高中数学必修(二)期中检测试卷

期中检测试卷(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共13小题，每小题4分，共52分.在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求；第11～13题，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的不得分)1.已知向量a＝(1，m)，向量b＝(－1，eq\r(3))，若a∥b，则m等于()A.eq\r(3)B.－eq\r(3)C.eq\f(\r(3),3)D.－eq\f(\r(3),3)2.已知i为虚数单位，z＝eq\f(4,1＋i)，则复数z的虚部为()A.－2iB.2iC.2D.－23.已知边长为2的正方形ABCD中，E为AD的中点，连接BE，则eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(EA,\s\up6(→))等于()A.－2B.－1C.1D.24.(2019·淮北、宿州模拟)已知i为虚数单位，在复平面内，复数eq\f(1,1－i)的共轭复数对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限5.在长方形ABCD中，E为CD的中点，F为AE的中点，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，则eq\o(BF,\s\up6(→))等于()A.－eq\f(3,4)a＋eq\f(1,2)b B.eq\f(3,4)a－eq\f(1,2)bC.eq\f(1,2)a－eq\f(3,4)b D.eq\f(1,2)a＋eq\f(3,4)b6.在△ABC中，若lga－lgc＝lgsinB＝－lgeq\r(2)且B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则△ABC的形状是()A.等边三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.直角三角形7.在△ABC中，∠A＝120°，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－2，则|eq\o(BC,\s\up6(→))|的最小值是()A.2B.4C.2eq\r(3)D.128.已知向量a＝(1，eq\r(3))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，则a＋b在b上的投影为()A.2B.eq\r(3)C.1D.－19.已知向量a＝(cosθ－2，sinθ)，其中θ∈R，则|a|的最小值为()A.1B.2C.eq\r(5)D.310.已知点O是△ABC内一点，满足eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＝meq\o(OC,\s\up6(→))，eq\f(S△AOB,S△ABC)＝eq\f(4,7)，则实数m为()11.在△ABC中，若sin2A＋sin2B<sin2C，则△ABC的形状不可能是()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等边三角形12.设z是复数，则下列命题中的真命题是()A.若z2≥0，则z是实数B.若z2<0，则z是虚数C.若z是虚数，则z2≥0D.若z是纯虚数，则z2<013.定义两个非零平面向量的一种新运算a*b＝|a|·|b|sin〈a，b〉，其中〈a，b〉表示a，b的夹角，则对于两个非零平面向量a，b，下列结论一定成立的有()A.a在b上的投影向量为asin〈a，b〉B.(a*b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2C.λ(a*b)＝(λa)*bD.若a*b＝0，则a与b平行二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)14.i是虚数单位，则复数eq\f(3＋i,1－3i)＝________，其实部为________.15.已知向量a，b的夹角为θ，且|a|＝2，|b|＝eq\r(3)，a·b＝3，则θ＝________.16.(2019·南宁模拟)在正方形ABCD中，E为线段AD的中点，若eq\o(EC,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))＋μeq\o(AB,\s\up6(→))，则λ＋μ＝________.17.(2019·宁德质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A，B两点间的距离为___________.三、解答题(本大题共6小题，共82分)18.(12分)已知复数z＝3＋mi(m∈R)，且(1＋3i)z为纯虚数.(1)求复数z；(2)若z＝(2－i)w，求复数w的模|w|.19.(12分)已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,4).(1)求a＋b与a－b的夹角；(2)若c满足c⊥(a＋b)，(c＋a)∥b，求c的坐标.20.(14分)在△ABC中，设A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝eq\f(2π,3)，c＝eq\r(3)，求△ABC周长的取值范围.21.(14分)设复数z1＝2－ai(a∈R)，z2＝4－3i.(1)若z1＋z2是实数，求z1·z2；(2)若eq\f(z1,z2)是纯虚数，求z1的共轭复数.22.(15分)已知|a|＝2，|b|＝eq\r(3)，(a＋2b)·(b－3a)＝9.(1)求a与b的夹角θ；(2)在△ABC中，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，求BC边的长度.23.(15分)在△ABC中，已知cosB＋(cosA－2sinA)cosC＝0.(1)求角C的余弦值；(2)若BC＝eq\r(5)，AB边上的中线CD＝eq\r(2)，求△ABC的面积.

