普通物理学课后01运动学习题概念

运动学习题习题总目录1-11-21-31-41-51-61-71-81-91-101-111-121-131-141-151-161-171-181-191-201-211-221-231-241-251-261-271-28结束1-1质点按一定规律沿轴作直线运动，在不同时刻的位置如下：t/s

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0x/m 3.00

3.14

3.29

3.42

3.57画出位置对时间的曲线;求质点在1秒到3秒时间内的平均速度;(3)求质点在t

=0时的位置。结束

目录0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.03.003.153.303.453.602.852.70.....t/sx/m解：结束

目录=0.285(m/s)(2)质点在1秒到3秒时间内的平均速度为：(3)由作图法可得到质点在t

=0时的位置为x

=2.71m3.0-1.0v

=

3.75-3.00结束

目录1-2.质点沿x

轴运动，坐标与时间的关系为x

=4t

-2t3，式中x、t分别以m、s为单位。计算：（1）在最初2s内的平均速度，2s末的瞬时速度；（2）1s末到3s末的位移、平均速度；（3）1s末到3s末的平均加速度；此平均加2速度是否可用a

=a

1

+a

2（4）3s末的瞬时速度。结束

目录计算？解：x

=4t

-2t3（1）Δx

=

x0

=

4t

-

2t=3

4×28

m2×23

=v

=

Δ

x

=8Δ

t

2=4

m

sd

tv

=

dx

=

46

t2=

46

×22=20

m

s=

(4×32×33

)

(4×12×13

)44

m=（2）

Δx

=

x3

x2v

=

Δ

x

=

4422

m

s=Δ

t

3

1结束

目录6

t2

=

46×322

m

s50

m

s24

m===12×3s2=6

t2(3)

v1

=

4v

=

43v3=

46×12a

=

dv

=d

t36

m12

t

=(4)v1t1t3a

==(

2

)1503s2结束

目录1-3

一辆汽车沿笔直的公路行驶，速度和时间的关系如图中折线OABCDEF所示。102030405060-10-20结束

目录10ot/s试说明图中OA、AB、BC、CD、DE、EF等线段各表示什么运动？根据图中的曲线与数据，求汽车在整个行驶过程中所走的路程、位移和平均速度v/(m.s-1)2=200(m)解：由v~t

图的总面积可得到路程为：2S

=

1

(30+10)×5

+

1

(20×10)总位移为：Δ

x

=

1

(30+10)×52所以平均速度也为零21

(20×10)

=0结束

目录1-4.直线1与圆弧2分别表示两质点A、B从同一地点出发，沿同一方向做直线运动的

v-t

图。已知B的初速v0=b

m/s,它的速率由

v0变为0所化的时间为t1=2bs,（1）试求B在时刻t的加速度；设在B停止时，A恰好追上B，求A的速度；在什么时候，A、B的速度相同？tv2bbo12结束

目录v0

=b

m/s,t1=

2bs,

v0=0(1)求B在时刻t

的加速度。在v

~

t

坐标系中质点2的运动方程为：当t=2b，v

=0(v

+

c)2

+

t2

=

(v0+

c)2（1）代入式（1）；且

v0

=b得：c

=

32b

代入式（1）得：在v´~

t

坐标系中质点2的运动方程为：v´2

+t2

=(v0+c)2因为v´=v

+c结束

目录boAB2bv´vcvv´o´tt´(v

+

c)2

+

t2

=

(v0+

c)2（1）2得：c

=3

b代入（1）化简后得：v

2

+

3

b

v

+

t2

=

4

b

2（2）v

=解得：

3

b

m25

b

2

4t22.

