等腰三角形的边长是方程x2﹣4x+3＝0的两个根，∴这个等腰三角形的两边长为1，3，（1）当边长为1的边为腰时，这个等腰三角形的三边长为1，1，3，此时1+1＜3，不满足三角形的三边关系定理，舍去；（2）当边长为3的边为腰时，这个等腰三角形的三边长为1，3，3，此时1+3＞3，满足三角形的三边关系定理，则这个等腰三角形的周长为1+3+3＝7；综上，这个等腰三角形的周长为7，故答案为：7．【点评】本题考查了解一元二次方程、等腰三角形的定义、三角形的三边关系定理等知识点，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．一十三．根的判别式（共5小题）31．（2023•霍邱县一模）关于x的一元二次方程x2﹣2023x﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定【分析】先计算出Δ＝（﹣2023）2﹣4×1×（﹣1）＝＞0，然后根据判别式Δ＝b2﹣4ac的意义即可判断方程根的情况．【解答】解：∵Δ＝（﹣2023）2﹣4×1×（﹣1）＝20232+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．32．（2023•蜀山区三模）若关于x的一元二次方程mx2+4x＝x2+2有实数根，则m的值有可能是（）A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．﹣1【分析】利用一元二次方程根的判别式求出m的取值范围即可得到答案．【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+4x＝x2+2有实数根，整理得（m﹣1）x2+4x﹣2＝0，∴Δ＝42﹣4（m﹣1）×（﹣2）≥0且m﹣1≠0，∴m≥﹣1且m≠1，∴四个选项中，只有D选项符合题意，故选：D．【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若Δ＝b2﹣4ac＞0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＝0，则方程有两个相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＜0，则方程没有实数根．33．（2023•怀远县校级模拟）若关于x的一元二次方程（k+1）2x2﹣（2k﹣1）x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（）A．且k≠﹣1 B．且k≠﹣1 C． D．【分析】根据二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，即可得出关于k的不等式组，解之即可得出k的取值范围．【解答】解：∵关x的一元二次方程（k+1）2x2﹣（2k﹣1）x+1＝0有两个不相等的实数根，∴，解得：且k≠﹣1．故选：A．【点评】本题考查一元二次方程的定义以及根的判别式，根据二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，找出关于k的不等式组是解题的关键．34．（2023•庐阳区校级三模）已知关于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣c＝0有两个相等的实数根，+c的值等于（）A．0 B．1 C．2 D．无法确定【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，建立关于a与c的等式，即可求出答案．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝4﹣4a（2﹣c）＝0，∴1﹣2a+ac＝0，∵a≠0，∴+c＝2．故选：C．【点评】考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．35．（2023•金安区一模）下列一元二次方程中，没有实数解的是（）A．（x+2）2＝1 B．x2＝x C．x2﹣x+1＝0 D．x2﹣3x﹣3＝0【分析】根据解方程可对A、B进行判断；根据根的判别式的意义可对C、D进行判断．【解答】解：A、（x+2）2＝1，解得x1＝﹣1，x2＝﹣3，所以A选项不合题意；B、x2＝x，即x2﹣x＝0，解得x1＝0，x2＝1，所以B选项不合题意；C、Δ＝（﹣1）2﹣4×1×1＝﹣3＜0，则方程没有实数解，所以C选项符合题意；D、Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣3）＝21＞0，所以D选项不合题意．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式（Δ＝b2﹣4ac）：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．一十四．根与系数的关系（共3小题）36．（2023•庐江县一模）王刚同学在解关于x的方程x2﹣3x+c＝0时，误将﹣3x看作+3x，结果解得x1＝1，x2＝﹣4，则原方程的解为（）A．x1＝﹣1，x2＝﹣4 B．x1＝1，x2＝4 C．x1＝﹣1，x2＝4 D．x1＝2，x2＝3【分析】利用根与系数的关系求得c的值；然后利用因式分解法解原方程即可．【解答】解：依题意得关于x的方程x2+3x+c＝0的两根是：x1＝1，x2＝﹣4．