专题02 整式加减的应用（应用题专项训练）（沪科版）（解析版）

专题02整式加减的应用1．（2023春·广东清远·七年级统考期末）任意写下一个两位数，用它两个数位的数字和的10倍减去这个两位数，得差．然后对差重复这一运算程序……，以下结论正确的是（

）A．差是7的倍数 B．差是8的倍数 C．差是9的倍数 D．差是10的倍数【思路点拨】设一个两位数为ab，根据要求进行计算，即可得出结论．【解题过程】解：设一个两位数为ab，由题意，得：10a+b10b-1+10-b∴差是9的倍数，故选C．2．（2022秋·湖南永州·七年级校考期中）萱萱的妈妈下岗了，在国家政策的扶持下开了一家商店，全家每个人都要出一份力，妈妈告诉萱萱说，她第一次进货时以每件a元的价格购进了35件牛奶；每件b元的价格购进了50件洗发水，萱萱建议将这两种商品都以a+b2元的价格出售，则按萱萱的建议商品卖出后；当a>b时，商店（

A．赚钱 B．赔钱 C．不赚不赔 D．无法确定赚与赔【思路点拨】此题可以先列出商品的总进价的代数式，再列出按萱萱建议卖出后的销售额，然后利用销售额减去总进价即可判断出该商店是否盈利.【解题过程】解：由题意得，商品的总进价为30a+50b元，商品卖出后的销售额为a+b2则852因此，当a＞故选：A.3．（2023秋·江苏镇江·七年级统考期末）甲、乙两匹马各驮有一袋重量相等的大米（袋子还有较大的空余），先把甲的大米倒13给乙袋，再把乙的大米倒3A．甲多 B．乙多C．一样多 D．谁多谁少，要视原来每袋大米的重量而定【思路点拨】第一次倒大米后，甲袋的大米质量为：原来的质量×1-13，乙袋大米的质量为：原来的质量+甲袋倒出的质量；第二次倒大米后，乙袋大米的质量为：乙袋现在的质量×1-38甲袋大米的质量【解题过程】解：设甲、乙两袋均装有x千克大米，则把甲袋的大米倒13给乙袋后，甲袋还有x×1-13=23x千克，乙袋有x+∵56∴甲袋多．故选：A．4．（2023春·浙江嘉兴·七年级统考期末）已知矩形ABCD，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1与图2中阴影部分的周长差为l，若要知道l的值，只需测量（

）

A．a B．b C．BC D．AB【思路点拨】根据周长的定义，列出图1、图2中阴影部分的周长，列出算式l=4AB+2BC-2b【解题过程】解：图1中阴影部分的周长为：4AB+2BC-b图2中阴影部分的周长为：2BC+2AB-b∴l==4AB+2BC-2b-2BC-2AB+2b=2AB故若要知道l的值，只要测量图中线段AB的长．故选：D．5．（2023春·北京朝阳·七年级期末）如图，把一个周长为定值的长方形（长小于宽的3倍）分割为五个四边形，其中A是正方形，周长记为l1，B和D是完全一样的长方形，周长记为l2，C和E是完全一样的正方形，周长记为l3

A．l1,l2 B．l1,【思路点拨】设B和D的宽为a，长为c，C和E的边长为b，然后根据大长方形的周长为定值，列式得到a+2b+c是定值，然后根据A是正方形，得到c-b=b-a，解得a+c=2b，进而求解即可．【解题过程】解：如图所示，设B和D的宽为a，长为c，C和E的边长为b，

