新疆喀什地区英吉沙县2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题【含答案解析】

英吉沙县2023-2024学年第一学期期中考试高二数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若直线经过两点，则直线的倾斜角为A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】试题分析：设直线的倾斜角为，直线经过两点，所以，即，又因为，所以考点：直线的斜率与倾斜角2.以，，为顶点的三角形是（）A.以点为直角顶点的直角三角形 B.以点为直角顶点的直角三角形C.锐角三角形 D.钝角三角形【答案】A【解析】【分析】根据两点求斜率以及斜率之间的关系即可求解.【详解】由，，，，，由，所以直线与直线垂直，所以以点为直角顶点的直角三角形.故选：A3.以，为端点的线段的垂直平分线的方程（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据斜率公式结合垂直关系可求垂直平分线的斜率，以及中点坐标公式求线段AB的中点坐标，再结合直线的点斜式方程运算求解.【详解】∵直线AB的斜率，则垂直平分线的斜率又∵线段AB的中点为∴所求直线方程为，即故选：A.4.在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若，，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据向量线性运算法则计算即可.【详解】．故选：C．5.如图，在正四面体中，等于()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由正四面体的性质可得为正三角形，所以，即可解得向量所夹角度.【详解】两个向量夹角的顶点是它们共同的起点，故应把向量的起点平移到点处，因为为正三角形，所以，所以．故选：D．6.若直线与直线的斜率互为相反数，则的倾斜角为A30° B.60° C.120° D.150°【答案】B【解析】【详解】的倾斜角为60°故选B7.在正方体中，是棱的中点，是的中点，是上的一点且，则异面直线与所成的角为A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】以为轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为，则,,异面直线与所成的角为，故选D.8.已知直线是圆的对称轴，过点作圆C的一条切线，切点为B，则等于（）A.4 B. C. D.3【答案】A【解析】【分析】根据直线是圆的对称轴，则圆心在直线l上，求得，由过点作圆C的一条切线，切点为B，利用勾股定理即可求得.【详解】由方程得，圆心为，因为直线l是圆C的对称轴，所以圆心在直线l上，所以，所以A点坐标为，则，所以故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.若(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是（）A.(，3，) B.(200，，100)C.(，，) D.(，3，0)【答案】ABC【解析】【分析】因为同一个平面的法向量共线，所以可利用向量共线的判定进行求解.【详解】因为，，,,所以与，，均共线，与不共线，所以，，可以作为平面α的法向量故选：ABC.10.在如图所示空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是（）A.直线的一个方向向量为 B.直线的一个方向向量为C.平面的一个法向量为 D.平面的一个法向量为【答案】AC【解析】【分析】根据已知可得出点的坐标，进而求出相关向量的坐标，求出平面的法向量，即可得出答案.【详解】由题意，，，，，.对于A、B项，可知，∴向量为直线的一个方向向量，故A正确，B不正确；对于C项，设平面的法向量为，则.又，，所以有.令，可得，则C正确；对于D项，设平面的法向量为，则.又，，所以有.令，得，故D不正确.故选：AC.11.下列各结论，正确的是（）A.直线与两坐标轴交于A，B两点，则B.直线与直线之间的距离为C.直线上的点到原点的距离最小为1D.点与点到直线的距离相等【答案】ACD【解析】【分析】由两点间、点到直线，平行线的距离公式对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A，直线与两坐标轴的交点，则，故A正确；对于B，直线与直线之间的距离为，故B不正确；对于C，直线上的点到原点的距离最小为原点到直线的距离即，故C正确；对于D，点到直线的距离为与点到直线的距离为.所以点与点到直线的距离相等，故D正确.