则c＝1×（﹣4）＝﹣4，则原方程为x2﹣3x﹣4＝0，整理，得（x+1）（x﹣4）＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4．故选：C．【点评】本题考查了根与系数的关系．此题解得c的值是解题的关键．37．（2023•花山区二模）关于x的方程x2﹣x﹣3＝0的两根分别为x1，x2，则x1+x2﹣x1•x2的值为（）A．4 B．﹣2 C．2 D．﹣4【分析】直接根据根与系数的关系求解．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣x﹣3＝0的两根分别为x1，x2，∴x1•x2＝1，x1+x2＝﹣3，∴x1+x2﹣x1•x2＝﹣3﹣1＝﹣4，故选：D．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．38．（2023•蜀山区校级模拟）已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的两根，则﹣的值是（）A．2 B． C． D．﹣2【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得a+b＝2，ab＝﹣2，再化简分式可得，最后将a+b＝2整体代入即可解答．【解答】解：∵a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的两根，∴a+b＝2，∴＝＝＝＝＝．故选：B．【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、分式的加减运算，正确对分式进行化简是解答本题的关键．一十五．由实际问题抽象出一元二次方程（共2小题）39．（2023•凤台县校级二模）某超市1月份的营业额为200万元，2月份、3月份的营业额共800万元，如果平均每月的增长率为x，则根据题意列出的方程正确的为（）A．200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000 B．200+200（1+x）+200（1+x）2＝800 C．200+200×2x＝1000 D．200（1+x）2＝800【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出方程200+200（1+x）+200（1+x）2＝200+800，然后变形，即可解答本题．【解答】解：由题意可得，200+200（1+x）+200（1+x）2＝200+800，即200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000，故选：A．【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程．40．（2023•庐阳区校级三模）某工厂计划用两年时间使产值增加到目前的4倍，并且使第二年增长率是第一年增长率的2倍，设第一年增长率为x，则可列方程得（）A．（1+x）2＝4 B．x（1+2x+4x）＝4 C．2x（1+x）＝4 D．（1+x）（1+2x）＝4【分析】由增长率间的关系，可得出第二年增长率为2x，设该工厂原产值为a，则两年后产值为4a，利用两年后产值＝原产值×（1+第一年增长率）×（1+第二年增长率），即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：∵第二年增长率是第一年增长率的2倍，且第一年增长率为x，∴第二年增长率为2x．设该工厂原产值为a，则两年后产值为4a，根据题意得：a（1+x）（1+2x）＝4a，即（1+x）（1+2x）＝4．故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．一十六．一元二次方程的应用（共7小题）41．（2023•六安三模）春季是传染病多发季节.2023年3月，我国某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有4人被感染，经过两轮传播后，就有256人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，求每轮每人传染的人数．【分析】设每轮每人传染的人数为x人，则第一轮中有4x人被感染，第二轮中有x（4+4x）人被感染，根据“开始有4人被感染，经过两轮传播后，就有256人患了甲型流感”，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【解答】解：设每轮每人传染的人数为x人，则第一轮中有4x人被感染，第二轮中有x（4+4x）人被感染，根据题意得：4+4x+x（4+4x）＝256，即4（1+x）2＝256，解得：x1＝7，x2＝﹣9（不符合题意，舍去）．答：每轮每人传染的人数为7人．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．42．（2023•庐江县一模）已知：如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？（2）是否存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的？如果存在，求出相应的t值；如果不存在，说明理由．【分析】（1）①∠BPQ＝90°；②∠BQP＝90°．然后在直角三角形BQP中根据BP，BQ的表达式和∠B的度数进行求解即可；（2）先用△ABC的面积﹣△PBQ的面积表示出四边形APQC的面积，然后根据题意四边形APQC的面积等于三角形ABC面积的，可得出一个关于t的方程，如果方程无解则说明不存在这样的t值，如果方程有解，那么求出的t值即可．