∵大长方形的周长为定值，∴2a+b∴a+2b+c是定值，∵A是正方形，∴c-b=b-a，解得a+c=2b，∴a+2b+c=2b+2b=4b是定值，∴B和D的周长l2∴a+2b+c=a+c+a+c=2a+c∴C和E的周长l3根据题意无法判断l1故选：C．6．（2023春·浙江温州·七年级校考阶段练习）如图，将长方形ABCD先向右平移a个单位，再向上平移b个单位，得到长方形EFGH，并使得两个长方形有重叠，延长BA和HE交于点M，延长HG和BC交于点N，构成长方形MBNH．已知AB=6,BC=8．记长方形MAPE,CNGQ和PFQD的周长分别为C1,C2,C3A．12 B．13 C．14 D．16【思路点拨】根据平移得出C1+C2=2【解题过程】解：由题意，可得：CN=AP=a,CQ=AM=PE=b,∴PD=AD-AP=BC-AP=8-a,PF=EF-PE=AB-PE=6-b，∴C1∴a+b=6，∴C3故选D．7．（2023秋·浙江宁波·七年级统考期末）在长方形ABCD中将正方形BGFE、正方形KLMN、长方形GHIJ和长方形NOPD按如图所示位置摆放，若已知两阴影部分周长之差，则一定能求出（

）A．正方形BGFE的周长 B．正方形KLMN的周长C．长方形NOPD中DP的长度 D．长方形NOPD中OP的长度【思路点拨】设BC=AD=m，正方形BGFE的边长为a，AB=CD=n，正方形KLMN的边长为b，则GC=m-a，AE=n-a，AK=c，用m，n，a，b，c表示出阴影部分的周长之差为2m-2b-2c，根据OP=ND=m-b-c，得出OP正好等于阴影部分周长之差的一半，从而得出答案．【解题过程】解：设BC=AD=m，正方形BGFE的边长为a，AB=CD=n，正方形KLMN的边长为b，则GC=m-a，AE=n-a，AK=c，两阴影部分周长之差为：C=2m-2a+2=2m-2a+2=2m-2a+2n-2b-2n+2a-2c=2m-2b-2c；∵OP=ND=m-b-c，∴OP=1∴已知两阴影部分周长之差可以求出OP的长，由题意可知，m，n，a，b，c均为未知数，且无法求出，∴无法求出正方形BGFE的周长，也无法求出正方形KLMN的周长，∵要求DP就必须求出CP的长，而CP的长无法求出，∴无法求出DP的长，故D正确．故选：D．8．（2022秋·江苏镇江·七年级统考期中）如图，把五个长为b、宽为a的小长方形，按图1和图2两种方式放在一个宽为m的大长方形上（相邻的小长方形既无重叠，又不留空隙）．设图1中两块阴影部分的周长和为C1，图2中阴影部分的周长为C2，若大长方形的长比宽大5-a，则C2

【思路点拨】先将图1拆成两个长方形，分别算出两个长方形的长和宽即可求出C1；将图2的每条边长都求出来，相加即可求出C2；再根据“大长方形的长比宽大5-a”得到等式3a+b=5+m，代入【解题过程】解：由图可知，C1C2∴C2又b+2a-m=5-a整理得：3a+b=5+m，∴C=-2m+6a+2b=2m-2=-2m+2=10．故答案为：10．9．（2022秋·湖北十堰·七年级十堰市实验中学校考期中）把图1中周长为16cm的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片A、B、C、D和一张长方形纸片E，并将它们按图2的方式放入周长为24cm的的长方形中．则没有覆盖的阴影部分的周长为．

【思路点拨】设D号正方形的边长为x，C号正方形的边长为y，则A号正方形的边长为x+y，B号正方形的边长为2x+y，E号长方形的长为3x+y，宽为y-x，根据图1中长方形的周长为16cm，求得x+y=2，由图2求得FG=2x+3y，根据图C中长方形的周长为24cm求得MN=12-3x-4y，没有覆盖的阴影部分的周长为2FG+2MN，计算即可得到答案．【解题过程】解：设D号正方形的边长为x，C号正方形的边长为y，则A号正方形的边长为x+y，B号正方形的边长为2x+y，E号长方形的长为3x+y，宽为y-x，由图1中长方形的周长为16cm，可得，2x+y+2x+y解得，x+y=2，如图，

