四川省绵阳市三台县三台中学校2023-2024学年高三上学期第一学月测试数学（理）试题

秘密★启用前【考试时间：2023年9月6日下午14：4016：40】高中2021级高三第一学月测试理科数学本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卡共6页．满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内．2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．3．考试结束后将答题卡收回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．1.已知集合,则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合,进而求得,由,求出即可.【详解】解:因为或,所以,又有,所以.故选:C2.已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（）A.－1 B.－1或3 C.3 D.2【答案】C【解析】【分析】根据幂函数的定义和性质，列出相应的方程，即可求得答案.【详解】由题意知：，即，解得或，∴当时，，则在上单调递减，不合题意;当时，，则在上单调递增，符合题意,∴,故选：C3.下列函数中，在区间上单调递增的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，故A错误；对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，故B错误；对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递增，故C正确；对于D，因为，，显然在上不单调，D错误.故选：C.4.下列区间中，函数的单调递减区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出函数的单调递减区间为，判断选项中的区间是否为其子集即可.【详解】由，化简得，函数的单调递减区间为，，，都不是的子集，当时，因为是子集是函数的单调递减区间，故选：C.5.命题，，使，若p是真命题，则实数a的取值范围为（）A.{a|a≥3} B.{a|a≥13} C.{a|a≥12} D.{a|a≤13}【答案】C【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题结合命题的真假关系进行判断求解，再利用补集思想得答案．【详解】解：解：命题，，使的否定，，，即，即，设，则，当且仅当，即时，取等号，，是真命题，是假命题；故的取值范围是．故选：．【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定的应用，根据条件利用参数分离法进行转化，结合基本不等式求最值是解决本题的关键．属于中档题．6.中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式:.它表示:在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升到8000，则大约增加了（）A.10% B.20% C.30% D.50%【答案】C【解析】【分析】根据题意，信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，只需计算出信噪比为8000比信噪比为1000时提升了多少即可．【详解】由题意可知，，，故提升了，故选：C．7.已知为锐角，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出的范围，再由平方关系求出，然后利用诱导公式、正弦的二倍角公式计算可得答案.【详解】因为为锐角，所以，，因为，所以，所以，所以.故选：D.8.函数的图像大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用时排除选项D，利用时排除选项C，利用时排除选项B，所以选项A正确.【详解】函数的定义域为当时，，可知选项D错误；当时，，可知选项C错误；当时，，可知选项B错误，选项A正确.故选：A9.已知，，若成立，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由奇偶性的定义得出函数为偶函数，利用导数知函数在区间上为增函数，由偶函数的性质将不等式变形为，利用单调性得出，从而可解出实数的取值范围.【详解】函数的定义域为，关于原点对称，，函数为偶函数，当时，，，则函数在上为增函数，由得，由偶函数的性质得，由于函数在上为增函数，则，即，整理得，解得，因此，实数的取值范围是，故选B.【点睛】本题考查函数不等式的求解，解题的关键在于考查函数的奇偶性与单调性，充分利用偶函数的性质来求解，可简化计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.10.已知，，，则以下不等式正确是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由于，所以构造函数，然后利用导数判断函数的单调性，再利用单调性比较大小即可【详解】，，，令，则，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，因为，所以，，因为，所以，所以故选：C11.已知定义在上的函数在上单调递增，若，且函数为偶函数，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分析可知函数的图象关于直线对称，可得出函数的单调性，分析的符号变化，由可得或，解之即可.【详解】因为函数为偶函数，则，故函数的图象关于直线对称，因为函数在上单调递增，故函数在上单调递减，因为，则，所以，由可得，由可得或，解不等式，可得或，解得或，故不等式的解集为.故选：D.12.设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设，，问题转化为存在唯一的整数使得满足，求导可得出函数的极值，数形结合可得且，由此可得出实数的取值范围.【详解】设，，由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，，当时，；当时，.所以，函数最小值为.又，.直线恒过定点且斜率为，故且，解得，故选D.【点睛】本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填答题卷的横线上．13.函数的定义域为________．【答案】【解析】【分析】根据对数的真数大于零，偶次根式被开方数非负可得出关于的不等式组，即可解得函数的定义域.【详解】由题意可得，解得.因此，函数的定义域为.故答案为：.【点睛】本题考查函数定义域的求解，一般要根据求函数定义域的基本原则建立不等式组求解，考查计算能力，属于基础题.14.满足且的的集合为____________.【答案】或【解析】【分析】根据正切函数的图象与性质，求解即可.【详解】函数的图像为：由图象可知：或时故答案为：或【点睛】本题考查正切函数的图象和性质，属于较易题.15.定义在上函数满足：有成立且，则不等式的解集为__________．【答案】【解析】【分析】由，判断出函数单调性，利用单调性解即可【详解】设