【解答】解：（1）设经过t秒△PBQ是直角三角形，则AP＝tcm，BQ＝tcm，在△ABC中，AB＝BC＝3cm，∠B＝60°，∴BP＝（3﹣t）cm，在△PBQ中，BP＝（3﹣t）cm，BQ＝tcm，若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，当∠BQP＝90°时，，即秒），当∠BPQ＝90°时，，秒），答：当t＝1秒或t＝2秒时，△PBQ是直角三角形．（2）过P作PM⊥BC于M，在△BPM中，，∴，∴，∴＝，假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的，则，∴，∴t2﹣3t+3＝0，∵（﹣3）2﹣4×1×3＜0，∴方程无解，∴无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的．【点评】本题考查的是等边三角形的性质、解一元二次方程，解直角三角形与三角形面积公式，根据题意作出辅助线，利用数形结合求解是解答此题的关键．43．（2023•芜湖模拟）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？【分析】（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，利用2021年投入资金金额＝2019年投入资金金额×（1+年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设该市在2022年可以改造y个老旧小区，根据2022年改造老旧小区所需资金不多于2022年投入资金金额，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．【解答】解：（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，依题意得：1000（1+x）2＝1440，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．（2）设该市在2022年可以改造y个老旧小区，依题意得：80×（1+15%）y≤1440×（1+20%），解得：y≤，又∵y为整数，∴y的最大值为18．答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．44．（2023•金安区校级二模）如图，有一块宽为16m的矩形荒地，某公园计划将其分为A、B、C三部分，分别种植不同的植物．若已知A、B地块为正方形，C地块的面积比B地块的面积少40m2，则该矩形荒地的长为26m．【分析】设B地块的边长为xm，根据“C地块的面积比B地块的面积少40m2”列出方程求解即可．【解答】解：设B地块的边长为xm，根据题意得：x2﹣x（16﹣x）＝40，解得：x1＝10，x2＝﹣2（不符题意，舍去），∴10+16＝26m，故答案为：26m．【点评】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系，难度不大．45．（2023•安徽模拟）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月销售400个，2，3月这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月的销售量达到576个，设2，3两个月的销售量月平均增长率不变．（1）求2，3两个月的销售量月平均增长率；（2）从4月起，在3月销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．这种台灯售价定为多少时，商场4月销售这种台灯获利4800元？【分析】（1）设2，3两个月这种台灯销售量的月均增长率为x，利用三月份的销售量＝一月份的销售量×（1+月均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）解法一：设每台降价y元，则每台的销售利润为（40﹣y﹣30）元，四月份可售出（576+12y）台，利用总利润＝每台的销售利润×四月份的销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；解法二：设每台售价定为y元，则每台的销售利润为（y﹣30）元，四月份可售出[576+12（40﹣y）]台，利用总利润＝每台的销售利润×四月份的销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：（1）设2，3两个月的销售量月平均增长率为x，依题意，得：400（1+x）2＝576，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．答：2，3两个月的销售量月平均增长率为20%．（2）解法一：设这种台灯每个降价y元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元，依题意，得：（40﹣y﹣30）（576+12y）＝4800，整理，得：y2+38y﹣80＝0，解得y1＝2，y2＝﹣40（不符合题意，舍去），当y＝2时，40﹣y＝38．答：该种台灯售价定为38元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元．