2018-2019年上海市春季高考数学试卷(含答案)

2019年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷一.填空题(本大题满分36分)本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得。分.函数y=iog(%+2)的定义域是2.方程2*=8的解是.抛物线W=8x的准线方程是.函数y=2sinx的最小正周期是.已知向量a=(1,k),b=(9,k—6)。若a//b，则实数k=.函数y=4sinx+3cosx的最大值是.复数2+3i(i是虚数单位)的模是.在AABC中，角A、B、C所对边长分别为a、b、c，若a=5,b=8,B=60,则b=.在如图所示的正方体ABCD-ABCD中，异面直线AB与BC所成角的大小为iiii 1 1 .从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为(结果用数值表示)。.若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前n项和S=。n.36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22x32,所以36的所有正约数之和为(1+3+32)+(2+2x3+2x32)+(22+22x3+22x32)=(1+2+22)(1+3+32)=91参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为二.选择题(本大题满分36分)本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的。考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，选对得3分，否则一律得0分.展开式为ad-bc的行列式是()

(A)dc(B)(C)(D)14.设f-1（x）为函数f（x）=、次的反函数，F列结论正确的是(A)f-1(2)=2(B)户1(2)=4(C)f-1(4)=2(D)f-1(4)(A)dc(B)(C)(D)14.设f-1（x）为函数f（x）=、次的反函数，F列结论正确的是(A)f-1(2)=2(B)户1(2)=4(C)f-1(4)=2(D)f-1(4)=415.直线2x—3y+1=0的一个方向向量是(A)(2,-3)(B)(2,3)(C)(-3,2)(D)(3,2)16.1函数f（x）=x-2的大致图像是如果a<b<0,那么下列不等式成立的是（）17.(A)ab<b2-ab<-a2(D)18.(A)(C)12 1 2 12 1 2关于x轴对称 （B）关于y轴对称19.（1+x）10的二项展开式中的一项是（）关于原点对称 （D）关于直线19.（1+x）10的二项展开式中的一项是（）(A)45x (B)90x2 (C)120x3 (d)252x4(A).既是偶函数又在区间（0，兀）上单调递减的函数是（）(A)y=sinx(B)y=cosx(C)y=sin2x (D)y=cos.若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比为（）(A)1:2 (B)(A)1:2 (B)1:4(C)1:8(D)1:16.设全集U=R，下列集合运算结果为R的是（）(D){{0}u(A)zuCn(b)(D){{0}u23.已知a、b、cgR,“b2-4ac<0”是“函数f(x)=ax2+bx+c的图像恒在x轴上方”的（）（A）充分非必要条件 6）必要非充分条件（。充要条件 （D）既非充分又非必要条件.已知A、B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若而。=九俞.而，其中九为常数，则动点m的轨迹不可能是（）（A）圆 （B）椭圆 （C）抛物线 （口）双曲线三、解答题（本大题满分78分）本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤.（本题满分7分）一 一 七一 兀如图，在正三棱锥ABC-ABC中，AA=6，异面直线BC与AA所成角的大小为111 1 1 1 6求该三棱柱的体积。B.（本题满分7分）如图，某校有一块形如直角三角形ABC的空地，其中ZB为直角，AB长40米，BC长50米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积。已知数列｛a｝的前n项和为S=—n2+n,数列｛b｝满足b=2。〃，求n n nnlim（b+b+••・+/?）。TOC\o"1-5"\h\zn-g1 2 ”28.（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分9分已知椭圆C的两个焦点分别为F（-1，0）、F（1，0），短轴的两个端点分别为B、B1 2 12（1）若AFBB为等边三角形，求椭圆C的方程；112（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F的直线l与椭圆C相交于P、Q两点，且乔±FQ,2 11求直线l的方程。.(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分已知抛物线c：w=4x的焦点为方。(1)点A、尸满足Q=-2西。当点A在抛物线。上运动时，求动点P的轨迹方程；(2)在元轴上是否存在点Q，使得点Q关于直线y=2x的对称点在抛物线C上？如果存在，求所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。.(本题满分13分)本题共有2个小题，第一小题满分4分，第二小题满分9分在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，点P在x轴上，其横坐标为x,且{x}n n n是首项为1、公比为2的等比数列，记/PAP=。,neN*。nn+1n(1)若03=arctan3，求点A的坐标；(2)若点A的坐标为(0，8<2),求0的最大值及相应n的值。n.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分，第3小题满分6分已知真命题："函数y=f(x)的图像关于点P(a、b)成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f(x+a)-b是奇函数”。[来源:学§科§网Z§X§X§K](1)将函数g(x)=x3-3x2的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图像对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g(x)图像对称中心的坐标；2x(2)求函数h(x)=log-——图像对称中心的坐标；24-x(3)已知命题：“函数y=f(x)的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a和b,使得函数y=f(x+a)-b是偶函数”。判断该命题的真假。如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题(不必证明)。