v0

=

b式中取正号，对t

求导后得：d

v

=d

ta

=2t25

b

2

4t2结束

目录（2）当t=2b

时B静止A追上B，A的位移等于B的位移

B的位移：Δ

x

B

=

òv

d

t=225

b

24t2

)d

t23

b

+

1(ò2

b03212=b.2b25

b

2

4t2d

tò2

b0+=φ12045252φ

φarc

sinb

[2

+

2

sin

cos]25

b

2

4t2d

t2

b0其中：ò=8.79

b

2tvboAB2b结束

目录Δ

x

B

=

3b

+

8.79

b

=

1.40

b2

2

2v

A

=

k

t设A的速度为:Δ

x

A=òv

d

t=td

tò2

b0k=2k

b21.40

b

2

=

2k

b

2d

t=

d

vAaAk

=

0.7=

0.7m=

Δ

x

Bv

A

=

k

t=

0.7ts2时有：25

b

2

4t2相遇时A与B的位移相等：Δ

x

A(3)

当v

A

=v

B0.7t

=解得：3

b

+

12

2t

=

1.07b结束

目录1-5

路灯高度为h,人高度为l,步行速度为v0

.试求：（1）人影中头顶的移动速度；（2）影子长度增长的速率。结束

目录hblxh

lx

+

b

b=解：d

td

td

t

=

h

ldb

l

v0d

t

d

t影子长度增长速率为：h

b

=

l

(x

+

b

)上式两边微分得到：h

db

=

l

d

(x

+

b

)

=

l

dx

+

l

dbdxd

t=v结束

目录0而hh

lv0d

(x

+

b

)

h

db

=d

t

=

l

d

td

t

h

ldb

=

l

v0.h

b

=

l

(x

+

b

)所以人影头顶移动速度为：结束

目录1-6

长度为5m的梯子，顶端斜靠在竖直的墙上。设t

=0

时，顶端离地面4m,当顶端以2m/s的速度沿墙面匀速下滑时，求：（1）梯子下端的运动方程；并画出x~t

图和v~t图（设梯子下端与上端离墙角的距离分别为x

和y

）。（2）在t

=1s

时，下端的速度。5m4mv0结束

目录t=

0x

2

+

y

2

=

l2y

=

y

0+

2

x

dx

=

02y

dy0=0l2(yv

t)2v

0

t)v

0=421=

0.87m/s将此式微分得：x

dt(y

0y

=

y

0

=

4dtv

0

tdy=0vdtdx=yxy

dy=0(

v

)v0xyl=

5mBA0

0用y

=4,

v

=2,t

=1代入，得B端的速度。结束

目录dt

+

c00(y v

t)2v

0

t)v

0=

ò(y

0l28

4t9

4t2

+16

tdt+

c=

ò9

4t2

+16

t

+

ct=

0.x

=

òdx94t2

+16

t

+

c

=

x

=

30=x

=c

=

0x

=

9

4t2

+16

t结束

目录v

=8

4t9

4t2

+16

tx

=9

4t2

+16

tx5t324.5t83v83结束

目录h

hrxyv0x1-7.人以恒定的速率v0运动，船之初速为0，求：任以位置船之速度加速度。结束

目录h

j

r

=

x

irx2

+

h

2d

t

d

t=

r=iv

=

d

r

=

d

xxd

td

td

r=

d2

+

h

2

=x

2

+

h

2

d

tx

d

x

=v0vd

t

d

t=

d

r

=

d

xi=iv

0

2

h

2x

3ad

v

d2x=

d

t

=

d

t2

i

=Ohhrxyv0xix2

+

h

2v

0x结束

目录1-8

在质点运动中，已知

x

=

aekt

,dy/dx

=

-bke-kt,当t

=0,

y=y0=b求：质点的速度和轨道方程。结束

目录解：

dy

=

b

k

e

ktd

ty

=

òdy

=ò

b

k

e

ktd

t

+

c

=

b

e

kt+

c=

b

+

c

=

b

.