解法二：设这种台灯售价定为y元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元，依题意，得：（y﹣30）[576+12（40﹣y）]＝4800，整理，得y2﹣118y+3040＝0，解得y1＝38，y2＝80（不符合题意，舍去）．答：该种台灯售价定为38元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元．【点评】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．本题运用了一题多解的思路．46．（2023•萧县一模）某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠．现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式．（2）当每千克菠萝蜜降价4元时，超市获利多少元？（3）若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？【分析】（1）观察函数图象，根据图象上点的坐标，利用待定系数法，即可求出y与x之间的函数关系式；（2）利用总利润＝每千克的销售利润×销售数量，即可求出结论；（3）利用总利润＝每千克的销售利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，再结合要让顾客获得更大实惠，即可得出这种干果每千克应降价7元．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），将（2，100），（5，160）代入y＝kx+b得：，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y＝20x+60（0＜x＜20）．故答案为：y＝20x+60（0＜x＜20）．（2）（60﹣4﹣40）×（20×4+60）＝16×140＝2240（元）．答：当每千克干果降价4元时，超市获利2240元．（3）根据题意得：（60﹣x﹣40）（20x+60）＝2400，整理得：x2﹣17x+60＝0，解得：x1＝5，x2＝12，又∵要让顾客获得更大实惠，∴x＝12．答：这种干果每千克应降价12元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据图中点的坐标，利用待定系数法求出y与x之间的函数关系式；（2）根据各数量之间的关系，列式计算；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．47．（2023•定远县校级一模）平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．（1）若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？（2）商店降价销售后，决定每销售1顶头盔就向某慈善机构捐赠m元（m为整数，且1≤m≤5），帮助做“交通安全”宣传．捐赠后发现，该商店每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，求m的值．【分析】（1）设每顶头盔应降价x元，则每顶头盔的销售利润为（68﹣x﹣40）元，平均每周的销售量为（100+20x）顶，根据每周销售头盔获得的利润＝每顶头盔的销售利润×平均每周的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，结合每顶售价不高于58元，即可确定x的值；（2）设每周扣除捐赠后可获得利润为w元，每顶头盔售价为a元，利用每周销售头盔获得的利润＝每顶头盔的销售利润×平均每周的销售量，即可得出w关于a的函数关系式，利用二次函数的性质可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再结合1≤m＜5且m为整数，即可得出m的值．【解答】解：（1）设每顶头盔应降价x元，则每顶头盔的销售利润为（68﹣x﹣40）元，平均每周的销售量为（100+20x）顶，依题意得：（68﹣x﹣40）（100+20x）＝4000，整理得：x2﹣23x+60＝0，解得：x1＝3，x2＝20，∵68﹣x≤58，∴x≥10，∴x＝20．答：每顶头盔应降价20元；（2）设每周扣除捐赠后可获得利润为w元，每顶头盔售价为a元，依题意得：w＝[100+20（68﹣a）]（a﹣40﹣m）＝﹣20a2+（20m+2260）a﹣1460（40+m）．∵抛物线的对称轴为a＝，开口向下，当a≤58时，利润仍随售价的增大而增大，∴≥58，解得：m≥3，又∵1≤m≤5，且m为整数，∴m＝3或m＝4或m＝5．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式．一十七．配方法的应用（共2小题）48．（2023•庐阳区校级一模）关于x的一元二次方程新定义：若关于x的一元二次方程：a1（x﹣m）2+n＝0与a2（x﹣m）2+n＝0，称为“同族二次方程”．如2（x﹣3）2+4＝0与3（x﹣3）2+4＝0就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”．那么代数式﹣ax2+bx+2015取的最大值是（）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【分析】利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可．