FG=x+y+2x+y+y-x=2x+3y，∵图2中长方形的周长为24，∴FG+FM=24÷2=12∴FM=12-FG=12-∴MN=FM-FN=12-2x-3y-∴没有覆盖的阴影部分的周长为2FG+2MN=22x+3y故答案为：20．10．（2022秋·湖南永州·七年级校考期中）如图，某舞台的地面是由两个并排的正方形组成的，其中正方形ABCD的边长为a米，正方形ECGF的边长8米，现要求将图中阴影部分涂上油漆．（1）求出涂油漆部分的面积：（结果要求化简）．（2）若所涂油漆的价格是每平方米40元，求当a=4米时，所涂油漆的费用是多少元？【思路点拨】（1）根据正方形的面积和三角形的面积公式计算即可；（2）求出图形的面积，乘以40元，即可得到结论．【解题过程】（1）解：阴影部分的面积为a2+82-[12=a2+64-[12a=a2+64-12=12a2（2）当a=4时，12a2-4a+32=12×则所涂油漆费用=24×40=960（元）．11．（2022秋·七年级单元测试）如图，长为50cm，宽为xcm的大长方形被分割为8小块，除阴影A、B外，其余6块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为（1）从图可知，每个小长方形较长一边长是cm（用含a的代数式表示）（2）求图中两块阴影A、B的周长和（可以用x的代数式表示）；（3）若a=8cm时用含x的代数式分别表示阴影A、B的面积，并比较A，B【思路点拨】（1）由图可知小长方形较长的一边的长加上较短一边的长的3倍等于大长方形较长的边，由此求解即可；（2）根据长方形周长公式求解即可；（3）根据长方形面积公式分别表示出A、B的面积，再用作差法比较A、B面积的大小即可．【解题过程】（1）解：由题意得，每个小长方形较长一边长是50-3acm故答案为：50-3a；（2）解：2x-3a+50-3a=2x-6a+100-6a+6a+2x-100+6a=4xcm∴图中两块阴影A、B的周长和为4xcm（3）解：当a=8cmSASB∴SA∴A的面积大于B的面积．12．（2023春·山西吕梁·七年级统考期末）阅读下面材料并解决问题．我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或代数式的大小．当不能直接比较时就要考虑进行一定的转化，其中“求差法”就是常用的方法之一、所谓“求差法”，就是通过先求差、变形，然后利用差的符号来确定它们的大小．例如要比较代数式a，b的大小，只要求出它们的差a-b，判断出差的符号就可确定a与b的大小关系，即：若a-b>0，则a>b；若a-b=0，则a=b；若a-b<0，则a<b．请你应用以上材料解决下列问题：（1）用“求差法”探究大小关系时，所体现出的数学思想是（）A．分类讨论

B．数形结合

C．化归思想

D．建模思想（2）制作某产品有两种用料方案，方案一：用3块A型钢板、7块B型钢板；方案二：用2块A型钢板、8块B型钢板．已知A型钢板的面积比B型钢板的面积大．若设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，从省料角度考虑，应选哪种方案？请说明理由．（3）试比较图1和图2中两个矩形的周长M和N的大小．（c的长度不确定）

【思路点拨】（1）根据题意得知求差法”探究大小关系时，分为了a-b>0，a-b=0，a-b<0三种情况，所以体现出的数学思想是分类讨论；（2）根据题意表示出两种方案的用料，利用求差法进行比较即可；（3）根据图形表示出矩形的周长M和N的大小，利用求差法进行比较即可．【解题过程】（1）解：∵“求差法”探究大小关系时，转化为差与零的大小比较，∴体现出的数学思想是化归思想，故选：C；（2）3x+7y-2x+8y∵x>y，∴x-y>0，∴从省料角度考虑，应选方案二；（3）由图知：M=2a+b+bN=2a-c+b+2cM-N=2a+4b-2a+2b+2c①当b>c时，2b-c>0，即∴M>N；②当b=c时，2b-c=0，即∴M=N；③当b<c时，2b-c<0，即∴M<N．13．（2023秋·广东佛山·七年级统考期末）探索规律是深入认识事物的一种方法，通过观察、归纳、猜想、验证等思维方式，历经从具体到抽象的过程来揭示一般规律．问题情景：如图1所示，把火柴棒搭成正方形．