期中检测试卷(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共13小题，每小题4分，共52分.在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求；第11～13题，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的不得分)1.已知向量a＝(1，m)，向量b＝(－1，eq\r(3))，若a∥b，则m等于()A.eq\r(3)B.－eq\r(3)C.eq\f(\r(3),3)D.－eq\f(\r(3),3)答案B解析由题意得1×eq\r(3)－m×(－1)＝0，∴m＝－eq\r(3).2.已知i为虚数单位，z＝eq\f(4,1＋i)，则复数z的虚部为()A.－2iB.2iC.2D.－2答案D解析z＝eq\f(4,1＋i)＝eq\f(41－i,1＋i1－i)＝eq\f(41－i,2)＝2－2i，故虚部为－2.3.已知边长为2的正方形ABCD中，E为AD的中点，连接BE，则eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(EA,\s\up6(→))等于()A.－2B.－1C.1D.2答案B解析以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)E(0,1)，eq\o(BE,\s\up6(→))＝(－2,1)，eq\o(EA,\s\up6(→))＝(0，－1)，eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(EA,\s\up6(→))＝－1.4.(2019·淮北、宿州模拟)已知i为虚数单位，在复平面内，复数eq\f(1,1－i)的共轭复数对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案D解析由题意可得eq\f(1,1－i)＝eq\f(1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i，则其共轭复数为eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i，对应的点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)))位于第四象限.5.在长方形ABCD中，E为CD的中点，F为AE的中点，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，则eq\o(BF,\s\up6(→))等于()A.－eq\f(3,4)a＋eq\f(1,2)b B.eq\f(3,4)a－eq\f(1,2)bC.eq\f(1,2)a－eq\f(3,4)b D.eq\f(1,2)a＋eq\f(3,4)b答案A解析如图所示，由平面向量线性运算及平面向量基本定理可得eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b－eq\f(3,4)a.6.在△ABC中，若lga－lgc＝lgsinB＝－lgeq\r(2)且B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则△ABC的形状是()A.等边三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.直角三角形答案C解析∵lga－lgc＝lgsinB＝－lgeq\r(2)，∴eq\f(a,c)＝sinB＝eq\f(\r(2),2)，∵B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴B＝eq\f(π,4)，∴cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋\r(2)a2－b2,2a·\r(2)a)＝eq\f(\r(2),2)，∴a2＝b2，则a＝b，∴A＝B＝eq\f(π,4)，∴C＝eq\f(π,2)，∴△ABC为等腰直角三角形.7.在△ABC中，∠A＝120°，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－2，则|eq\o(BC,\s\up6(→))|的最小值是()A.2B.4C.2eq\r(3)D.12答案C解析eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|cosA＝－eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|＝－2⇒|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|＝4，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))|⇒|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＝|eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋4≥2|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|＋4＝12，当且仅当|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|时取等号，所以|eq\o(BC,\s\up6(→))|≥2eq\r(3).8.已知向量a＝(1，eq\r(3))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，则a＋b在b上的投影为()A.2B.eq\r(3)C.1D.