【解答】解：∵2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”，∴（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）（x﹣1）2+1，即（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）x2﹣2（a+2）x+a+3，∴，解得，∴﹣ax2+bx+2015＝﹣5x2﹣10x+2015＝﹣5（x+1）2+2020，则代数式﹣ax2+bx+2015能取的最大值是2020．故选：A．【点评】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．49．（2023•定远县校级三模）阅读下面的材料：我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式a2﹣2a+5的最小值．方法如下．∵a2﹣2a+5＝a2﹣2a+1+4＝（a﹣1）2+4，由（a﹣1）2≥0，得（a﹣1）2+4≥4；∴代数式a2﹣2a+5的最小值是4．（1）①仿照上述方法求代数式m2﹣4m﹣3的最小值为﹣7．②代数式﹣x2﹣4x+7的最大值为11．（2）延伸与应用：如图示，小红父亲想用长60m的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长40m，设矩形ABCD的边面积为Sm2．当AB，BC分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大值是多少？【分析】（1）①仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答；②利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可；（2）设AB＝xm，则BC＝（60﹣2x）m，根据矩形的面积公式得到S＝x（60﹣2x），再利用配方法把原式进行变形，根据二次函数的性质解答即可．【解答】解：（1）①∵m2﹣4m﹣3＝m2﹣4m+4﹣7＝（m﹣2）2﹣7，由（m﹣2）2≥0，得（m﹣2）2﹣7≥﹣7；∴代数式m2﹣4m﹣3的最小值是﹣7．故答案为：﹣7；②﹣x2﹣4x+7＝﹣x2﹣4x﹣4+11＝﹣（x+2）2+11，∵﹣（x+2）2≤0，∴﹣（x+2）2+11≤11，∴代数式﹣x2﹣4x+7有最大值，最大值为11．故答案为：11；（2）设AB＝xm，则BC＝（60﹣2x）m，根据题意得，S＝x（60﹣2x）＝60x﹣2x2＝﹣2（x2﹣30x）＝﹣2（x2﹣30x+225）+450＝﹣2（x﹣15）2+450，∵﹣2＜0，∴当x＝15时，S有最大值450，即当AB，BC分别为15m，30m时，羊圈的面积最大，最大值是450m2．【点评】本题考查的是配方法的应用，偶次方的非负性，二次函数的性质，掌握配方法的一般步骤、偶次方的非负性是解题的关键．一十八．高次方程（共2小题）50．（2023•蚌埠一模）已知是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，该数满足：x2＝x+1，x3＝2x+1，x4＝3x+2，x5＝5x+3，x6＝8x+5，…（1）依次规律，写出x7关于x的一次表达式；（2）若xn＝αx+β，请用关于x的一次表达式表示xn+1（含α，β），并证明你的结论．【分析】（1）根据等式左边系数及常数的变化规律求解即可；（2）结合（1）的规律可得xn+1＝（α+β）x+α，利用xn+1＝x⋅xn＝x（αx+β）＝αx2+βx，再代入x2＝x+1变形即可证得结论．【解答】解：（1）观察x2＝x+1，x3＝2x+1，x4＝3x+2，x5＝5x+3，x6＝8x+5每项的系数变化可得：一次项系数为上一个式子的一次项系数与常数项之和，常数项为上一个式子的一次项系数；即：x7＝13x+8；（2）由规律可得：xn+1＝（α+β）x+α；证明：∵xn＝αx+β，∴xn+1＝x⋅xn＝x（αx+β）＝αx2+βx，又∵x2＝x+1，∴xn+1＝x⋅xn＝x（αx+β）＝αx2+βx＝α（x+1）+β＝αx+α+βx＝（α+β）x+α，即：xn+1＝（α+β）x+α．【点评】此题是探求规律题，读懂题意，寻找规律是关键．还考查了整式的乘法．51．（2023•蚌山区模拟）代数基本定理告诉我们对于形如（其中a1，a2，…，an为整数）这样的方程，如果有整数根的话，那么整数根必定是an的约数．例如方程x3+8x2﹣11x+2＝0的整数根只可能为±1，±2，代入检验得x＝1时等式成立．故x3+8x2﹣11x+2含有因式x﹣1，所以原方程可转化为：（x﹣1）（x2+9x﹣2）＝0，进而可求得方程的所有解．请你仿照上述解法，解方程：x3+x2﹣11x﹣3＝0得到的解为x＝3或x＝﹣2+或x＝﹣2﹣．【分析】本题通过题干分析，按照题干的方法可得方程：x3+x2﹣11x﹣3＝0的整数根只能是±1，±3，代入检验得x＝3时等式成立，得到x＝3，然后根据方法转化原方程，得到对应的解．【解答】解：x3+x2﹣11x﹣3＝0的整数根只可能为±1，±3，代入检验得x＝3时等式成立，故x3+8x2﹣11x+2含有因式x﹣3，x3+8x2﹣11x+2＝0，（x﹣3）（x2+4x+1）＝0，∴x﹣3＝0，或x2+4x+1＝0，∴x1＝3，x2＝﹣2+，x3＝﹣2﹣，故答案为：x＝3或x＝﹣2+或x＝﹣2﹣．【点评】本题考查高阶次幂的一元方程的解法，通过判断整数解来进行因式分解，从而求出对应的解．一十九．分式方程的解