因动点产生的面积问题

1.6因动点产生的面积问题【例12023年河南省中考第23题】如图1，边长为8的正方形ABCD的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上A、C两点间的一个动点〔含端点〕，过点P作PF⊥BC于点F．点D、E的坐标分别为(0,6)、(－4,0)，联结PD、PE、DE．〔1〕直接写出抛物线的解析式；〔2〕小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值．进而猜测：对于任意一点P，PD与PF的差为定值．请你判断该猜测是否正确，并说明理由；〔3〕小明进一步探究得出结论：假设将“使△PDE的面积为整数〞的点P记作“好点〞，那么存在多个“好点〞，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点〞．请直接写出所有“好点〞的个数，并求出△PDE周长最小时“好点〞的坐标．图1备用图【思路点拨】1．第〔2〕题通过计算进行说理．设点P的坐标，用两点间的距离公式表示PD、PF的长．2．第〔3〕题用第〔2〕题的结论，把△PDE的周长最小值转化为求PE＋PF的最小值．【总分值解答】〔1〕抛物线的解析式为．〔2〕小明的判断正确，对于任意一点P，PD－PF＝2．说理如下：设点P的坐标为，那么PF＝yF－yP＝．而FD2＝，所以FD＝．因此PD－PF＝2为定值．〔3〕“好点〞共有11个．在△PDE中，DE为定值，因此周长的最小值取决于FD＋PE的最小值．而PD＋PE＝(PF＋2)＋PE＝(PF＋PE)＋2，因此当P、E、F三点共线时，△PDE的周长最小〔如图2〕．此时EF⊥x轴，点P的横坐标为－4．所以△PDE周长最小时，“好点〞P的坐标为(－4,6)．图2图3【考点伸展】第〔3〕题的11个“好点〞是这样求的：如图3，联结OP，那么S△PDE＝S△POD＋S△POE－S△DOE．因为S△POD＝，S△POE＝，S△DOE＝12，所以S△PDE＝＝＝．因此S是x的二次函数，抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝－6．如图4，当－8≤x≤0时，4≤S≤13．所以面积的值为整数的个数为10．当S＝12时，方程的两个解－8,－4都在－8≤x≤0范围内．所以“使△PDE的面积为整数〞的“好点〞P共有11个．图4【例22023年昆明市中考第23题】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3〔a≠0〕与x轴交于A(－2,0)、B(4,0)两点，与y轴交于点C．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕点P从点A出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△PBQ存在时，求运动多少秒时△PBQ的面积最大，最大面积是多少？〔3〕当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK∶S△PBQ＝5∶2，求点K的坐标．图1【思路点拨】1．△PBQ的面积可以表示为t的二次函数，求二次函数的最小值．2．△PBQ与△PBC是同高三角形，△PBC与△CBK是同底三角形，把△CBK与△PBQ的比转化为△CBK与△PBC的比．【总分值解答】〔1〕因为抛物线与x轴交于A(－2,0)、B(4,0)两点，所以y＝a(x＋2)(x－4)．所以－8a＝－3．解得．所以抛物线的解析式为．〔2〕如图2，过点Q作QH⊥x轴，垂足为H．在Rt△BCO中，OB＝4，OC＝3，所以BC＝5，sinB＝．在Rt△BQH中，BQ＝t，所以QH＝BQsinB＝t．所以S△PBQ＝．因为0≤t≤2，所以当t＝1时，△PBQ的面积最大，最大面积是。〔3〕当△PBQ的面积最大时，t＝1，此时P是AB的中点，P(1,0)，BQ＝1。如图3，因为△PBC与△PBQ是同高三角形，S△PBC∶S△PBQ＝BC∶BQ＝5∶1。当S△CBK∶S△PBQ＝5∶2时，S△PBC∶S△CBK＝2∶1。因为△PBC与△CBK是同底三角形，所以对应高的比为2∶1。如图4，过x轴上的点D画CB的平行线交抛物线于K，那么PB∶DB＝2∶1。因为点K在BC的下方，所以点D在点B的右侧，点D的坐标为．过点K作KE⊥x轴于E．设点K的坐标为．由，得．整理，得x2－4x＋3＝0．解得x＝1，或x＝3．所以点K的坐标为或．图2图3图4【考点伸展】第〔3〕题也可以这样思考：由S△CBK∶S△PBQ＝5∶2，S△PBQ＝，得S△CBK＝．如图5，过点K作x轴的垂线交BC于F．设点K的坐标为．由于点F在直线BC：上．所以点F的坐标为．所以KF＝．△CBK被KF分割为△CKF和△BKF，他们的高的和为OB＝4．所以S△CBK＝．解得x＝1，或x＝3．图5【例32023年苏州市中考第29题】如图1，抛物线〔b、c是常数，且c＜0〕与x轴交于A、B两点〔点A在点B的左侧〕，与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为(－1,0)．〔1〕b＝______，点B的横坐标为_______〔上述结果均用含c的代数式表示〕；〔2〕连结BC，过点A作直线AE//BC，与抛物线交于点E．点D是x轴上一点，坐标为(2,0)，当C、D、E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；〔3〕在〔2〕的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连结PB、PC．