寒假圆锥曲线中的一些重要结论

智建领航者PAGE智建领航者圆锥曲线中的一些重要结论1、如图，是椭圆（双曲线、抛物线同样具有此性质）的左焦点，过左焦点的直线交椭圆于A、B两点，分别过A、B做左准线（与x轴的交点为G）的垂线，垂足为D、C，连接AC,AG,BG。则有（1）E平分准焦距G；（2）若连结BD，则BD与AC交于同一个点E； （3）G是的角平分线（可根据三角形相似证明，证明）2、如图，直线AB交双曲线于A、B两点，是右交点，AB交右准线于C。则有C是的角平分线。（提示：可分别过A、B做右准线的垂线，垂足分别为G、E，再根据第二定义证明。）提示：对应椭圆也有此性质，不过，此时是外角平分线了！ 3、如图，过M的直线交双曲线于A、B两点，若M平分AB，则有（利用点差发易求得）。说明：（1）、椭圆满足 （2）、特别的，动点P与定点，的连线斜率之积为定值，则动点轨迹是椭圆（当时，表示焦点在x轴上的椭圆，且此时，是椭圆的左、右顶点）。此时。其实，设Q点是P的中点，则也转化为中点弦问题，Q为定点，过Q的直线，被椭圆截的的弦P被Q点平分，注意OQ与P平行。 （3）、图中的阴影部分是当定点在此范围时，不存在中点弦。所以，在处理中点弦问题时，注意对判别式的判断，特别是双曲线。4、如图，L是椭圆的右焦点，、是左右顶点，P点是L上除去x轴上的一动点，P与P分别交椭圆与M、N两点，则恒有MN过右焦点。注意：仿照这个结论，对应双曲线，则应有相应的结论。5、MN是椭圆的焦点弦，则以MN为直径的圆与对应准线相离。注意：仿照这个结论，对应双曲线是相交，抛物线是相切。6、对于抛物线(1)点A(m，0)在x轴上，当时，恒有顶点O是抛物线上与A点距离最小的点；（2）过（2p，0）的直线与抛物线交于B、C两点，则恒有，反之，过坐标原点O做互相垂直的两直线与抛物线交于两点B、C，则直线BC恒过定点（2p，0）。7、点D（m，0）是x轴上一动点，是椭圆的右顶点，则当时，恒有右顶点与D点的距离最近。8、如图，是抛物线的准线，P点是准线上任意一点，PA,PB切抛物线于A，B两点，则有：（1）；（2）AB过焦点。反之，过焦点弦的两个端点做抛物线的切线，则两条切线的交点一定在准线上。思考：椭圆、双曲线是否有类似的结果9、（1）若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是（隐函数求导，可以证明，另外，对比中点弦问题，极限思维）（2）若在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是10、（1）若在椭圆外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.（2）若在双曲线（a＞0,b＞0）外，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.11、（1）椭圆(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.（2）双曲线（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为.12、（1）设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.（2）设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.13、（1）过椭圆(a＞0,b＞0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.提示：思