c

=

0t

=0yt=

0当轨迹方程：x

=

a

ekt{

y

=

b

e

kt=x

y

abdxa

k

e

ktdt

=.d

xdt2=ta

k

2

e

k2=

bk

ed

2ydtkt2a=

a

k

2

e

kt

i

+

b

k

2

e

kt

jdtb

k

e

ktdy

==

byt

=0结束

目录已知：x

=a

e

ktd

tx

=

1

y

=4

t2解：v

=d

r

=8

tj

+kd

ta

=

d

v

=

8

j1-9一质点的运动方程为r

=i

+4

t2式中r、t分别以m、s为单位.试求：它的速度与加速度；它的轨迹方程。j

+

tkz

=

tx

=

1轨迹方程：

y

=

4z2轨迹为在x

=1

平面的一条抛物线。结束

目录以t

为变量，写出位矢的表达式；描绘它的轨迹；式中t

以s为单位，x、y以m为单位，求:质点在t

=4

时的速度的大小和方向。1-10一质点的运动方程为x

=3

t+52y

=

1

t2

+

3

t

4结束

目录3tga

=

7a

=

66.80v

=3

2

+

7

2=

7.61m/sx

=

3

t+52y

=

1

t2

+

3

t

42解：(1)

r

=(3

t+5

)i+(1

t2

+3

t

4)j45

)5

)2

+

3

(x(2)

y

=

1

(x2

3

3(3)

v

=

3

i

+

(t+

3

)j

=

3

i

+

7

j结束

目录1-11一质点沿光滑的抛物线轨道，从起始位置（2，2）无初速地滑下，如图。问质点将在何处离开抛物线？抛物线方程为:y2

=2x，式中x、y以m为单位。y(2,2)vxo结束

目录由

y2

=

2x两边微分得：2

y

dy

=

2

dxydxdy

=

1

=

tgad

2y

1

dy1dx

2

=

y

2

dx

=

y

3=13(1+

y

2

)21y

33=

(1+

y

2

)2R

=3(1+y

´2

)2y´Nvamgyxo结束

目录m

g

(2y

)=

1

m

v

2(y

1)(y

2

+

y

+

4

)=

0其中(y

2

+y

+4

)=0

有两个虚根，不符题意。.

y

=

1,

x

=

1/2由N

=0得：y

3

+

3y

4

=

0m

g

cos

aR2N

=

m

v

21cos

a=1

+

tg2a

=y1

+

y23R

=

(1+

y

2

)2aNvmgyxo结束

目录1试证：质点在各处的速率v与其位置坐标y

有如下关系：0

0v

2-v

2

=

2g

(y

-y)式中v0与y0分别为

其初速度与初位置。1-12在竖直平面内，一光滑钢丝被弯成图示曲线。质点穿在钢丝上，可沿它滑动。已知其切向加速度为-gsinq

，q

是曲线切向与水平方向夹角。-gsinqqqd

ydsyx结束

目录g

sinqd

vd

t

=d

ysinq

=

dsd

v

d

sd

vd

t

=

ds

d

t

=g

sinq

=d

yg

dsdsv

d

v

=g

d

ydsv

d

v

=g

dyv

d

v

=

òg

d

yòv0vy0yv22

g

y

y0

=

(

0

)v

2dsqd

yq-gsinqq

dydsyx结束

目录1-13

如图所示，杆AB以匀角速度绕A点转动，并带动水平杆OC上的质点M运动。设起始时刻杆在竖直位置，OA=h

。列出质点M沿水平杆OC的运动方程；求质点M沿杆OC沿动的速度和加速度的大小。qABMOxhwC结束

目录q

=

q

0

+

w

t=

w

tx

=

h

tgq

=

h

tgw

td

tv

=

dx

=

hw

sec2

w

ta=

d

t2d

2xw

t=

2

hw

2

sec

2

w

ttg解：q

00

=已知：

OA

=

hqABMOxhwC结束

目录1-14滑雪运动员离开水平滑雪道飞入空中时的速率v

=110km/h,着陆的斜坡与水

平面成q

=450角，如图所示。qL计算滑雪运动员着陆时沿斜坡的位移（忽略起飞点到斜面的距离）；在实际的跳跃中，运动员所到达的距离L=165m,此结果为何与计算结果不符？目录已知：v