－1答案A解析a＋b在b上的投影为eq\f(a＋b·b,|b|)＝eq\f(a·b＋b2,|b|)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(3,2)))＋1,1)＝2.9.已知向量a＝(cosθ－2，sinθ)，其中θ∈R，则|a|的最小值为()A.1B.2C.eq\r(5)D.3答案A解析因为a＝(cosθ－2，sinθ)，所以|a|＝eq\r(cosθ－22＋sin2θ)＝eq\r(1－4cosθ＋4)＝eq\r(5－4cosθ)，因为θ∈R，所以－1≤cosθ≤1，故|a|的最小值为eq\r(5－4)＝1.10.已知点O是△ABC内一点，满足eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＝meq\o(OC,\s\up6(→))，eq\f(S△AOB,S△ABC)＝eq\f(4,7)，则实数m为()A.2B.－2C.4D.－4答案D解析由eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＝meq\o(OC,\s\up6(→))得eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(m,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，设eq\f(m,3)eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))，则eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))，∴A，B，D三点共线，如图所示，∵eq\o(OC,\s\up6(→))与eq\o(OD,\s\up6(→))反向共线，∴eq\f(|\o(OD,\s\up6(→))|,|\o(CD,\s\up6(→))|)＝eq\f(m,m－3)，∴eq\f(S△AOB,S△ABC)＝eq\f(|\o(OD,\s\up6(→))|,|\o(CD,\s\up6(→))|)＝eq\f(m,m－3)＝eq\f(4,7)，解得m＝－4.11.在△ABC中，若sin2A＋sin2B<sin2C，则△ABC的形状不可能是()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等边三角形答案ABD解析由正弦定理知，sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R).∴sin2A＋sin2B<sin2C可化为a2＋b2<c2，a2＋b2－c2<0.∴cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)<0.∴角C为钝角，△ABC为钝角三角形.12.设z是复数，则下列命题中的真命题是()A.若z2≥0，则z是实数B.若z2<0，则z是虚数C.若z是虚数，则z2≥0D.若z是纯虚数，则z2<0答案ABD解析设z＝a＋bi，a，b∈R，z2＝a2－b2＋2abi，对于A：z2≥0，则b＝0，所以z是实数，真命题；对于B：z2<0，则a＝0，且b≠0，可得z是虚数，所以B为真命题；对于C：z是虚数，则b≠0，所以z2也可能是虚数，不能比较大小，所以C是假命题；对于D：z是纯虚数，则a＝0，b≠0，所以z2<0，所以D是真命题.13.定义两个非零平面向量的一种新运算a*b＝|a|·|b|sin〈a，b〉，其中〈a，b〉表示a，b的夹角，则对于两个非零平面向量a，b，下列结论一定成立的有()A.a在b上的投影向量为asin〈a，b〉B.(a*b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2C.λ(a*b)＝(λa)*bD.若a*b＝0，则a与b平行答案BD解析由投影向量的定义可知，A显然不成立；(a*b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2sin2〈a，b〉＋|a|2|b|2·cos2〈a，b〉＝|a|2|b|2，故B成立；λ(a*b)＝λ|a||b|sin〈a，b〉，(λa)*b＝|λa||b|sin〈a，b〉，当λ<0时不成立，故C不成立；由a*b＝0，得sin〈a，b〉＝0，即两向量平行，故D成立.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)14.i是虚数单位，则复数eq\f(3＋i,1－3i)＝________，其实部为________.答案i0解析eq\f(3＋i,1－3i)＝eq\f(3＋i1＋3i,1－3i1＋3i)＝eq\f(3＋9i＋i＋3i2,10)＝i，其实部为0.15.已知向量a，b的夹角为θ，且|a|＝2，|b|＝eq\r(3)，a·b＝3，则θ＝________.答案eq\f(π,6)解析由题意，利用向量的夹角公式，得cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(\r(3),2)，又由θ∈[0，π]，∴θ＝eq\f(π,6).16.(2019·南宁模拟)在正方形ABCD中，E为线段AD的中点，若eq\o(EC,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))＋μeq\o(AB,\s\up6(→))，则λ＋μ＝________.答案eq\f(3,2)解析因为eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))，所以λ＋μ＝eq\f(1,2)＋1＝eq\f(3,2).17.(2019·宁德质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A，B两点间的距离为___________.