数学七年级下学期5.10 分式的加减

专题5.10分式的加减（知识讲解）【学习目标】1．能利用分式的基本性质通分；2．会进行同分母分式的加减法运算；3．会进行异分母分式的加减法运算。【要点整理】要点一、同分母分式的加减同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；上述法则可用式子表为：.特别说明：“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误.（2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式.要点二、异分母分式的加减异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.上述法则可用式子表为：.特别说明：异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法.（2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式.【典型例题】类型一、最简公分母1、分式，，的最简公分母是_____________________【答案】ab(a+b)(a-2b)【分析】根据确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母即可求出答案．解：分式，，的分母依次为：，，故最简公分母是ab(a+b)(a-2b)故答案为：ab(a+b)(a-2b)【点拨】此题考查了最简公分母，解题的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握．举一反三：【变式】把分式进行通分时，最简公分母为____．【答案】12a2b【分析】由于几个分式的分母分别是3a、2a2、4ab，首先确定3、2、4的最小公倍数，然后确定各个字母的最高指数，由此即可确定它们的最简公分母．解：分式的分母分别是3a、2、4ab，最简公分母为12b．故答案为：12b．【点拨】本题考查了分式通分的最简公分母,熟练掌握最简公分母确定的基本原则是解题的关键．类型二、通分2、将分式和进行通分时，分母可因式分解为_________，分母可因式分解为_________，因此最简公分母是_________．【答案】

【分析】根据平方差公式即可分解a2－9，再提取公因式可分解9－3a，找系数的最小公倍数，字母的最高次幂，即可得出最简公分母．解：∵a2－9＝（a＋3）（a－3），9－3a＝3（3－a）＝－3（a－3），∴分式和的最简公分母为－3（a＋3）（a－3）．故答案为：（a＋3）（a－3），－3（a－3），－3（a＋3）（a－3）．【点拨】本题考查了分式的通分，通分的关键是分解各个分母，找出最简公分母．举一反三：【变式】定义新运算：a⊕b，若a⊕（﹣b）＝2，则的值是___．【答案】【分析】根据a⊕b求出a和b的值，代入计算即可解：∴b-a=2ab．即a-b=-2ab．故答案为：【点拨】此题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据题意掌握新运算的规律．类型三、同分母分式相加减3、．计算：．【答案】【分析】利用同分母分式的减法法则计算即可求出值．解：．【点拨】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．举一反三：【变式】【答案】【分析】直接利用同分母分式加减法的运算法则进行计算即可得答案．解：原式===．【点拨】本题考查了同分母分式加减法，熟练掌握同分母分式加减法的法则“同分母分式相加减，分母不变，分子相加减”是解题的关键．类型四、异分母分式相加减4．计算；（2）【答案】（1）；（2）2【分析】（1）先利用提公因式法和公式法先进行因式分解，化简之后再进行分式的加法运算即可；（2）括号里的式子先进行通分，进行加法运算，然后再利用分式的除法法则进行计算即可．解：（1）原式原式【点拨】本题考查了分式的混合运算，涉及分式的加法，分式的除法，因式分解等知识．熟练掌握各个运算法则是解题的关键．举一反三：【变式】计算：（1）；（2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）先将分子分母因式分解，然后再约分；（2）先通分，再根据同分母分式的减法进行计算即可.解：（1）原式（2）原式【点拨】考查分式的乘法以及减法，熟练掌握分式运算的法则是解题的关键.类型五、整式与分式相加减5、计算【答案】a【分析】根据分式的减法和乘法可以解答本题.解：原式===a【点拨】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法.举一反三：【变式】化简：；【答案】.【分析】根据分式的加减运算法则计算.解：====.【点拨】本题考查了分式的加减运算，解题的关键是按照分式的加减运算法则，先把异分母的分式化成同分母的分式细心进行运算.类型六、已知分式的恒等式，确定分子或分母6、若，求、的值．【答案】【分析】已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，利用多项式相等的条件即可求出A与B的值．解：∵，∴x-5=(A+B)x+(-A+B)，∴，解得：．【点拨】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式运算法则，本题属于基础题型．举一反三：【变式】已知，求的值.【答案】【分析】已知等式右边通分并利用同分母分式的减法法则计算，利用分式相等的条件求出A与B的值，再代入计算即可．解：∵左边=，右边=所以解得：.把，代入，．【点拨】本题考查分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．类型七、分式加减混合运算7、（1）计算：（2）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．