=110km/hq

=

450=

30.6m/sL

=2g

cos

q2

v

2

sinq=2

×30.6=

270m2sin

45029.8×cos

4502x

=

vt解：y

=

1

gt2L

cos

q

=

v

t2L

sinq

=

1

gt2qL目录1-15一个人扔石头的最大出手速率为

v=25m/s,他能击中一个与他的手水平距离为L

=50m而高h

=13m的一个目标吗？在这个距离上他能击中的最大高度是多少？解：

x

=

v0

cos

q

t轨迹方程为：y

=x

tgqg

x

22v02cosq22=y

v

sinq

t1

gt20(1+

tg)即：

y

=

x

tgqgx

22v02q2（1）结束

目录dyd

tgq

=

0由2tgq

=

0xg

x

22v02得：tgq

=g

x0v

2代入式（1）可得：(1+

tg)即：

y

=

x

tgqg

x

22v02q2（1）=y

x0g

xv

2g

x

2

g

x

20v

402

v

2

2

v

2

g

2x

20g

x

22

v

209.8×50v

202

g25=22

×9.8==

12.3m222

×

25目录结束1-16在篮球运动员作立定投篮时，如以出手时球的中心为坐标原点，作坐标系oxy，如图所示。设篮圈中心坐标为(x,y),出手高度

H1,球的出手速度为v0

,试证球的出手角度a应满足下式才能投入：+)av20tg2

g=

gx

v20(y

+1

1y

=

x

tg解：由轨迹方程：g

x

22v02cos2aa(1+

tg)=

x

tgag

x

220v

22aH1H2gx

22

v0

2yxv0ao结束

目录(1+

tg2a

)202202v

y

vg

x

2

g

x=tga)=

00g

x2

v

2tg2a202v

yg

x

2tga

+

(1

+1+

tg即：

y

=

x

tgag

x

22v022(

a

)(y

+0g

xv

2=)2

gv

2g

x

22

v

21

+

1+

(tgag

x02

v

2y=g

x2v02)2)

4

(1

+2v02g

x

220结束

目录01-17如图，一直立的雨伞，其边缘的直径地面上半径为为R，离地面的高度为h。当伞绕伞柄以匀角速w

旋转时，试证沿边缘飞出的水滴将落在g2r

=

R

1+

2

h

w的圆周上。请构思一种旋转式洒水器的方案。Ryxrvopxo´伞柄

ho

´ω结束

目录已知：R

，h

，ω

。求证：r

=R解：v0

=Rωx

=

v0

t2

=x2

v

2

h0g=2

R

ω2

2

hgr=R2

+x

2

=

R1+2ω

2

hg1+2ω

2

hg2h

=

1

g

t2结束

目录如果旅客用随车一起运动的坐标系以来描写小球的运动，已知x’轴与x

轴同方向，y’轴与y相平行,方向向上,且在t

=0

时,o与o’相重合，则和y’的表达式将是怎样的呢？在o’x’y’坐标系中，小球的运动轨迹又样的？从车上的旅客与站在车站上的观察者看来,小球的加速度各为多少?方向是怎样的？1-18一列车以5m／s的速度沿x

轴正方向行驶，某旅客在车厢中观察一个站在站台上的小孩竖直向上抛出的一球。相对于站台上的坐标系来说，球的运动方程为:==20x

0

y v

t

1

gt2（v

0

,g是常量）。结束

目录=

0d

2xs

系：ax

=d

t2g

j=

g

a

=ay

=

d

t2d

2ya´=g

jd

2xs´系：a´x

=d

t2d

2y=

0

a´y

=

d

t2=

g解：x

=

02=v

t1

g

t20s

系：y5

t2=1

g

t20y´

v

tx´=s´系：结束

目录1-19

甲乙两船同时航行，甲以10km／h的速度向东，乙以5km／h的速度向南。问从乙船的人看来，甲的速度是多大？方向如何反之，从甲船的人看来，乙的速度又是多大方向如何？结束