（1）问题提出：①按图1的方式，搭4个正方形需要根火柴棒；②学生A是按照图2思考的，根据他思考的方法求出搭x个正方形所需火柴棒根数的代数式；（2）问题解决：你还有其他的思考方法也能得到正方形的个数x与火柴棒的根数之间的关系吗？说明思考方法，画出对应图形，求出代数式；（3）问题运用：改变火柴棒的摆放方法搭成别的图形，画出图形，求出图形个数x与火柴棒根数之间关系的代数式．【思路点拨】（1）①根据图形中火材棒的数量计数即可；②先探究搭1个正方形，2个正方形，3个正方形需要的火材棒数量，再总结规律即可；（2）由每增加1个正方形，少1根火柴棒，可得搭x个正方形所需火柴棒根数；（3）把搭正方形改为搭正五边形，再按照同样的方法进行探究即可．【解题过程】（1）解：①按图1的方式，搭4个正方形需要4+3×3=4+9=13（根），②搭1个正方形需要4（根），搭2个正方形需要4+3=7（根），搭3个正方形需要4+3×2=10（根），搭4个正方形需要4+3×3=13（根），⋅⋅⋅⋅⋅⋅∴搭x个正方形所需火柴棒根数为4+3x-1（2）如图，第1个正方形，需要4×1-0根，第2个正方形，需要4×2-1根，第3个正方形，需要4×3-2根，••••••∴搭x个正方形所需火柴棒根数为4x-x-1（3）如图，按如下图方式搭正五边形，，同理可得：搭x个正五边形所需火柴棒根数为5+4x-114．（2022秋·江西抚州·七年级统考期中）某商场销售一款运动鞋和运动袜，运动鞋每双定价200元，运动袜每双定价40元．商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案，方案一：买一双运动鞋送一双运动袜；方案二：运动鞋和运动袜都按定价的90%付款，现某客户要到该商场购买运动鞋10双和运动袜x双（x>10）．（1）若该客户按方案一购买，需付款________元；（需化简）若该客户按方案二购买，需付款________元．（需化简）（2）按方案一购买比按方案二购买省多少钱？（3）当x=20时，通过计算说明上面的两种购买方案哪种省钱？【思路点拨】（1）方案一：买完10双鞋子后送10双袜子，即袜子只需要买x-10双，据此列式计算即可，方案二：根据运动鞋和运动袜都按定价的90%（2）根据（1），用方案二的付款减去方案一的付款即可；（2）将x分别代入代入（1）中的两个式子中计算，然后再比较即可．【解题过程】（1）解：按方案一购买：需付款200×10+40x-10按方案二购买：需付款200×10×90%故答案为：40x+1600，36x+1800．（2）解：36x+1800-40x+1600∴方案一购买比按方案二购买省（-4x+200）元．答：方案一购买比按方案二购买省-4x+200元．（3）解：当x=20时，方案一：40×20+1600=2400元，方案二：36×20+1800=2520元，∵2520>2400，∴方案一更省钱．15．（2022秋·江西南昌·七年级校联考期中）某超市在双十一期间对顾客实行优惠，规定如下：一次性购物优惠办法少于200元不予优惠低于500元但不低于200元八折优惠500元或超过500元其中500元部分给予八折优惠，超过500元部分给予七折优惠（1）若王老师一次性购物600元，他实际付款___________元．若王老师实际付款160元，那么王老师一次性购物可能是___________元；（2）若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不小于200时，他实际付款___________元，当x大于或等于500元时，他实际付款___________元（用含x的代数式表示并化简）；（3）如果王老师有两天去超市购物原价合计900元，第一天购物的原价为a元（200<a<300），用含a的代数式表示这两天购物王老师实际一共付款多少元？当a=250元时，王老师两天一共节省了多少元？【思路点拨】（1）500元按8折计算，超出的7折计算，实际付款160元，分两种情况讨论：一次性购物160元，没有优惠；一次性购物超过200元，有八折优惠；（2）当x小于500元但不小于200时，他实际付款按8折计算，大于或等于500元时．他实际付款，500这部分按8折计算，超出的x-500这部分7折计算；（3）根据（2）的思路表示第一天购物实际付款和第二天购物实际付款．