设△PBC的面积为S．①求S的取值范围；②假设△PBC的面积S为正整数，那么这样的△PBC共有_____个．图1【思路点拨】1．用c表示b以后，把抛物线的一般式改写为两点式，会发现OB＝2OC．2．当C、D、E三点共线时，△EHA∽△COB，△EHD∽△COD．3．求△PBC面积的取值范围，要分两种情况计算，P在BC上方或下方．4．求得了S的取值范围，然后罗列P从A经过C运动到B的过程中，面积的正整数值，再数一数个数．注意排除点A、C、B三个时刻的值．【总分值解答】〔1〕b＝，点B的横坐标为－2c．〔2〕由，设E．过点E作EH⊥x轴于H．由于OB＝2OC，当AE//BC时，AH＝2EH．所以．因此．所以．当C、D、E三点在同一直线上时，．所以．整理，得2c2＋3c－2＝0．解得c＝－2或〔舍去〕所以抛物线的解析式为．〔3〕①当P在BC下方时，过点P作x轴的垂线交BC于F．直线BC的解析式为．设，那么，．所以S△PBC＝S△PBF＋S△PCF＝．因此当P在BC下方时，△PBC的最大值为4．当P在BC上方时，因为S△ABC＝5，所以S△PBC＜5．综上所述，0＜S＜5．②假设△PBC的面积S为正整数，那么这样的△PBC共有11个．【考点伸展】点P沿抛物线从A经过C到达B的过程中，△PBC的面积为整数，依次为〔5〕，4，3，2，1，〔0〕，1，2，3，4，3，2，1，〔0〕．当P在BC下方，S＝4时，点P在BC的中点的正下方，F是BC的中点．【例42023年菏泽市中考第21题】如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A(0,1)、B(2,0)、O(0,0)，将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到三角形A′B′O．〔1〕一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；〔2〕设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍？假设存在，请求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由；〔3〕在〔2〕的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质．图1【思路点拨】1．四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，可以转化为四边形PB′OB的面积是△A′B′O面积的3倍．2．联结PO，四边形PB′OB可以分割为两个三角形．3．过点向x轴作垂线，四边形PB′OB也可以分割为一个直角梯形和一个直角三角形．【总分值解答】〔1〕△AOB绕着原点O逆时针旋转90°，点A′、B′的坐标分别为(－1,0)、(0,2)．因为抛物线与x轴交于A′(－1,0)、B(2,0)，设解析式为y＝a(x＋1)(x－2)，代入B′(0,2)，得a＝1．所以该抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－2)＝－x2＋x＋2．〔2〕S△A′B′O＝1．如果S四边形PB′A′B＝4S△A′B′O＝4，那么S四边形PB′OB＝3S△A′B′O＝3．如图2，作PD⊥OB，垂足为D．设点P的坐标为(x，－x2＋x＋2)．．．所以．解方程－x2＋2x＋2＝3，得x1＝x2＝1．所以点P的坐标为(1，2)．图2图3图4〔3〕如图3，四边形PB′A′B是等腰梯形，它的性质有：等腰梯形的对角线相等；等腰梯形同以底上的两个内角相等；等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经过两底中点的直线．【考点伸展】第〔2〕题求四边形PB′OB的面积，也可以如图4那样分割图形，这样运算过程更简单．．．所以．甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点P：作△A′OB′关于抛物线的对称轴对称的△BOE，那么点E的坐标为(1，2)．而矩形EB′OD与△A′OB′、△BOP是等底等高的，所以四边形EB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．因此点E就是要探求的点P．【例52023年河南省中考第23题】如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点〔不与点A、B重合〕，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．〔1〕求a、b及sin∠ACP的值；〔2〕设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？假设存在，直接写出m的值；假设不存在，请说明理由．图1【思路点拨】1．第〔1〕题由于CP//y轴，把∠ACP转化为它的同位角．2．第〔2〕题中，PD＝PCsin∠ACP，第〔1〕题已经做好了铺垫．3．△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比．4．两个三角形的面积比为9∶10，要分两种情况讨论．【总分值解答】〔1〕设直线与y轴交于点E，那么A(－2,0)，B(4,3)，E(0,1)．在Rt△AEO中，OA＝2，OE＝1，所以．所以．因为PC//