新高考数学二轮复习 第4部分 高考22题逐题特训 大题保分练3(三角、数列、立几、概率)（含解析）

大题保分练3(三角、数列、立几、概率)1．(2020·济南检测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosA＋eq\f(\r(2),2)a＝c，D是BC边上的点．(1)求角B；(2)若AC＝7，AD＝5，DC＝3，求AB的长．解(1)由bcosA＋eq\f(\r(2),2)a＝c，得sinBcosA＋eq\f(\r(2),2)sinA＝sinC，sinBcosA＋eq\f(\r(2),2)sinA＝sin(A＋B)，sinBcosA＋eq\f(\r(2),2)sinA＝sinAcosB＋cosAsinB，eq\f(\r(2),2)sinA＝sinAcosB，∵sinA≠0，∴cosB＝eq\f(\r(2),2)，∴B＝eq\f(π,4).(2)在△ADC中，AC＝7，AD＝5，DC＝3，∴cos∠ADC＝eq\f(AD2＋DC2－AC2,2AD·DC)＝eq\f(52＋32－72,2×5×3)＝－eq\f(1,2)，∴∠ADC＝eq\f(2π,3)，在△ABD中，AD＝5，B＝eq\f(π,4)，∠ADB＝eq\f(π,3)，由eq\f(AB,sin∠ADB)＝eq\f(AD,sinB)，得AB＝eq\f(AD·sin∠ADB,sinB)＝eq\f(5×sin\f(π,3),sin\f(π,4))＝eq\f(5×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝eq\f(5\r(6),2).2．(2020·日照模拟)在①a2＋a3＝a5－b1；②a2·a3＝2a7；③S3＝15这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{an}的公差d>0，前n项和为Sn，若________，数列{bn}满足b1＝1，b2＝eq\f(1,3)，anbn＋1＝nbn－bn＋1，n∈N*.(1)求{an}的通项公式；(2)求{bn}的前n项和Tn.解(1)若选①，∵anbn＋1＝nbn－bn＋1，∴当n＝1时，a1b2＝b1－b2，∵b1＝1，b2＝eq\f(1,3)，∴a1＝2.又∵a2＋a3＝a5－b1，∴d＝3，∴an＝3n－1.若选②，∵anbn＋1＝nbn－bn＋1，∴当n＝1时，a1b2＝b1－b2，∵b1＝1，b2＝eq\f(1,3)，∴a1＝2.又∵a2a3＝2a7，即(2＋d)(2＋2d)＝2(2＋6d)，解得d＝3或d＝0(舍)，∴an＝3n－1.若选③，∵anbn＋1＝nbn－bn＋1，∴当n＝1时，a1b2＝b1－b2，∵b1＝1，b2＝eq\f(1,3)，∴a1＝2.S3＝3×2＋eq\f(3×2,2)d＝15，解得d＝3.∴an＝3n－1.(2)由(1)知(3n－1)bn＋1＝nbn－bn＋1，即3nbn＋1＝nbn,3bn＋1＝bn，则数列{bn}是以1为首项，以eq\f(1,3)为公比的等比数列，∴{bn}的前n项和Tn＝eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n,1－\f(1,3))＝eq\f(3,2)(1－3－n)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2·3n－1).3．(2020·全国Ⅲ)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1.(1)证明：点C1在平面AEF内；(2)若AB＝2，AD＝1，AA1＝3，求二面角A－EF－A1的正弦值．(1)证明设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，如图，以C1为坐标原点，eq\o(C1D1,\s\up6(→))的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系．连接C1F.C1(0,0,0)，A(a，b，c)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，0，\f(2,3)c))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，b，\f(1,3)c))，eq\o(EA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，b，\f(1,3)c))，eq\o(C1F,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，b，\f(1,3)c))，得eq\o(EA,\s\up6(→))＝eq\o(C1F,\s\up6(→))，因此EA∥C1F，即A，E，F，C1四点共面，所以点C1在平面AEF内．(2)解由已知得A(2,1,3)，E(2,0,2)，F(0,1,1)，A1(2,1,0)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝(0，－1，－1)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(－2,0，－2)，eq\o(A1E,\s\up6(→))＝(0，－1,2)，eq\o(A1F,\s\up6(→))＝(－2,0,1)．设n1＝(x，y，z)为平面AEF的法向量，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·\o(AE,\s\up6(→))＝0，,n1·\o(AF,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－y－z＝0，,－2x－2z＝0，))可取n1＝(－1，－1,1)．设n2为平面A1EF的法向量，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2·\o(A1E,\s\up6(→))＝0，,n2·\o(A1F,\s\up6(→))＝0，))同理可取n2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2，1)).因为cos〈n1，n2〉＝eq\f(n1·n2,|n1|·|n2|)＝－eq\f(\r(7),7)，所以二面角A－EF－A1的正弦值为eq\f(\r(42),7).4．(2020·江西省名师联盟联考)冠状病毒是一个大型病毒家族，可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS)和严重急性呼吸综合征(SARS)等较严重疾病．人感染后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等．在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡．某医院为筛查冠状病毒，需要检测血液中的指标A.现从采集的血液样品中抽取500份检测指标A的值，由测量结果得如图所示的频率分布直方图：(1)求这500份血液样品指标A值的平均数eq\x\to(x)和样本方差s2(同一组数据用该区间的中点值作代表，记作xi(i＝1,2，…，7))；(2)由频率分布直方图可以认为，这项指标A的值x服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数eq\x\to(x)，σ2近似为样本方差s2.在统计学中，把发生概率小于3‰的事件称为小概率事件(正常条件下小概率事件的发生是不正常的)．该医院非常关注本院医生的健康状况，随机抽取20名医生，独立的检测血液中指标A的值，结果发现4名医生血液中指标A的值大于正常值20.03，试根据题中条件判断该院医生的健康率是否正常，并说明理由．附：参考数据与公式：eq\i\su(i＝1,7,)(xi－eq\x\to(x))2hi＝3.46，eq\r(6.92)≈2.63，3.46≈eq\f(1,2)×2.632；若x～N(μ，σ2)，则①P(μ－σ<x≤μ＋σ)＝0.6827；②P(μ－2σ<x≤μ＋2σ)＝0.9545；③P(μ－3σ<x≤μ＋3σ)＝0.9973.0.158654≈0.0006，0.158656≈0.000016，0.8413514≈0.0891，0.8413516≈0.0630.解(1)根据题意，由频率分布直方图可知，500份血液样品指标A值的平均数为eq\x\to(x)＝12×0.04＋14×0.12＋16×0.28＋18×0.36＋20×0.10＋22×0.06＋24×0.04＝17.4，500份血液样品指标A值的样本方差s2为s2＝eq\i\su(i＝1,7,)(xi－eq\x\to(x))2hi×2＝3.46×2＝6.92.(2)由题意知，指标A的值x服从正态分布N(μ，σ2)，μ＝eq\x\to(x)＝17.4，σ2＝s2＝6.92，则x～N(17.4,6.92)，所以20.03＝μ＋σ，P(x>20.03)＝P(x>μ＋σ)＝eq\f(1－0.6827,2)＝0.15865.随机抽取2