【解题过程】（1）解：500×0.8+(600-500)×0.7=400+100×0.7=400+70=470（元），实际付款160元，有两种可能：一是一次性购物160元，没有优惠；二是一次性购物超过200元，则有八折优惠，则原价为160÷0.8=200（元）．所以，王老师一次性购物可能是160或200元．（2）解：当x小于500元但不小于200时，实际付款x×0.8=0.8x（元）x大于或等于500元时，实际付款：500×0.8+(x-500)×0.7=0.7x+50（元）（3）因为第一天购物原价为a元(200<a<300)则第二天购物原价为900-a元，则900-a>500第一天购物优惠后实际付款a×0.8=0.8a（元）第二天购物优惠后实际付款500×0.8+(900-a)-500则一共付款0.8a+680-0.7a=0.1a+680（元）当a=250元时，实际一共付款680+0.1×250=680+25=705（元）一共节省900-705=195（元）16．（2022秋·广东中山·七年级中山纪念中学校考期中）某市居民使用自来水按如下标准缴费（水费按月缴纳）：用户月用水量单价不超过12m3a元/m超过12m3但不超过20m1．5a元/m超过20m32a元/m（1）当a=2时，某户一个月用了28m3（2）设某户月用水量为nm3，当n>20时，该户应缴纳的水费为_______元（用含a，（3）当a=2时，甲、乙两户一个月共用水40m3，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水xm【思路点拨】（1）根据所给的收费标准进行分段计算求和即可；（2）根据所给的收费标准进行分段计算求和即可；（3）分当12<x≤20时，当20<x<28时，当28≤x≤40时，三种情况根据所给的收费标准讨论求解即可．【解题过程】（1）解：12×2+20-12=24+24+32=80元，∴该户这个月应缴纳的水费为80元；（2）解：12a+20-12=12a+12a+2an-40a=2na-16a∴当n>20时，该户应缴纳的水费为2na-16a元；故答案为：2na-16a；（3）解：∵12×2=24，∴x>12，当12<x≤20时，甲用水量超过12m3但不超过20m3，乙用水量超过∴12×2+=24+3x-36+24+24+80-4x=116-x当20<x<28时，甲的用水量超过20m3，乙的用水量超过12m3但不超过∴12×2+=24+24+4x-80+24+84-3x=x+76当28≤x≤40时，甲的用水量超过20m3，乙的用水量不超过12m3∴12×2+=24+24+4x-80+80-2x=2x+48综上所述，当12<x≤20时，甲，乙两户一个月共缴纳的水费116-x元；当20<x<28时，甲，乙两户一个月共缴纳的水费x+76元；当28≤x≤40时，甲，乙两户一个月共缴纳的水费2x+48元．17．（2022秋·重庆江北·七年级校考期末）若一个四位正整数t=abcd，其千位数字的5倍与后三位组成的数的和得到的数称为t的“知行数”，记为Kt，“知行数”百位数字的5倍与后两位组成的数的和得到的数称为t的“合一数”，记为Pt，例如：3521的“知行数”为K3521=3×5+521=536，3521的（1）K2134=______________；P（2）若一个四位数t=6000+100a+40+b（其中0≤a≤9，0≤b≤9，a，b均为整数），且满足Kt+Pt【思路点拨】（1）根据新定义进行计算即可求解；（2）根据定义求得Kt+Pt，根据Kt+P【解题过程】（1）解：根据题意得K2134=2×5+134=144；故答案为：144，49；（2）解：∵t=6000+100a+40+b，∴Kt=6×5+100a+40+b=100a+70+b；∴Kt+P∵Kt+Pt∴Kt+Pt即105a+140+2b能被33整除，且0≤a≤9，0≤b≤9，a、∴①当a=0时，即2b+140能被33整除，得b=25②当a=1时，即2b+140+105能被33整除，得b=19③当a=2时，即2b+140+105×2能被33整除，得b=13④当a=3时，即2b+140+105×3能被33整除，得b=7⑤当a=4时，即2b+140+105×4能被33整除，得b=1⑥当a=5时，即2b+140+105×5能被33整除，得b=14不符合题意；⑦当a=6时，即2b+140+105×6能被33整除，得b=11不符合题意；⑧当a=7时，即2b+140+105×7能被33整除，得b=8符合题意；⑨当a=8时，即2b+140+105×8能被33整除，得b=5符合题意；⑩当a=9时，即2b+140+105×9能被33整除，得b=2符合题意．