2019年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷参考答案一.（第1至12题）每一题正确的给3分否则一律得o分1.(-2,+co)2.3x=-22715.6.58.741°.一.（第1至12题）每一题正确的给3分否则一律得o分1.(-2,+co)2.3x=-22715.6.58.741°.5511.6n2一7-n612.4836二.（第13至24题）每一题正确的给3分13.B14.B15.D16.A17.D18.三.（第25至31题）否则一律得0分A19.C20.B21.C22.A23.D24.二.（第13至24题）每一题正确的给3分13.B14.B15.D16.A17.D18.三.（第25至31题）否则一律得0分A19.C20.B21.C22.A23.D24.25.［解］因为CCaai所以/BCC为异面直线BC与AA.所成的角，即/BCC在RtABCC中，BC=CC・tan/BCC=6x从而S =3BBC2-3<3AABC 4因此该三棱柱的体积为V=SAABC•AA1-3甘•6-1873.FP长为x米，其中0<x<40,健身房占地面积为y平方米。因为ACFPsACBA,FPCFx50一FPCFx50一BFBACB'40 50,求得BF=50-4x，从而y-BF•FP=（50-5x）x=-5x2+50x--5（x-20）2+500<500,4 4 4当且仅当x-20时，等号成立。答：该健身房的最大占地面积为500平方米。.［解］当n>2时，a=s-s=-n2+n+(n-1)2-(n-1)=-2n+2。nnn-1且a-s-0,所以a--2n+2。11 n

因为丫2-2n+2=(4)n-1，所以数列｛bn｝是首项为1、公比为4的无穷等比数列。故lim故lim(b+b+…+b)=口二3

4x2 y2.解⑴设椭圆C的方程为瓦+b-=l(a>b>0)。根据题意知《根据题意知《41解得a2—3,b2—3x2y2故椭圆C的方程为4-+宁―1。3 3X2(2)容易求得椭圆C的方程为方+y2―1。当直线l的斜率不存在时，其方程为X=1,不符合题意;当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(X-1)。'y=k(X-1)X2 得(2k2+1)X2-4k2X+2(k2-1)=0。+y2=12设P(X1,y1)，Q(X2,y2)，则4k2 2(k2-1)x+x= ，xx—— ,FP=(x+1,，)，尸。=(x+1,y)1 2 2k2+112 2k2+1 1 1 ,1 1 2 ’2」因为FP1咽，所以7甲=°,即(X+1)(X+1)+yy=XX+(X+X)+1+k2(X-1)(X-1)1 2 12 12 1 2 1 2=(k2+1)XX-(k2-1)(X+X)+k2+1121212解得k解得k2=7，即k=±^77。故直线l的方程为x+71y-1=0或x-J7y-1=0。.（1）.设动点尸的坐标为（x,y）,点4的坐标为（乙,%）,贝”»=（"-=》一力）,因为尸的坐标为（1，。）,所以丛=（xj，》由方=—由方=—2西得(x—x,Ay-y)=-2(%—1,y)ox—x——2(x—1)Ay—y=-2yvA解得X=2-xy=_yiA代入W=4x,得到动点P的轨迹方程为x—x——2(x—1)Ay—y=-2yvA解得X=2-xy=_yiA代入W=4x,得到动点P的轨迹方程为W=8-4x。（2）设点Q的坐标为（t，0）.点Q关于直线y=2x的对称点为Q'（x，y），y—1x-t―"y=x+t[2f3x--5t4、y=5t若Q在C上，将Q'的坐标代入w=4x，得4/2+155=0，即"0或t=-15。所以存在满足题意的点Q,其坐标为（0,0）和（-15，0）。30.［解］（1）设A（0，t），根据题意，x=2n-1。由0n1=arctan-3 3a1，知tan0=-，33而tan0=tan(ZOAP-ZOAP)=ttt(x-x) 4t 43—= x12+x•x 12+324 3t…4t 1… …Q所以72732=3，解得t=4或t=8。故点A的坐标为（0,4）或（0,8）。（2）由题意，点P的坐标为（2（2）由题意，点P的坐标为（2n-1，n0)，tanZOAP=-^on8<22n 2n-1tan0=tan(Ztan0=tan(ZOAP-ZOAP)=n+12n 2n-11+ =• -8V,28v122n-18<2+2X处？+2n°8<28<2162 2n162 2n因为——+—=—2%'’2，2n 8<2…a」1 <2所以tan0« ==——，n2c2 4TOC\o"1-5"\h\z,,,16J22n A……、当且仅当一^二.，即n=4时等号成立。2〃 872八兀 兀易知0<0<-,y=tanx在(0-)上为增函数，n2 2因此，当n=4时,0n最大,其最大值为arctan^231.(1)平移后图像对应的函数解析式为y=(x+1)3—3(x+1)2+2,整理得y=x3-3x,由于函数y=x3-3X是奇函数，由题设真命题知，函数g(x)图像对称中心的坐标是(1，-2)。(2)设h(x)=log的对称中心为P(a，b)，由题设知函数h(x(2)设h(x)=log2(x+a) 2x+2a设f(xXh(x+a)-b，则f(x)=log24z^一b，即f(x)=log24-a-x-b。.一一，2x+2a由不等式^ >0的解集关于原点对称，得a=2。4-a-x此匕时f(x)=log2,