第一步

第二步

第三步

第四步

第五步

第六步任务一：填空：①以上化简步骤中，第_____步是进行分式的通分，通分的依据是____________________或填为_____________________________；②第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_____________________________________；任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果；任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．【答案】（1）1；（2）任务一：①三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；②五；括号前是“”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；任务二：；任务三：最后结果应化为最简分式或整式，答案不唯一，详见解析．【分析】（1）先分别计算乘方，与括号内的加法，再计算乘法，再合并即可得到答案；（2）先把能够分解因式的分子或分母分解因式，化简第一个分式，再通分化为同分母分式，按照同分母分式的加减法进行运算，注意最后的结果必为最简分式或整式．解：（1）原式 （2）任务一：①三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；故答案为：三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；②五；括号前是“”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；故答案为：五；括号前是“”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；任务二：解；．任务三：解：答案不唯一，如：最后结果应化为最简分式或整式；约分，通分时，应根据分式的基本性质进行变形；分式化简不能与解分式方程混淆，等．【点拨】本题考查的是有理数的混合运算，分式的化简，掌握以上两种以上是解题的关键．举一反三：【变式】先化简，再求值：，将代入求值．【答案】，【分析】先根据分式的加减法法则化简，然后设a=3k，b=2k，代入化简结果计算即可．解：原式＝=＝，∵，∴设a=3k，b=2k，∴原式==．【点拨】本题考查了分式的加减运算，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分，变为同分母分式，再加减．分式运算的结果要化为最简分式或者整式．类型八、分式加减实际应用8、小明在爬一小山时，第一阶段的平均速度为v，所用时间为t1；第二阶段的平均速度为v，所用时间为t2．下山时，小明的平均速度保持为4v，已知小明上山的路程和下山的路程是相同的，那么小明下山用了多长时间？【答案】【分析】根据速度×时间=路程先求出总路程，然后用路程除以速度即可求出答案．解：小明上山的总路程=vt1+vt2，则小明下山用的时间是：．【点拨】本题考查了分式运算的应用，正确理解题意、熟知速度、路程与时间的关系、熟练掌握分式运算的法则是解题关键．举一反三：【变式】有两个熟练工人甲和乙，他们每小时制作零件a件、b件．现要赶制一批零件，若甲单独完成需要m小时．如果甲、乙两人同时工作，那么比甲单独完成任务提前多长时间？【答案】小时．解：试题分析：首先表示需要赶制的零件数量为ma件，再表示甲、乙两人合作的完成任务的时间是，求出甲独做需要的时间与合作需要的时间的差即可．解：甲单独完成任务的时间是m小时，甲、乙两人合作的完成任务的时间是．所以提前完成任务的时间是：===答：甲、乙两人同时工作，可以提前小时完成任务．考点：列代数式解应用题．类型九、分式加减乘除混合运算9、先化简，再求值：，其中x=2﹣1．【答案】分析：直接分解因式，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．解：==，把x=2-1代入得，原式==．点拨：此题主要考查了分式的化简求值，正确进行分式的混合运算是解题关键．举一反三：【变式】计算：（1）

；（2）【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先将原式展开，然后合并同类型即可;(2)先对括号内的进行运算并将除法转换成乘法，然后运用分式乘法即可.解：（1）原式==（2）原式=【点拨】本题主要考查了整数、分式的的四则混合运算，其中在分式运算中，将除法转变成乘法是解答本题的关键.类型十、分式的化简求值10、先化简，再求值：，且x为满足﹣3＜x＜2的整数．【答案】-5【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．解：原式=[+]÷=（+）•x=x﹣1+x﹣2=2x﹣3由于x≠0且x≠1且x≠﹣2，所以x=﹣1，原式=﹣2﹣3=﹣5【点拨】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．举一反三：【变式1】先化简，再求值：，其中满足.【答案】3.【分析】先将括号里面进行通分，然后对分子分母进行因式分解，最后约分得到最简形式，再由x2+3x－1=0得到x2+3x=1，将x2+3x整体带入化简后的式子求值.解：原式=÷=×=×=3x2+9x，

∵x2+3x－1=0，∴x2+3x=