答案80eq\r(5)解析由已知，在△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，∴∠DAC＝15°，由正弦定理，得AC＝eq\f(80sin150°,sin15°)＝eq\f(40,\f(\r(6)－\r(2),4))＝40(eq\r(6)＋eq\r(2))，在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，∴∠DBC＝30°，由正弦定理，得eq\f(CD,sin∠CBD)＝eq\f(BC,sin∠BDC)，∴BC＝eq\f(CD·sin∠BDC,sin∠CBD)＝eq\f(80×sin15°,\f(1,2))＝160sin15°＝40(eq\r(6)－eq\r(2))；在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝1600(8＋4eq\r(3))＋1600(8－4eq\r(3))＋2×1600(eq\r(6)＋eq\r(2))×(eq\r(6)－eq\r(2))×eq\f(1,2)＝1600×16＋1600×4＝1600×20，解得AB＝80eq\r(5)，则两目标A，B间的距离为80eq\r(5).三、解答题(本大题共6小题，共82分)18.(12分)已知复数z＝3＋mi(m∈R)，且(1＋3i)z为纯虚数.(1)求复数z；(2)若z＝(2－i)w，求复数w的模|w|.解(1)(1＋3i)·(3＋mi)＝(3－3m)＋(9＋m)i，∵(1＋3i)·z是纯虚数，∴3－3m＝0，且9＋m≠0，∴m＝1，∴z＝3＋i.(2)w＝eq\f(3＋i,2－i)＝eq\f(3＋i·2＋i,2－i·2＋i)＝eq\f(5＋5i,5)＝1＋i.∴|w|＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2).19.(12分)已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,4).(1)求a＋b与a－b的夹角；(2)若c满足c⊥(a＋b)，(c＋a)∥b，求c的坐标.解(1)∵a＝(1,2)，b＝(－3,4).∴a＋b＝(－2,6)，∴a－b＝(4，－2)，∴(a＋b)·(a－b)＝－20，∴|a＋b|＝eq\r(－22＋62)＝2eq\r(10)，∴|a－b|＝eq\r(42＋－22)＝2eq\r(5).设a＋b与a－b的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(a＋b·a－b,|a＋b|·|a－b|)＝eq\f(－20,2\r(10)×2\r(5))＝－eq\f(\r(2),2)，又∵θ∈[0，π]，∴θ＝eq\f(3π,4).(2)设c＝(x，y)，则c＋a＝(x＋1，y＋2)，∵c⊥(a＋b)，(c＋a)∥b，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x＋6y＝0，,－3y＋2－4x＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝－\f(2,3)，))即c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(2,3))).20.(14分)在△ABC中，设A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝eq\f(2π,3)，c＝eq\r(3)，求△ABC周长的取值范围.解由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2，∴a＝2sinA，b＝2sinB，则△ABC的周长为L＝a＋b＋c＝2(sinA＋sinB)＋eq\r(3)＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sinA＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－A))))＋eq\r(3)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinA＋\f(\r(3),2)cosA－\f(1,2)sinA))＋eq\r(3)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))＋eq\r(3).∵0<B＝eq\f(π,3)－A<eq\f(π,3)，∴0<A<eq\f(π,3)，∴eq\f(π,3)<A＋eq\f(π,3)<eq\f(2π,3)，∴eq\f(\r(3),2)<sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))≤1，∴△ABC周长的取值范围是(2eq\r(3)，2＋eq\r(3)].21.(14分)设复数z1＝2－ai(a∈R)，z2＝4－3i.(1)若z1＋z2是实数，求z1·z2；(2)若eq\f(z1,z2)是纯虚数，求z1的共轭复数.解(1)∵z1＋z2＝6－(3＋a)i是实数，∴3＋a＝0，a＝－3，z1＝2＋3i，∴z1·z2＝(2＋3i)(4－3i)＝17＋6i.(2)∵eq\f(z1,z2)＝eq\f(2－ai,4－3i)＝eq\f(2－ai4＋3i,4－3i4＋3i)＝eq\f(8＋3a＋6－4ai,25)是纯虚数，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8＋3a＝0，,6－4a≠0，))即a＝－eq\f(8,3)，z1＝2＋eq\f(8,3)i，故z1的共轭复数为2－eq\f(8,3)i.22.(15分)已知|a|＝2，|b|＝e