考研数学一常微分方程历年真题试卷汇编4-真题-无答案

考研数学一（常微分方程）历年真题试卷汇编4(总分150,考试时间180分钟)选择题1.1.[2004年]微分方程y''+y=x2+1+sinx的特解形式可设为()．A.y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)B.y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)C.y*=ax2+bx+c+AsinxD.y*=ax2+bx+c+Acosx2.2.[2008年]在下列微分方程中以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是()．A.y'''+y''一4y'一4y=0B.y'''+y''+4y'+4y=0C.y'''一y''一4y'+4y=0D.y'''-y''+4y'-4y=03.3.[2015年]设是二阶常系数非齐次线性微分方程y''+ay'+by=cex的一个特解，则()．A.a=一3，b=2，c=一1B.a=3，b=2，c=一1C.a=一3，b=2，c=1D.a=3，b=2，c=14.4.[2016年]若y=(1+x2)2一，y=(1+x2)2+再是微分方程y'+p(x)y=q(x)的两个解，则q(x)=()．A.3x(1+x2)B.一3x(1+x2)C.D.填空题5.5.[2006年]微分方程y'=y(1一x)／x的通解是______．6.6.[2008年]微分方程xy'+y=0满足条件y(1)=1的解为______．7.7.[2014年]微分方程xy'+y(lnx—lny)=0满足条件y(1)=e3的解为y=______.8.8.[2011年]微分方程y'+y=e-xcosx满足条件y(0)=0的解为y=______．9.9.[2005年]微分方程xy'+2y=xlnx满足y(1)=一1／9的特解为______．10.10.[2013年]已知y1=e3x—xe2x，y2=ex一xe2x，y3=一xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解为y=______．11.11.[2002年]微分方程yy''+y'2=0满足初始条件y｜x=0=1，y'｜x=0=1／2的特解是______．12.12.[2007年]二阶常系数非齐次线性微分方程y''-4y'+3y=2e2x的通解为______．13.13.[2012年]若函数f(x)满足方程f''(x)+f'(x)-2f(x)=0及f''(x)+f(x)=2ex，则f(x)=______．14.14.[2017年]微分方程y''+2y'+3y=0的通解为y=______．15.15.微分方程xy''+3y'=0的通解为______．16.16.[2004年]欧拉方程(x＞0)的通解是______．17.17.[2009年]若二阶常系数线性齐次微分方程y''+ay'+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程y'+ay'+by=x满足条件y(0)=2，y'(0)=0的解为______．解答题[2018年]已知微分方程y'+y=f(x)，其中f(x)是R上的连续函数．18.18.若f(x)=x，求方程的通解．19.19.若f(x)为周期函数，试证微分方程有解与其对应，且该解也为周期函数．20.20.求微分方程x2y'+xy=y2满足初始条件y｜x=1=1的特解．21.21.设f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0，f'(0)=1，且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f'(x)+x2y]dy=0为一全微分方程，求f(x)及此全微分方程的通解．22.22.[2010年]求微分方程y''一3y'+2y=2xex的通解．[2003年]设函数y=y(x)在(一∞，+∞)内具有二阶导数，且y'≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．23.23.试将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程；24.24.求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y'(0)=3／2的解．25.25.[2005年]用变量代换x=cost(0＜t＜π)化简微分方程(1一x2)y''-xy'+y=0，并求其满足y｜x=0=1，y'｜x=0=2的特解．26.26.[2015年]设函数f(x)在定义域I上的导数大于零，若对任意x0∈I，曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与直线x=x0及x轴所围成区域的面积恒为4，且f(0)=2，求f(x)的表达式．27.27.从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系．设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用．设仪器的质量为m，体积为B，海水密度为ρ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k＞0)．试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系式y=y(v)．28.28.[2004年]某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地瞬间，飞机尾部张开降落伞以增大阻力使飞机迅速减速并停下．现有一质量为