高考物理核心高频考点专题备考专题43 带电粒子在匀强磁场中的运动（解析版）

专题43带电粒子在匀强磁场中的运动1.带电粒子在匀强磁场中运动的分析方法(1)两种方法定圆心方法一:已知入射点、入射方向和出射点、出射方向时,可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线,两条直线的交点就是圆弧轨迹的圆心[如图(甲)所示]。方法二:已知入射方向和入射点、出射点的位置时,可以通过入射点作入射方向的垂线,连接入射点和出射点,作其中垂线,这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心[如图(乙)所示]。(2)几何知识求半径利用平面几何关系,求出轨迹圆的可能半径(或圆心角),求解时注意以下几个重要的几何特点:①粒子速度的偏向角()等于圆心角(α),并等于弦AB与切线的夹角(弦切角θ)的2倍[如图(丙)所示],即=α=2θ=ωt。②直角三角形的应用(勾股定理、三角函数)。找到AB的中点C,连接OC,则△AOC、△BOC都是直角三角形。(3)两个观点算时间观点一:由运动弧长计算,t=lv观点二:由旋转角度计算,t=α360°T(或t=2.三类边界磁场中的轨迹特点(1)直线边界:进出磁场具有对称性。(2)平行边界:存在临界条件。(3)圆形边界:沿径向射入必沿径向射出。粒子做圆周运动的半径r=Rtan【典例1】[带电粒子在直线边界磁场中的运动]（多选）如图所示，在边界上方存在着垂直纸面向里的匀强磁场，有两个电荷量、质量均相同，分别带正电和负电的粒子(不计重力)，从边界上的O点以相同速度先后射入磁场中，入射方向与边界成θ角，则两个粒子在磁场中(    )A.运动轨迹的半径相同B.重新回到边界所用时间相同

C.重新回到边界时速度大小和方向相同D.重新回到边界时与O点的距离相等【答案】ACD【解析】A.根据牛顿第二定律得：qvB=mv2r，解得：r=mvqB，由题q、v、B大小均相同，则r相同。故A正确。B.粒子的运动周期T=2πmqB，由题q、v、B大小均相同，则知T相同。粒子运动轨迹如图所示：

根据左手定则分析可知，正离子逆时针偏转，负离子顺时针偏转，重新回到边界时正离子的速度偏向角为2π−2θ，轨迹的圆心角也为2π−2θ，运动时间为：t=2π−2θ2πT同理，负离子运动时间为：t=2θ2πT，显然时间不等。故B错误。C.正负离子在磁场中均做匀速圆周运动，速度沿轨迹的切线方向，根据圆的对称性可知，重新回到边界时速度大小与方向相同。故C正确。D.根据几何知识得知重新回到边界的位置与O点距离s=2rsinθ【典例2】[带电粒子在圆形边界磁场中的运动]如图所示的圆形区域内，匀强磁场方向垂直于纸面向里。有一束速率各不相同的质子自A点沿半径方向射入磁场，这些质子在磁场中(    )A.运动时间越长，其轨道对应的圆心角越大

B.运动时间越长，其轨道越长

C.运动时间越短，射出磁场区域时的速度越小

D.运动时间越短，射出磁场区域时速度的偏向角越大【答案】A【解析】运动轨迹如图所示

设磁场区域半径为R，轨迹半径为r，圆心角为θ；A.粒子在磁场中的运动时间为t=θ2πT，时间越长，圆心角越大，故A正确；B.粒子运动的轨迹为S=rθ=θ×Rcotθ2，粒子的运动时间越长圆心角θ

越大，据数学知识可证明孤长越短，故B错误；C.时间越短，圆心角越小，

r=Rcotθ2得半径越大，由r=mvqB故选A。【典例3】[带电粒子在圆环形边界磁场中的运动]如图所示，半径分别为R、2R的两个同心圆，圆心为O，大圆和小圆之间区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，其余区域无磁场，一重力不计的带正电粒子从大圆边缘的P点沿PO方向以速度v1射入磁场，其运动轨迹如图所示，图中轨迹所对的圆心角为120°；若将该带电粒子从P点射入的速度大小变为v2，不论其入射方向如何，都不可能射入小圆内部区域，则v1A.433 B.233 C.【答案】A【解析】粒子速度为v1时，圆心角为120°，设圆心为O1当v2方向竖直向上，粒子恰好完成半个圆周且与内圆相切时有：r2=R2，此时v2为满足条件的最大值结合r=mvqB得：v=qBrm，所以速度之比等于半径之比，【典例4】[根据粒子运动确定磁场范围区域]如图所示，在xOy平面上以O为圆心的圆形区域内存在匀强磁场(图中未画出)，磁场方向垂直于xOy平面向外。一个质量为m、电荷量为q的带负电粒子，从原点O以初速度大小为v0沿y轴负方向开始运动，后来粒子经过x轴上的A点，此时速度方向与x轴的夹角为30°，A到O的距离为d，不计粒子的重力，则圆形磁场区域的半径为（）A.32d B.33d C.【答案】B【解析】粒子的运动轨迹如图，由几何关系可知：R+Rsin30∘=d，解得粒子的运动的半径为R=1【典例5】[带电粒子在交变磁场中的运动]如图甲所示，在y轴右侧加有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B=1T.从原点O处向第Ⅰ象限发射一比荷qm=1×104C/kg的带正电的粒子(重力不计)，速度大小v0=103m/s，方向垂直于磁场且与x轴正方向成角。