,又有成立，

函数，即是上的增函数．，，即,

，

故答案为：．16.已知函数有两个极值点与，若，则实数a＝____________.【答案】4【解析】【分析】由得，所以，根据解方程即可求出结果．【详解】因为函数有两个极值点与由，则有两根与所以，得因为，所以，又则，所以故答案为：三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知函数.（1）求的单调区间；（2）当时，求函数的极值.【答案】（1）答案见解析；（2），.【解析】【分析】（1）求得函数的导数，分和两种情况讨论，结合导数的符号，即可求解；（2）当时，得到，求得函数的导数，求得函数的单调性，结合极值的概念，即可求解.【详解】（1）由题意，函数，可得，若，由，可得；由，可得，所以的递减区间为，递增区间为；若，由，可得；由，可得，所以递减区间为，递增区间为.（2）当时，可得，则，由，即，解得或，当变化时，与的变化情况如下表：0+0递减极小值递增极大值递减所以当时，函数取得极小值；当时，函数取得极大值.18.已知函数（1）求函数的解析式；（2）设，若存在使成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）解法一：运用配凑法，然后整体换元得函数的解析式；解法二：运用换元法，令，则且．代入原式求得的解析式，进而换元得到函数的解析式；（2）由（1）代入将问题转化为在时有解．再令，由，得，设．根据二次函数的最值可得取值范围.【详解】（1）解法一：∵，∴．又，∴．解法二：令，则．由于，所以．代入原式有，所以．（2）∵，∴．∵存在使成立，∴在时有解．令，由，得，设．则函数的图象的对称轴方程为，∴当时，函数取得最小值．∴，即的取值范围为．19.已知函数（1）求函数的单调减区间；（2）求当时函数的最大值和最小值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）将化为，然后解出不等式即可；（2）当时，，然后可求出答案.【详解】（1）令，可得所以函数的单调减区间为（2）当时，，所以即20.已知为偶函数，为奇函数，且.（1）求，的解析式；（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据奇偶函数建立方程，解方程即可得答案；（2）由题知，进而得，再解不等式即可得答案.【小问1详解】解：因为为偶函数，为奇函数，且有，所以，所以，，解得，.所以，，.【小问2详解】解：因为，当且仅当时等号成立，所以.所以，对任意的，恒成立，即，则，即，解得，所以，的取值范围.21.已知函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）设，证明：对任意，，．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线的方程即可；（2）利用题设条件转化为证，构造函数，运用导数的知识推证.【小问1详解】当时，，，切点为求导，切线斜率曲线在处的切线方程为．【小问2详解】，的定义域为，求导，在上单调递减．不妨假设，∴等价于．即．令，则．，，．从而在单调减少，故，即，故对任意．【点晴】方法点睛：本题考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力，本题的第一问借助导数的几何意义求切线方程；第二问求解时先构造函数，然后再对函数求导，运用导数的知识研究函数的单调性，然后运用函数的单调性，从而使得问题简捷巧妙获证．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修44：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）分别求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线交于A，B两点，线段的中点为Q，点，求的值．【答案】（1）曲线的普通方程为，直线的直角坐标方程为（2）【解析】【分析】（1）消参求出曲线C的参数方程即可，利用极坐标方程化直角坐标方程得到直线的直角坐标方程；（2）写出直线的参数方程，联立曲线，得到即可求解.【小问1详解】曲线C的参数方程为（为参数），转换为普通方程为；直线l的极坐