沪科版8直线和圆的位置关系2

九年级数学(下)第三章

圆5.直线和圆的位置关系(2)切线判定定理直线与圆的位置关系相交相切相离图形

公共点个数

公共点名称

直线名称圆心到直线距离d与半径r的关系2个交点割线1个切点切线d<rd=rd>r没有回顾：切线的性质定理定理圆的切线垂直于过切点的半径.如图∵CD是⊙O的切线,A是切点,OA是⊙O的半径,∴CD⊥OA.老师提示:切线的性质定理是证明两线垂直的重要根据;作过切点的半径是常用经验辅助线之一.CDB●OA图中直线l满足什么条件时是⊙O的切线？探究：Ol方法1：直线与圆有唯一公共点方法2：直线到圆心的距离等于半径注意：实际证明过程中，通常不采用第一种方法;方法2从“量化〞的角度说明圆的切线的判定方法。【操作】画一个⊙O及半径OA，过OA的外端点画一条直线，这条直线是⊙O的切线吗？为什么？【思考】要使这条直线是⊙O的切线还需添加什么条件，为什么？直线何时变为切线如图,AB是⊙O的直径,直线CD经过点A,CD与AB的夹角为∠α,当CD绕点A旋转时,你能写出一个命题来表述这个事实吗?议一议21.随着∠α的变化,点O到CD的距离如何变化?直线CD与⊙O的位置关系如何变化?2.当∠α等于多少度时,点O到CD的距离等于半径?此时,直线CD与⊙O有的位置关系?有为什么?B●OACD┓dα┏dαd┓如图,点A是⊙O与直线的公共点,且⊥OA.在直线上任取异于点A的点B,则△OAB是

Rt△．AOB2.

而OB是Rt△OAB的斜边，因此，都有OB>OA,即B一定点在圆外．由点B的任意性可知，圆与直线只有一个公共点，因此是圆的切线．由此可得：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线的判定定理定理经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.老师提示:切线的判定定理是证明一条直线是否是圆的切线的根据;作过切点的半径是常用经验辅助线之一.议一议3CDB●OA如图∵OA是⊙O的半径,直线CD经过A点,且CD⊥OA,∴CD是⊙O的切线.1.经过半径的外端2.与半径垂直几何语言OD是⊙O的半径OD⊥l于D直线l是切线满足两个条件lODl是⊙O的切线1、判断：(1)过半径的外端的直线是圆的切线〔〕(2)与半径垂直的的直线是圆的切线〔〕(3)过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线〔〕×××OrlAOrlAOrlA巩固：两个条件缺一不可〖说明〗〔1〕此定理说明一条直线必须同时满足两条件：①经过半径的外端，②与这条半径垂直，才能判定这条直线是圆的切线，二者缺一不可.〔2〕切线的三种判定方法：①与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；②圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线；③过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.例1如图，：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。求证：直线AB是⊙O的切线。OBAC

分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可。例题：有交点，连半径，证垂直例2如图，：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。求证：⊙O与AC相切。OABCED无交点，作垂直，证半径OBACOABCED归纳：例1与例2的证法有何不同?(1)如果直线经过圆上一点,那么连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直.简记为：有交点，连半径,证垂直.(2)如果条件中不知直线与圆是否有公共点,那么过圆心作直线的垂线段,再证垂线段长等于半径长.简记为：无交点,作垂直,证半径.1、如图,△ABC中,AB=AC,AO⊥BC于O，OE⊥AC于E,以O为圆心,OE为半径作⊙O.求证：AB是⊙O的切线.FECOBA巩固：无交点，作垂直，证半径2、如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,BD=OB,点C在⊙O上,∠CAB=30°.求证:DC是⊙O的切线.ABCDO有交点，连半径，证垂直例1如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAD=∠ABC， 判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由.题目中“半径〞已有，只需证“垂直〞即可得直线与圆相切。例题精讲变式：假设将题中“AB是直径〞去掉，其余条件不变，结论是否成立？例2、如图，⊙C的半径是1，∠A=300，AC=2，求证：AB是⊙C的切线.注：本例也是证明一条直线是圆的切线，但与前面的例子不同之处在于前面已经知道圆与直线有公共点，连接后证明垂直运用判定定理可得切线。这里却不知道圆与直线是否有公共点，我们无法进行连接，因此我们可以作垂直得到d，再证明d=r，从而得证.例3如图，AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点D，DE⊥AC.求证：DE是⊙O的切线．AODECB证明：连接OD．∵BD＝CD，OA=OB,∴OD是△ABC的中位线.∴OD//AC.又∵

∠DEC＝90°,∴∠ODE＝90°.又∵

D在圆周上,∴DE是⊙O的切线.例4

作经过一定点C的圆的切线．思考：定点C在圆的什么位置？COO.C(1)点C在圆上．(２)点C在圆外．作法：连接OC，过点C作AB⊥OC．那么直线AB就是所要作的切线．BA证明：直线AB经过点C，并且AB⊥OC．由切线的判定定理可知，AB就是⊙O的切线，切点是点C．作法：连接OC,以OC为直径的圆为⊙O1，与⊙O相交于两点P和P′.连接CP和CP′,那么CP和CP′都是过点C所引⊙O的切线．PP′O1证明：∵∠OPC是⊙O1内半圆上的圆周角，∴∠OPC=90°.∴PC⊥OP.又∵OP是⊙O的半径，PC经过点C，∴PC就是所要作的切线.同理，CP′也是所要作的切线.练习1.如图A是⊙O外的一点，AO的延长线交⊙O于C，直线AB经过⊙O上一点B，且AB＝BC，∠C＝30°.求证：直线AB是⊙O的切线.证明：连结OB,∵OB=OC,AB=BC,∠C=30°∴∠OBC=∠C=∠A=30°∴∠AOB=∠C+∠OBC=60°∴∠ABO=180°－(∠AOB+∠A)=180°－(60°+30°)=90°∴AB是⊙O的切线.题目中“半径〞已有，只需证“垂直〞,即可得直线与圆相切.练习2假设Rt△ABC内接于⊙O,∠A=30°.延长斜边AB到D，使BD等于⊙O的半径,求证：DC是⊙O的切线.DCAB.O3003001200600600600分析:如图课堂小结：一判定一条直线是圆的切线有三种方法1根据定义直线与圆有唯一的公共点2根据判定定理3，根据圆心到直线的距离等于半径

二添辅助线的方法那么连接圆心与交点那么过圆心作直线的垂线段1，直线与圆有交点，2，没有明确的公共点，作业:P33.习题2.3(1,2,3)1．：在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于D，DE⊥AC于E，如图(1)，求证：DE是⊙O的切线.2．如图(2)，在△ABC中，AD⊥BC于D，AD＝BC/2，E和F分别为AB和AC的中点，EF与AD交于G，以EF为直径作⊙O，求证：⊙O与BC相切.3．如图(3)，△ABC内接于⊙O，P、B、C在一直线上，且PA2＝P