综上可知，这个四位数为6748或6845或6942．18．（2023秋·重庆·七年级西南大学附中校考期末）阅读材料，完成下列问题：材料一：若一个四位正整数（各个数位均不为0），千位和十位数字相同，百位和个位数字相同，则称该数为“重叠数”，例如5353、3535都是“重叠数”．材料二：将一位四位正整数M的百位和十位交换位置后得到四位数N，FM（1）F(1756)=___________；F(2389)=___________；（2）试证明任意重叠数M的F(M)一定为10的倍数；（3）若一个“重叠数”t=1000a+100b+5+10a+b+51≤a≤9,0≤b≤4，当t能被7整除时，求出满足条件的所有t【思路点拨】（1）直接利用新定义计算即可得出结论；（2）设任意“重叠数”的千位和十位数字为x，百位和个位数字为y，表示出F(M)即可；（3）把t=1000a+100b+5+10a+b+5合并，再用a、b表示【解题过程】（1）F1756F2389故答案为：20，-50；（2）设任意“重叠数”的千位和十位数字为x，百位和个位数字为y，∴M=1000x+100y+10x+y=1010x+101y，N=1000x+100x+10y+y=1100x+11y，∴FM∴任意重叠数M的F(M)一定为10的倍数；（3）t=1000a+100∴N=1000a+100a+10b+5∴Ft当t能被7整除时，t=1010a+101∴30a+3b+5=310a+b+5∴10a+b+5能被7整除，∵1≤a≤9,0≤b≤4∴当b=0时，a=3，此时Ft当b=1时，a=5，此时Ft当b=2时，a=7，此时Ft当b=3时，a=2，此时Ft当b=4时，a=4，此时Ft综上所述，当t能被7整除时，求出满足条件的所有t值中，F(t)的最小值为0．19．（2022秋·七年级课时练习）一个多位数整数，a代表这个整数分出来的左边数，b代表这个整数分出来的右边数．其中a，b两部分数位相同，若a+b2例如：357满足3+72＝5，233241满足23+41（1）判断：468_____平衡数；314567_____平衡数（填“是”或“不是”）；（2）证明任意一个三位平衡数一定能被3整除；（3）若一个三位平衡数后两位数减去百位数字之差为9的倍数，且这个平衡数为偶数，求这个三位数．【思路点拨】（1）根据平衡数的定义即可判断；（2）设出这个三位平衡数，化简即可验证；（3）设出这个三位平衡数，根据后两位数减去百位数字之差为9的倍数列出代数式并化简，再根据x+y2是整数，y【解题过程】（1）∵4+82＝6∴468是平衡数；∵31+672＝49≠45∴314567不是平衡数；故答案为：是；不是；（2）证明：设这个三位平衡数为：100a+10•a+b2+b∵100a+10•a+b2+＝100a+5a+5b+b＝105a+6b＝3(35a+2b)，∴100a+10•a+b2+b一定能被3即任意一个三位平衡数一定能被3整除；（3）设这个三位平衡数为100x+10(x+y2)+y∴10x+y2+y-x=9k∴6y+4x＝9k，∴6y+4x满足被9整除，又∵x+y2∴x+y是2的倍数，∵三位数是偶数，∴y是偶数，∵0＜x≤9，0≤y≤9，由于y为偶数，则y可以取0，2，4，6，8，y＝0时，x无满足条件值；y＝2时，x＝6满足；y＝4时，x无满足条件值；y＝6时，x无满足条件值；y＝8时，x＝6满足，综上所述，三位数为642，678．20．（2022秋·全国·七年级期末）我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数．受此启发，按照一个正整数被3整除的余数，把正整数分为三类：如果一个正整数被3除余数为1，则这个正整数属于A类，例如1，4，7等；如果一个正整数被3除余数为2，则这个正整数属于B类，例如2，5，8等；如果一个正整数被3整除，则这个正整数属于C类，例如3，6，9等．（1）2022属于_______类（A，B或C）；（2）①从B类数中任取两个数，则它们