目录已知：v1

=10km/h解：v2

=

5km/h5

2

+101v´=2=11.2km/h5

2

+102v´=2=11.2km/ha

1

=arctg(1/2)=26.60甲船的人看乙：a

2

=

arctg2

=

63.40乙船的人看甲：v1v2v´1a

1´v2v1v1a

2结束

目录1-20设河面宽l=1km，河水由北向南流动，流速v

=2m／s,有一船相对于河水以

v’=1.5m／s的速率从西岸驶向东岸。（1）如果船头与正北方向成船到达对岸要花多少时间？到达对岸时，船在下游何处？如果船到达对岸的时间为最短，船头与河岸应成多大角度？最短时间等于多少到达对岸时，船在下游何处？如果船相对于岸走过的路程为最短，船头与岸应成多大角度？到对岸时，船又在下游何处？要花多少时间。a

=1角50，结束

目录已知：l=1km

(1)

当α=150v´=

1.5m/savv´vclLLL

1v

=2m/s求：t求：a

1求：L

2当

t

=

tmin当L

=Lminl=

v´sinat解：(1)1000=

2564sl0t=

v´sina

=

1.5

×sin150)tL

=

(v v´cos15=

(21.5

×

cos15

0

)×

2564

=

1.41km目录l

=

v´ta

´=

900(2)欲使时间最短1.5=

667sv´t

=

l

=

1000L

1

=

v

t=1.33km结束

目录θvv´vclLl=

v´sinq

t(3)L

2

=

(v

v´cos

q

)tt

=L

2

=

(vql´sinlv´sinqv´cos

q

)v==

0d

q令：d

L

2(v

v´cos

q

)ldd

q

v´sinqv´cos

q

)lv´cos

qv´2

sin2

q得：

l=

(v结束

目录l=

(vv´cos

q

)lv´cos

qv´2

sin2

qv´2

sin2

q

=

v

v´cos

q

v´2

cos

2

qv´2

(sin2

q

+

cos

2

q

)=

v

v´cos

qv

v´cos

q

=

v´23=

2.25

=

0.75ql´sinv´cos

q

)vL

2

=

(v=(21.5×

cos

41.40)10001.5×sin41.40=

0.89kmlq

=

41.1010001.5×sin41.40=

1010s´sint

=

vq

=结束

目录1-21设有一架飞机从A处向东飞到B处，然后又向西飞回A处，飞机相对于空气的速率为v’，而空气相对于地面的速率为vr

，A、B之间的距离为

l

,飞机相对空气的速率v’保持不变。（1）假定空气是静止的（即vr=0

），试证来回飞行时间为，t0

=2l/v’。（2）假定空气的速度向东，试证来回飞行时间为：（3）假定空气的速度向北，试证来回飞行时间为：2r)1v

´1t

=t0(vv

´

2t02t

=目录1

(v

r)结束r=

0当：v（1）假定空气是静止的（即vr=0

），试证来回飞行时间为，t0

=2l/v’。2lv

´t=

t0=（2）假定空气的速度向东，试证来回飞行时间为：2r)11t

=v

´t0(v往=

r

=v

´

v

trv

v´+lv

´

vlr=rv

´

v

t返=1往程：v返程：v+2=lv

´

vrlrvv´++t返往t

t=

+12r)v

´=t0(v结束

目录（3）假定空气的速度向北，试证来回飞行时间为：v

´

2t02t

=往程：

v1v2r=

v

´2t往=l1v2rv

´2lv=返程：

v2v2r=

v

´2t返=l2v2rlvt返t

t=

往

+

=v

´

v2r2=

v

´22

lrv1

(v

´)2t0=11

(v

r)vv

´r往程

v2v返程v

´rv目录结束1-22一人拉小车以不变的速率v0前进，小车位于高出绳端h的平台上。求小车的速度及加速度。hqx结束

目录解：hqxh

jr

=

x

ix

2

+

h

2r

=d

tv

=

d

r2=

1d

t02

x

dx

=

xx

2

+

h

2

x

2

+

h

2va

=d

vd

t=02v

h(x

2

+

h

2

)223结束

目录1-23

一质点沿oy轴做直线运动，它在t

时刻的坐标是y=4.5t2-2t3,式m中以米计，

t以秒计,试求：(1)t

=1s,t

=2s时的瞬时速度；

(2)第二秒内所通过的路程；(3)第二秒内质点的平均加速度以及t=1s和t

=2s时的瞬时加速度；(4)定性画出y~t

图，并说明质点的运动情况。结束

目录解：y=4.5t2-2t3d

y(1)v

= =

9

t

6

t2d

tv1

=

3m/s

v2

=

-6m/sd

t(2)令：v

=d

y

=9

t

6

t2

=0t

=1.5st

=1.5s代入运动方程得到质点的回头点yt

=1.5=

3.375m+

y2=

2m=

2.25my1yt

=2y1.5.