(1)求粒子在该匀强磁场中做匀速圆周运动的半径R和在该磁场中运动的时间t1。

(2)若磁场随时间变化的规律如图乙所示(垂直于纸面向外为正方向)，t=4π3×10−4s【答案】解：(1)轨迹如图甲所示。由Bqv=mv2R得

轨迹半径，

粒子运动周期T=2πmBq=2π1×104×1=2π×10−4s

粒子在磁场中轨迹所对的圆心角为，

所以粒子在磁场中运动的时间为t1=2T3=4π3×10−4s

(2)磁场变化的半周期为△t=2π3×10−4s=T3

在图乙中，，且O1O2平行于x轴

Rt△EDP中，，

则粒子从O点射出后第【点对点01】如图所示，正方形区域内存在垂直纸面的匀强磁场。一带电粒子(重力不计)垂直磁场边界从a点射入，从b点射出。下列说法正确的是(

)A.粒子带正电

B.粒子在b点速率大于在a点速率

C.若仅减小磁感应强度，则粒子可能从b点右侧射出

D.若仅减小入射速率，则粒子在磁场中运动时间变短【答案】C【解析】A、粒子向下偏转，根据左手定则可得粒子带负电，故A错误；B、粒子在磁场中运动时洛伦兹力不做功，粒子在b点速率等于在a点速率，故B错误；C、根据R=mvqB可知，若仅减小磁感应强度，则粒子运动的半径增大，粒子可能从b点右侧射出，故C正确；D、若仅减小入射速率，则粒子在磁场中运动半径减小，粒子轨迹对应的圆心角有可能增大，根据t=θ2π【点对点02】如图所示，直角坐标系中y轴右侧存在一垂直纸面向里、宽为a的有界匀强磁场，磁感应强度为B，右边界PQ平行于y轴，一粒子(重力不计)从原点O以与x轴正方向成θ角的速率v垂直射入磁场，当斜向上射入时，粒子恰好垂直PQ射出磁场，当斜向下射入时，粒子恰好不从右边界射出，则粒子的比荷及粒子恰好不从右边界射出时在磁场中运动的时间分别为(    )A.vBa2πa3vB.v2Ba2πa3v【答案】C【解析】当斜向上射入时，粒子恰好垂直PQ射出磁场，粒子的轨迹半径为：r=asinθ；当斜向下射入时，粒子恰好不从右边界射出，粒子的轨迹半径为：r=a1−sinθ。得：θ=30°由 qvB=mv2r得：qm【点对点03】质量和电荷量都相等的带电粒子M和N，以不同的速度经小孔S垂直进入匀强磁场，运行的半圆轨迹如图中虚线所示，下列表述正确的是(    )A.M带负电，N带正电 B.M的速率小于N的速率

C.洛伦兹力对M、N做正功 D.M的运行时间大于N的运行时间【答案】A【解析】A.根据左手定则可知N带正电，M带负电，选项A正确；B.由qvB=mv2r得r=mvBq，由题知m、q、B相同，且rN<rM，所以vM>vN，选项B错误；C.由于洛伦兹力的方向始终与带电粒子的运动方向垂直，故洛伦兹力不会对M、N【点对点04】如图所示，正方形容器处于匀强磁场中，一束电子从孔a垂直于磁场沿ab方向射入容器中，一部分从c孔射出，一部分从d孔射出，容器处于真空中，则下列结论中正确的是（）A.从两孔射出的电子速率之比vc∶vd=2∶1