故选：ACD.12.已知圆，直线．则下列选项正确的是（）A.直线恒过定点 B.直线与圆C的位置可能相交、相切和相离C.直线被圆C截得的最短弦长为12 D.直线被圆C截得的最短弦长对应的k值为【答案】AD【解析】【分析】根据题意得，故直线过定点，进而根据点与圆的位置关系得点在圆内，即可得直线与圆相交，当直线与过点和圆心的直线垂直时直线被圆C截得的弦长最短，再求解即可.【详解】解：由直线得，所以直线过定点，故A选项正确；此时将点代入圆得，所以点在圆内，故直线与圆C的位置是相交，故B选项错误；当直线与过点和圆心的直线垂直时，直线被圆C截得的弦长最短，为，此时直线的斜率为，故C选项错误，D选项正确.故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量若，则___________.【答案】1【解析】【分析】由空间向量数量积的坐标运算求解【详解】由题意得，则，故答案为：114.直线和直线的位置关系是________.【答案】相交【解析】【分析】首先求出两条直线的斜率，得到且，所以两条直线相交但不垂直.【详解】直线的斜率，直线的斜率为，则,且，所以两条直线相交但不垂直.故答案为：相交【点睛】本题主要考查两条直线的位置关系，熟练掌握两条直线平行和相交的充要条件是解题的关键，属于简单题.15.点关于直线的对称点为，则点的坐标为____________．【答案】【解析】【详解】设点，则中点坐标为，所以，解得，所以点.16.在平面直角坐标系中，已知过点的圆M与圆相切于原点，则圆M的半径是__．【答案】【解析】【分析】由两圆相切于原点且圆M过点，而已知圆知它们的圆心都在直线上，即若圆M圆心为(a,a)由圆心与圆上点距离相等列方程求a，即可求半径【详解】化为即为圆心为(3,3)，半径为的圆∵所求的圆M与圆相切于原点∴两圆心在直线上可设所求圆M圆心为(a,a)且过，∴，解得所求圆M的半径为．故答案为：【点睛】本题考查圆和圆的位置关系，考查数学转化思想方法与数形结合的，属于中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知，，.求：（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据空间向量加减运算的坐标表示，即可得出答案；（2）根据已知，求出，然后根据数量积的公式，即可得出答案.小问1详解】由已知可得，.【小问2详解】由已知可得，，，，所以，.18.在空间直角坐标系中，已知，，，若是直角三角形，求m的值.【答案】或【解析】【分析】根据已知求出的坐标，进而分别求出当为直角时的值，即可得出答案.【详解】由已知可得，，.若，则有，即，解得；若，则有，即，解得；若，则有，即，所以有，方程无解.综上，或.19.已知直线和直线，试确定的值，使得：（1）与相交；（2）与平行；（3）与垂直.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）由运算可求出；（2）由运算可求解；（3）讨论和两种情况，由直线垂直的性质运算可求解.【详解】（1）当时，，，此时两直线相交，符合题意，当时，要使与相交，则，解得，综上，；（2）可得，要使与平行，则，解得；（3）若与垂直，当时，，，此时两直线垂直，符合题意，当时，则，无解，综上，.20.已知圆，直线过点.（1）当直线与圆相切时，求直线的斜率；（2）线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，解出即可；（2）建立点和点之间的关系式，再利用点的坐标满足的关系式得到点的坐标满足的条件，即可求出.【小问1详解】已知的圆心是，半径是，设直线斜率为则直线方程是，即，则圆心到直线距离为，解得直线的斜率.【小问2详解】设点则，由点是的中点得，所以①因为在圆上运动，所以②①代入②得，化简得点的轨迹方程是.21.已知点，圆的圆心在直线上且与轴切于点，（1）求圆的方程；（2）若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用已知的圆心特征和半径，即可求得圆的方程；（2）分斜率存在与不存在两种情况讨论，结合弦心距的求解过程即可得出结果.【小问1详解】圆的圆心在直线上且与轴切于点，设圆心坐标为，则，解得，，圆心，半径，故圆的方程为.【小问2详解】点，直线过点，设直线的斜率为存在）则方程为，又圆的圆心为，半径，弦长为，故弦心距，故，解得，所以直线方程为，即，当的斜率不存在时，的方程为，经验证也满足条件，故的方程为或.22.如图，在直三棱柱中，，，，分别是的中点．（1）求证：；（2）求平面与平面的夹角．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由等腰三角形中位线性质和线面垂直性质可得，