yt

=1Δ

s

=

y1.5=

2.5m结束

目录12

t)

jd

va

=

d

t

=

(93

ja

1

=

a

2

=15

jt

=1.5s9

j1(3)a

==v

1t1v

2t2d

t(4)令：v

=d

y

=0令：a

=d

y

=0d

t2这一时刻质点的速度为0，y有极值，从这时开始质点改变运动方向。2这是个拐点，在这时刻之前，质点加速，在这一时刻之后，质点减速。t

=

0.75s0.751.5ot123y421结束

目录1-24

一质点在xoy平面内运动，运动方程为：x

=2t,y

=19-2t2。式中x,y

以米计,t

以秒计。求质点的轨道；写出t=1s和t=2s时刻质点的位置矢量，并计算这一秒内的平均速度；计算t=1s,t=2s时刻的瞬时速度和瞬时加速度；在什么时刻，质点位置矢量与其速度矢量垂直？在什么时刻质点离原点最近？算出这一距离。结束

目录y

=

19 2

t2已知：x

=2

t解：(1)

y

=192

(x

)222

t2

)j(2)r

=

2

t

i

+

(19r1=

2

i

+17

j=

4

i

+11

jr2

v

=

Δ

r

=

2

i

6

j4

tjΔ

t(3)v

=

2

iv

1

=

2

i

4

jv

2

=

2

i

8

ja

=

4

j

=

a

1

=

a

2结束

目录t=

0s

x

t

=0

=

0mt=

3s

x

t

=3

=

2

t=

6mt=3s

舍去由此得到：y

t

=0

=

19my

t

=3

=

192

t2

=

1m(4)

当v

与r

垂直时有：v

1

.r

=02

×2

t+

(

4

t)(19 2

t2

)=

0即：结束

目录r

=

x2

+

y

2

=(2

t)2

+

(19 2

t2

)2得：t

=3s=

0drd

t=2

t2

)(

4

t)2

t2

)2(4

t)+2

(19(2

t)2

+

(1912×由(5)

rmin=

?(22

)22(

×

)×3

+

19

2

3r

min

=37=结束

目录2-25

一质点沿半径为0.10m的圆周运动,其角位置θ(以弧度表示)可以用下式表示θ=

2+4t3式中t以秒计。问：(1)质点在t

=2s时及t

=4s时的法向加速度和切向加速度；(2)当切向加速度的大小为总加速度的一半时，θ的值为多少？(4)在哪一时刻，切向加速度和法向加速度的值相等。结束

目录ω

=d

td

q

=

12

t2v

=

Rω

=12

R

t2a

t,t=2=

4.8m/s2a

n,t=2=

230.4m/s2an

=

Rω

2

=

14.4

t4a

t,t=4=

9.6m/s2a

t=Rβ

=

24

R

t=

2.4t已知：θ=2+4t3解：(1)质点在t

=2s时及t

=4s时的法向加速度和切向加速度；β

=

dω=

24

td

t结束

目录(2)当切向加速度的大小为总加速度的一半时，θ的值为多少？解：a

t

=

2.4t an

=14.4

t4a

t

=

a22a

=

a

a2+t

n

=(2.4t)2

+

(14.4

t4

)22(2.4t)2

+

(14.4

t4

)22.4t

=

1t6

=

0.083

t

=

0.66sθ=

2+4t3=

2

+

4×

0.663=

3.15rad目录(4)在哪一时刻，切向加速度和法向加速度的值相等。an

=14.4

t4解：a

t

=2.4ta

t