B.从两孔射出的电子在容器中运动的时间之比tc∶t【答案】A【解析】A.如图为从c、d两孔射出电子的运动轨迹，粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qvB=mv2r，解得：r=mvqB，根据图示粒子运动轨迹可知，粒子轨道半径：rc=2rd，则粒子速度之比：vc：vd=2：1，故A正确；B.粒子做圆周运动的周期：T=2πmqB，从c孔射出的粒子运动了14周期，从d孔射出的粒子运动了12周期，则：tc：td=1：2，故B错误；C.粒子在磁场中的加速度为：a=qvBm，由A可知，vc：vd=2：1，所以ac【点对点05】如图所示为一有边界的匀强磁场，磁感应强度为B，边界OA上某处有一α粒子发射源。在t=0时刻从α粒子源处垂直于磁场B向各个方向发射出大量α粒子(不计α粒子间的相互作用)，所有α粒子的初速度大小相等，一段时间后有大量α粒子从边界OC射出该区域磁场，已知∠AOC=60°，则从边界OC射出的α粒子在该区域磁场中运动的最长时间是(T2 B.T3 C.2T3【答案】C【解析】当粒子平行于AO进入磁场，在磁场中做匀速圆周运动的轨迹与OC相切时，运动时间最长，

由几何关系可得，在磁场中偏转角为240°，所用的时间为：t=240°360∘T=23T，故C正确、【点对点06】如图所示，正六边形abcdef区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，有两个质量和电荷量都相等的粒子沿ad方向射入磁场后分别从b、e两点射出，不计粒子重力．下列说法正确的是（）A.两粒子的速率相等

B.从b点射出的粒子速率较大

C.从b点射出的粒子在磁场中运动时间较长

D.从e点射出的粒子在磁场中运动时间较长【答案】C【解析】AB.做出两个粒子运动的轨迹，可知从e点出射的粒子半径大，由r=mvqB从e点射出的粒子速率较大，故AB错误；CD.两粒子在磁场中运动的周期相同，而运动时间，由于从b点射出的粒子对应的圆心角大，故从b点射出的粒子在磁场中运动时间较长，故C正确，D错误。故选C。

【点对点07】如图所示，直线MN左下侧空间存在范围足够大、方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在磁场中P点有一个粒子源，可在纸面内向各个方向射出质量为m、电荷量为q的带正电粒子(重力不计)，已知∠POM=60°，PO间距为L，粒子速率均为v=3qBL2mA.πm2qBB.πm3qBC.πm4qB【答案】B【解析】粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力作向心力，则有：qvB=mv2粒子做圆周运动的周期为：T=2πRv=3πL3BqL2m=2πmBq，因为粒子做圆周运动的半径、周期相同，那么，粒子转过的中心角越小，则其弦长越小，运动时间越短；所以，过P点做OM的垂线，可知，粒子运动轨迹的弦长最小为：L【点对点08】如图所示，边长为L的正方形有界匀强磁场ABCD，带电粒子从A点沿AB方向射入磁场，恰好从C点飞出磁场；若带电粒子以相同的速度从AD的中点P垂直AD射入磁场，从DC边的M点飞出磁场(M点未画出)。设粒子从A点运动到C点所用的时间为t1，由P点运动到M点所用时间为t2(带电粒子重力不计)，则t1A.2∶1 B.2∶3 C.3∶2 D.3【答案】C【解析】画出粒子从A点射入磁场到从C点射出磁场的轨迹，并将该轨迹向下平移，粒子做圆周运动的半径为R=L，从C点射出的粒子运动时间为t1=T4；由P点运动到M点所用时间为t2，圆心角为θ，则cos θ=R2R，则cos θ=12，θ=60°【点对点09】如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场．两个质子M、N沿平行于直径cd的方向从圆周上同一点P射入磁场区域，P点与cd间的距离为R2，质子M、N入射的速度大小之比为1 : 2.ab是垂直cd的直径，质子M恰好从b点射出磁场，不计质子的重力和质子间的作用力．则两质子M、N在磁场中运动的时间之比为(    )A.2:1 B.3:1 C.3:2 D.3:4【答案】A【解析】根据质子只受洛伦兹力作用可得：质子做匀速圆周运动，洛伦兹力做向心力，故有：Bve=mv2r，所以，轨道半径r=mveB，圆周运动周期T=2πrv=2πmeB；根据质子做匀速圆周运动可得：质子运动轨道圆心在轨迹上两点的垂直平分线上，且任一点速度方向和径向垂直；故质点M的轨道半径rM=R，转过的中心角为120°；根据两质子入射速度vM：vN=1：2可得：rN=2R；根据几何关系可得：质子N转过的中心角为60°；【点对点10】（多选）如图所示，直径为d的圆形区域内有垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，MN为圆的直径，一重力不计的带电粒子从M点沿MN方向以速度v射入磁场区域，最后从圆周上的P点离开磁场，若∠NOP=60°，下列说法正确的是(

)A.粒子带正电 B.粒子的比荷为23v3Bd

C.粒子的速度不变 【答案】BD【解析】A.根据粒子偏转方向结合左手定则可得粒子带负电，故A错误；B.根据几何关